第9章-质点动力学基本方程

动力学曹aowei@第九章动力学动力学一、动力学的任务动力学：研究物体的机械运动与作用力之间的关系的 科学。二、动力学的应用

动力学的形成与发展是和生产的发展密切联系的，特别是在现代工业与科学技术迅猛发展的今天，对动力学提出了更加复杂的课题。例如：高速转动机械的动力计算、航空航天高技术、动强度分析、机械手、机器人、系统的动力稳定性等都需要动力学理论。动力学的应用神州六号飞行机械手汽车悬架的动力学分析汽轮机发动机等……动力学三、动力学的分类动力学质点动力学质点系动力学动力学的抽象模型：质点、质点系、刚体质点系：由几个或无限个相互有联系的质点组成的系统。刚体：特殊质点系，其中任意两点之间的距离保持不变。质点：具有一定质量而几何形状和尺寸大小可忽略不计的物体。动力学的分类：动力学动力学空气动力学超高速碰撞动力学结构动力学第九章质点动力学的基本方程§9-1动力学的基本定律牛顿定律，是牛顿在《自然哲学的数学原理》中建立的描述物体机械运动的运动三定律，亦称为动力学基本定律。第一定律惯性定律第二定律力与加速度之间关系定律第三定律作用与反作用定律§9-1动力学的基本定律第一定律(惯性定律):

不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。该定律还定义了惯性参考系，因为该定律涉及到了静止和匀速直线运动，也就很自然的涉及到了参考系。§9-1动力学的基本定律惯性参考系：

牛顿定律的结论只有在惯性参考系才是正确的。以太阳为原点，三个坐标轴指向三个恒星的日心参考系是惯性参考系。(研究天体的运动、地心的运动等)

以地心为原点，三个坐标轴指向三个恒星的地心参考系是惯性参考系。(人造卫星的轨道、洲际导弹的弹道等)

一般的工程问题，把固定于地面的坐标系或相对于地面作匀速直线平移的坐标系为惯性坐标系§9-1动力学的基本定律第二定律（力与加速度之间关系定律）质点受力作用时将产生加速度，加速度的方向与作用力的方向相同，其大小则与力的大小成正比，与质点的质量成反比如果在质点上同时作用了几个力，该质点所产生的加速度则取决于这些力的合力的大小和方向，即

质点的质量与其加速度的乘积等于作用在此质点上诸力的合力。该定律表明，质量是质点惯性的度量

第三定律(作用与反作用定律):

两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等,方向相反,沿着同一直线,且同时分别作用在这两个物体上。该定律说明两个质点不论是静止平衡的，还是运动的，它们之间的作用力和反作用力总是大小相等，方向相反。牛顿定律的适用条件？§9-1动力学的基本定律§9-1动力学的基本定律说明1.该式称为质点动力学基本方程。

2.牛顿第一定律和第二定律不是在任何参考系中皆成立的。

只有在惯性参考系下才是正确的。

思考加速度可分为，公式中的指的是什么加速度？§9-2质点的运动微分方程矢量形式直角坐标形式自然形式§9-2质点的运动微分方程一、矢量形式设可以自由运动的质点M，其质量为m，作用力的合力为F，加速度为a，则这是质点运动微分方程的矢量形式§9-2质点的运动微分方程二、直角坐标形式质点运动微分方程的矢量形式把矢径r和力F在Oxyz轴上投影这是质点运动微分方程的直角坐标形式§9-2质点的运动微分方程二、自然形式(自然轴上投影)质点运动微分方程的矢量形式把矢径r和力F在Mtnb轴上投影这是质点运动微分方程的自然形式§9-2质点的运动微分方程质点动力学的两类基本问题：第一类问题：已知运动，求力第一类问题的求解： 已知r=r(t)，对其求导，代入左边公式，即可求得力F§9-2质点的运动微分方程质点动力学的两类基本问题：第二类问题的求解：是积分过程 在求解第二类问题时，方程的积分中要出现积分常数，为了完全确定质点的运动，必须根据运动的初始条件定出这些积分常数。第一类问题：已知运动，求力第二类问题：已知力，求运动§9-2质点的运动微分方程质点动力学的两类基本问题：第一类问题：已知运动，求力第二类问题：已知力，求运动综合问题：已知部分力和运动求其它力和运动例题9-1

设电梯以不变的加速度

a上升,求放在电梯地板上重

W

的物块

M

对地板的压力。§9-2质点的运动微分方程解：分析物体M，它受重力W和地板反力FN的作用根据可得因为代入上式，得地板反力例题9-1§9-2质点的运动微分方程例题9-1所以地板所受的压力为上式第一部分称为静压力第二部分称为附加动压力

