激活思维专题系列之尖子生培养专题

实用文案激活思维专题系列之尖子生培养学案函数奇偶性单调性经典题型专题.知识总结函数的奇偶性（首先定义域必须关于原点对称）(1) 为奇函数; 为偶函数;(2)奇函数 在原点有定义(3)任一个定义域关于原点对称的函数 一定可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和即 （奇） （偶）.函数的单调性(注:①先确定定义域;②单调性证明一定要用定义)(1)定义:区间 上任意两个值 ,若 时有 ,称为 上增函数,若 时有 ,称 为 上减函数.奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同;偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.判断函数单调性的方法:①定义法,即标准实用文案比差法;②图象法;③单调性的运算性质（实质上是不等式性质）;④复合函数单调性判断法则.周期性:周期性主要运用在三角函数及抽象函数中,是化归思想的重要手段.求周期的重要方法:①定义法;②公式法;③图象法;④利用重要结论:若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x),f(b-x)=f(b+x),a ≠b,则T=2|a-b|.二.例题精讲【例1】已知定义域为 的函数 是奇函数.(Ⅰ)求 的值;(Ⅱ)若对任意的 ,不等式 恒成立,求 的取值范围.解析：（Ⅰ）因为 是奇函数，所以 =0，即标准实用文案又由f（1）=-f（-1）知（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ．又由题设条件得：，即 ： ，整理得上式对一切 均成立，从而判别式【例2】设函数 在 处取得极值－2,试用表示 和 ,并求 的单调区间.解：依题意有 而故 解得从而 。令 ，得 或 。标准实用文案由于 在 处取得极值，故 ，即 。（1）若，即，则当时，；（2）当时，；当时，；从而 的单调增区间为 ；单调减区间为若 ，即 ，同上可得，的单调增区间为 ；单调减区间为【例 3】(理)设函数 ,若对所有的 ,都有成立,求实数 的取值范围.(文)讨论函数 的单调性（理）解法一：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，对函数g(x)标准实用文案求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1，当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数，又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，即当a≤1时，对于所有x≥0，都有 f(x)≥ax．当a＞1时，对于0＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，所以g在(0，ea－1－1)是减函数，又g(0)＝0，所以对0＜x＜ea－1－1，都有g(x)＜g(0)，即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．综上，a的取值范围是（－∞，1]．解法二：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立．对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1，当x＞ea－1－1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，当－1＜x＜ea1－1，g′(x)＜0，g(x)为减函数，所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为ea－1－1≤0．由此得a≤1，即a的取值范围是（－∞，1]．标准实用文案（文）解：设 ，则∵∴ ， ， ，当 时， ，则 为增函数当 时， ，则 为减函数当 时， 为常量，无单调性【例4】(理)已知函数 ,其中 为常数.(Ⅰ)若 ,讨论函数 的单调性;(Ⅱ)若 ,且 =4,试证: .(文)已知 为定义在 上的奇函数，当 时， ，求 的表达式.（理）标准实用文案（文）解：∵ 为奇函数， ∴当 时，∵ 为奇函数 ∴∴∴三.巩固练习标准实用文案1.已知 是 上的减函数,那么 的取值范围是()A. B. C. D.2.已知 是周期为 2 的奇函数,当 时, ,设则()A. B. C. D.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是()A .B. C. D.4.