第3章 DC-DC变换器动态建模

第3章DC-DC变换器动态建模3.1状态平均的概念3.2Buck-Boost变换器的交流模型3.3Buck变换器交流模型3.4平均开关模型3.5调制器的模型3.6模型验证3.1状态平均的概念DC/DC变换器的动态建模中，一般会忽略一些次要因数（如开关频率谐波与其边带等），以简化模型，由于DC/DC变换器存在非线性元件（功率开关、二极管等），因此是非线性系统。但在研究某一稳定工作点附近的动态特性时，仍可以把它当成线性系统来近似，这就要用到状态平均的概念。定义开关周期平均算子为

对于电感来说，描述电感特性的微分方程为通过积分可以得到

即 而因此

即电感电流和电压的开关周期平均值同样也满足电感特性的微分方程。当电感电流达到稳态时，其电流的开关周期平均值恒定，则电压的开关周期平均值为零，但电压的瞬时值并不为零。同样，电容电流和电压的开关周期平均值同样也满足电容特性的微分方程，即当电容电压达到稳态时，其电压的开关周期平均值恒定，则电流的开关周期平均值为零，但电流的瞬时值并不为零。3.2Buck-Boost变换器的交流模型大信号模型图3.1Buck-Boost电路在开关T闭合阶段[t，t+ton]，电感电压和电容电流分别为在开关T断开阶段[t+ton，t+T]，电感电压和电容电流分别为

则电感电压的开关周期平均值为因此上述最后三个方程即为控制理论中的状态方程和输出方程。可见由于其系数α和α’都为时间的函数，所以均为非线性方程，不易求解。2.线性化若变换器工作在某一静态工作点，α、<vg(t)>、<iL(t)>、<vL(t)>、<iC(t)>、<vC(t)>、<ig(t)>的稳态值分别为D、Vg、IL、VL、IC、VC、Ig。由于稳态时电感电流的开关周期平均值恒定，则有VgD+VCD’=0，即由于稳态时电容电压的开关周期平均值恒定，则有-ILD’-VC/R=0，即同样也存在Ig=ILD若在稳态工作点附近存在输入电压vg和占空比α的扰动，即则会引起各状态变量的微小变动，即

于是便可得到忽略上式中中的小信号二次项，考虑稳态平衡方程，则通过上式可得线性常微分方程同理可得另外两个线性常微分方程

3.小信号交流等效电路上述三个微分方程可用下面三个对应的子电路来表达。由于受控源和构成的两端口网络以及和分别都符合理想变压器的特征，为了进一步观察他们之间的相互联系，可用变压器耦合的小信号交流模型来表达。三个子电路

(a)对应输入电流方程(b)对应电感方程(c)对应电容方程图3.2三个子电路

图3.3Buck-Boost变换器小信号交流等效电路由此可以推导出仅考虑输入电压波动时的传递函数，以及仅考虑占空比波动时的传递函数。仅考虑输入电压波动时，为零，则受控电流源和受控电压源都为零，将两边电路经过绕组归算后连接到中间回路，则等效电路如图3.4所示，由此可以推导出图3.4仅考虑输入电压波动时的等效电路图3.5仅考虑占空比波动时的等效电路仅考虑占空比波动时，为零，则左边变压器的副边电压为零，将电感L和受控电压源归算到右边变压器的副边，并转换成电流源形式，则等效电路如图3.5所示，由此可以推导出（其中公式，，D+D’=1）3.3Buck变换器交流模型图3.6Buck电路由电路可得下列微分方程：由微分方程可得如下稳态值：Vc=αVg，IL=Vc/R，Ig=αIL。考虑平衡点附近的扰动情况，且忽略小信号二次项，则有表达小信号状态下的微分方程和等效电路：图3.7Buck变换器小信号交流等效电路则有3.4平均开关模型基于数学方法的交流模型变换方法推导比较麻烦，而平均开关模型方法，将能提供一种便捷的变换方法。基本思想是，任何一种DC/DC变换电路都可以分割成两个子电路，一个为定长线性子电路，另一个是开关网络，如图3.8所示，其中的关键问题是将非线性的开关网络子电路变成线性定常电路。图3.8开关网络形式的Buck-Boost变换电路1.基于平均开关模型的Buck-Boost小信号交流模型

将Buck-Boosk电路改画成基于开关网络的形式，如图3.8所示，则开关网络的各个变量之间关系如下：由此可得

用受控源来取代开关网络，则得到如图3.9所示的开关网络形式的Buck-Boost等效电路

图3.9开关网络形式的Buck-Boost等效电路对受控电压源<v1(t)>求微分可得到其小信号表达式即

同理可得

图3.10开关网络形式的Buck-Boost小信号交流等效电路若仅考虑对输出的影响，并将电感分别折算到变压器的原副边，则等效电路如图3.11所示。由于

，所以将原边电感折算到副边后的电感值为L(1+D’/D)(D2/D’2)=LD/D’2，原来的副边电感为L(1+D/D’)=L/D’，因此将原边电感折算到副边后副边总的电感量为LD/D’2+L/D’=L/D’2，而将折算到变压器副边的值为(D/D’)，由此导出的与前面导出的结果相同。若仅考虑对输出的影响，则等效电路如图3.11所示，将变压器原边的受控电压源和电感折算到变压器的副边，其结果与前面导出的结果相同。图3.11开关网络形式的Buck-Boost小信号交流等效电路(）2.基于平均开关模型的Buck小信号交流模型

图3.12开关网络形式的Buck变换电路由图3.12所示的开关网络形式的Buck变换电路可知，存在下列方程式通过求微分可得：由此可得开关网络形式的Buck-Boost小信号交流等效电路如下图所示，可见该电路与前面推导的Buck变换器小信号交流等效电路完全一致。图3.13开关网络形式的Buck小信号交流等效电路3.5调制器的模型调制器的输入信号是补偿网络（电压调节器）的输出电压vk，输出为占空比α

，由于<α>=<vk>/VM，VM为控制电压vk的最大值，可以得到其直流和小信号模型如下所示，所以调制模型是线性模型

D=Vk/VM

以BUCK电路为例，进行模型验证，在BUCK电路中，

C=10u，L=1mH，Vg=30V，占空比初始值为0.4，5ms时切换为0.3，图3.14中红色为实际电路中的负载电压波形，黄色为小