称为动压力

讨论1、n>1

动压力大于静压力，这种现象称为超重

2、n<1

动压力小于静压力，这种现象称为失重

质点动力学解题步骤：明确研究对象，确定坐标系；2.进行受力分析，并画出受力图；3.进行运动分析，并画出相应的运动学量，如速度、加速度、角速度、角加速度等；4.选择动力学定理进行分析求解。§9-2质点的运动微分方程

例9-2

曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速度转动,OA=r,AB=l,当比较小时,以O

为坐标原点,滑块B

的运动方程可近似写为

如滑块的质量为m,忽略摩擦及连杆AB的质量,试求当和时,连杆AB所受的力.例题10-220pwj==t§9-2质点的运动微分方程解:研究滑块其中已知:则求:例题9-2§9-2质点的运动微分方程有得这属于动力学第一类问题。当得例题9-2§9-2质点的运动微分方程§9-2质点的运动微分方程例题9-3

单摆M的摆锤重W，绳长

l

，悬于固定点O

绳的质量不计。设开始时绳与铅垂线成偏角,并被无初速释放，求绳中拉力的最大值例题9-3§9-2质点的运动微分方程例题9-3解：摆锤M在绳的约束下，只能沿已知圆弧运动，用自然形式的运动微分方程求解较方便。以摆锤M为研究对象，选择如图的自然轴系任意瞬时，质点的加速度在切向和法向的投影为写出质点的自然形式的运动微分方程§9-2质点的运动微分方程例题9-3考虑到则式(1)化为对上式采用定积分，把初条件定为积分下限，有从而得把式(3)代入式(2)，得当摆球M到达最低位置时，绳拉力有最大值，故§9-2质点的运动微分方程例题9-4例9-4：小车载着质量为m物体以加速度a沿着斜坡上行，如果物体不捆扎，也不至于掉下，物体与小车接触面的摩擦系数至少应为多少？解：取物体为研究对象解得§9-2质点的运动微分方程例题9-4要保证物体不下滑，根据静摩擦定律，应有即§9-2质点的运动微分方程例题9-5例9-5：粉碎机滚筒半径为Ｒ，绕通过中心的水平轴匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。为了使小球获得粉碎矿石的能量，铁球应在时才掉下来。求滚筒每分钟的转数n

。§9-2质点的运动微分方程例题9-5解：取铁球为质点。铁球被旋转的滚筒带着沿圆弧向上运动，当铁球到达某一高度时，会脱离筒壁而沿抛物线下落。铁球在上升过程中，受到重力mg、筒壁的法向反力FN和切向反力F的作用。列出质点的运动微分方程在主法线上的投影式铁球在未离开筒壁前的速度，等于筒壁上与其重合点的速度。即§9-2质点的运动微分方程例题9-5解得当时，铁球将落下，这时，于是的滚筒转速

讨论1、显然，越小，要求n越大。2、当时，铁球就会紧贴筒壁转过最高点而不脱离筒壁下落，起不到粉碎矿石的作用。§9-2质点的运动微分方程例题9-6例9-6：弹簧-质量系统，物块的质量为m，弹簧的刚度系数为k，物块自平衡位置的初始速度为v0。求物块的运动方程。解：这是已知力(弹簧力)求运动规律，故为第二类动力学问题。以弹簧未变形时的平衡位置为原点建立Ox坐标系，将物块至于任意位置x>0处。物块在x方向只受弹簧力。根据直角坐标系中的质点运动微分方程§9-2质点的运动微分方程例题9-6§9-2质点的运动微分方程例题9-7例9-7：弹簧-质量系统，物块的质量为m，弹簧的刚度系数为k，物块自平衡位置的初始速度为v0。求物块的运动方程。解：这是已知力(弹簧力)求运动规律，故为第二类动力学问题。以弹簧在静载mg作用下变形后的平衡位置(称为静平衡位置)为原点建立建立Ox坐标系，将物块至于任意位置x>0处。列出物块的运动微分方程§9-2质点的运动微分方程例题9-7因为所以初始条件故可得物块的运动方程§9-2质点的运动微分方程例题9-7

讨论1、重力mg只改变了系统的平衡位置，对运动规律并无影响2、物块垂直悬挂时，坐标原点选择不同，运动微分方程不同。第九章质点动力学的基本方程本章小结1、牛顿三定律适用于惯性参考系

(1)质点具有惯性，其质量是惯性的度量

(2)作用于质点的力与其所产生的加速度成比例

(3)作用力与反作用力等值、方向、共线，分别作用于两物体上2、质点动力学的基本方程为，应用时取投影形式。第九章质点动力学的基本方程3、质点动力学的两类基本问题

(1)已知质点的运动，求作用于质点的力