若不等式 对于一切 ?(0, )成立,则 的取值范围是()A.0 B.–2 C.- D.-3标准实用文案设是上的任意函数,则下列叙述正确的是()A. 是奇函数 B. 是奇函数C. 是偶函数 D. 是偶函数6.已知定义在 上的奇函数 满足 ,则 的值为()A.－1B.0C.1D.27.已知函数 的图象与函数 （ 且 ）的图象关于直线 对称,记 .若 在区间 上是增函数,则实数 的取值范围是( )A. B. C. D.8.(理)如果函数 在区间 上是增函数,那么实数 的取值范围是( )标准实用文案Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.9.对于 上可导的任意函数 ,若满足 ,则必有( )A. B. C.D.10.已知 ,则( )A. B. C. D.11.已知函数 ,若 为奇函数,则 .12.已知函数 是定义在 上的偶函数.当时, ,则当 时, .13.是定义在上的以3为周期的偶函数,且,则方程=0在区间（0,6）内解的个数的最小值是()A.5 B.4 C.3 D.2标准实用文案14.下列函数既是奇函数,又在区间 上单调递减的是( )A. B. C. D.15.若函数 ,则该函数在 上是( )A.单调递减无最小值 B.单调递减有最小值C.单调递增无最大值 D.单调递增有最大值16.若函数 在区间 内单调递增,则 的取值范围是( )A. B. C. D.17.设 是定义在 上的奇函数 ,且 的图象关于直线对称,则 ______.标准实用文案18.设函数 在 上满足 ,,且在闭区间［0，7］上,只有 .(Ⅰ)试判断函数 的奇偶性;(Ⅱ)试求方程 =0 在闭区间［-2005,2005 ］上的根的个数,并证明你的结论.(理)已知,函数(1)当 为何值时, 取得最小值？证明你的结论 ;(2)设 在[-1，1]上是单调函数,求 的取值范围.(文)已知 为偶函数且定义域为 , 的图象与 的图象关于直线 对称,当 时, , 为实常数,且.(1)求 的解析式;(2)求 的单调区间;(3)若 的最大值为12,求 .20.已知函数 的图象过点 （0,2）,且在点标准实用文案处的切线方程为 .(1)求函数 的解析式;(2)求函数 的单调区间.21.已知向量 若函数 在区间（－1,1）上是增函数,求的取值范围.22. (理)已知函数 , , .若 ,且存在单调递减区间,求 的取值范围.( 文 ) 已 知 函 数在区间 上是减函数,且在区间 上是增函数,求实数 的值.巩固练习参考答案1.C 2.D 3.A 4.C 5.D 6.B 7.D8.B9.C10.A11.a=12.-x-x413.B14.D15.A16.B17.018.解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x) 得函数 的对称标准实用文案轴为 ,从而知函数 不是奇函数,由,从而知函数 的周期为 又 ,故函数 是非奇非偶函数;由又故f(x) 在[0,10] 和[-10,0] 上均有有两个解 ,从而可知函数在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解,所以函数 在[-2005,2005] 上有802个解.19.(理)解：（I）对函数 求导数得标准实用文案令 得［ +2(1－ ) －2 ］ =0从而 +2(1－ ) －2 =0解得当 变化时， 、 的变化如下表+ 0 － 0 +递增 极大值 递减 极小值 递增∴ 在 = 处取得极大值，在 = 处取得极小值。当 ≥0时， <－1, 在 上为减函数，在 上为增函数,而当 时 = ，当x=0时， .所以当 时， 取得最小值（II）当 ≥0时， 在 上为单调函数的充要条件是 ，即 ，解得 ，标准实用文案于是 在[-1，1]上为单调函数的充要条件是 ，即 的取值范围是(文)解:(1) 先求 在 上的解析式设 是 上的一点,则点 关于 的对称点为 且所以 得 .再根据偶函数的性质, 求当 上的解析式为所以(2) 当 时,因 时,所以标准实用文案因 ,所以 ,所以 而 .所以 在 上为减函数.当 时, 因 ,所以因 所以 ,所以 ,即所以 在 上为增函数(3) 由(2)知 在 上为增函数，在 上为减函数,又因 为偶函数,所以所以 在 上的最大值由 得 .20.解：（Ⅰ）由 的图象经过P（0，2），知d=2，所以标准实用文案由在 处的切线方程是，知故所求的解析式是（Ⅱ）解得当当故 内是增函数，在 内是减函数，在 内是增函数.解法1：依定义标准实用文案开口向上的抛物线，故要使 在区间（－1，1）上恒成立.解法2：依定义的图象是开口向下的抛物线，22.(理)解： ，标准实用文案则 因为函数h(x)存在单调递减区间，所以 <0有解.又因为x>0时，则ax2+2x－1>0有x>的解.①当a>0时，y