第2章自动控制系统的数学模型2016

第2章自动控制系统的数学模型自动控制原理工程学院电气工程系2第2章

自动控制系统的数学模型主要内容微分方程式的编写拉普拉斯变换传递函数系统动态结构图系统传递函数和结构图的变换小结工程学院电气工程系3

学习重点简单物理系统的微分方程和传递函数的列写及计算

结构图和信号流图的变换与化简开环传递函数和闭环传递函数的推导和计算第2章

自动控制系统的数学模型工程学院电气工程系4第2章

自动控制系统的数学模型1.数学模型

描述系统变量之间关系的数学表达式2.数学模型的主要形式(1)微分方程(2)传递函数(3)结构框图工程学院电气工程系52.1微分方程式的编写

编写系统微分方程的步骤确定系统的输入量和输出量；将系统分解为各环节，依次确定各环节的输入量和输出量，根据各环节的物理规律写出各环节的微分方程；消去中间变量，求出系统的微分方程。工程学院电气工程系6

例2-1RC电路,取u1为输入量,u2为输出量2.1微分方程式的编写工程学院电气工程系7

例2-2RL电路,取u为输入量,i为输出量2.1微分方程式的编写工程学院电气工程系82.1微分方程式的编写例2-3工程学院电气工程系92.1微分方程式的编写例2-4机械位移系统取为输入量,为输出量2.1系统数学模型的概念自控理论方法是先将系统抽象为数学模型，然后用数学的方法处理。控制系统的数学模型是描述系统内部各物理量（或变量）之间关系的数学表达式或图形表达式或数字表达式。完全不同物理性质的系统，其数学模型具有相似性！时域的微分方程－－复频域的代数方程

拉普拉斯变换(拉氏变换)

时域的微分方程

<－－－－

复频域的代数方程

拉普拉斯反变换(拉氏反变换)2.2拉普拉斯变换拉普拉斯变换(Laplacetransform)

是f(t)从时域到复频域F(S)的积分变换。

f(t)：原函数；F(S)：f(t)在S域中的象函数。

拉普拉斯反变换：拉普拉斯变换的定义求，和的象函数．解

例

典型信号的拉氏变换（1）典型信号的拉氏变换（2）拉普拉斯变换的基本性质1、线性定理（线性性质）2、微分定理（微分性质）3、积分定理（积分性质）

拉普拉斯变换的基本性质4、时域位移定理

（延迟性质）5、初值定理与终值定理

注：终值定理成立的条件是：F(S)的所有极点都应位于S平面的左半部或者位于S＝0处（系统处于稳定或临界稳定状态）。应用拉氏变换的终值定理求注意拉氏变换终值定理的适用条件：事实上：

的极点均处在复平面的左半边。不满足终值定理的条件。

工程学院电气工程系19对于n阶系统，线性微分方程的一般形式为：2.3传递函数工程学院电气工程系20在零初始条件下，取拉氏变换得：2.3传递函数工程学院电气工程系21传递函数定义：

零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。2.3传递函数工程学院电气工程系22例2-7RC电路（1）当u1为输入，u2为输出时：2.3传递函数工程学院电气工程系23例2-7RC电路（2）当u1为输入，i为输出时：2.3传递函数工程学院电气工程系24例2-8RLC电路取ur为输入，uc为输出，得2.3传递函数工程学院电气工程系25例2-8RLC电路取ur为输入，uc为输出2.3传递函数工程学院电气工程系26例2-9机械位移系统取外力f(t)为输入位移x(t)为输出根据牛顿第二定律，得2.3传递函数工程学院电气工程系27例2-9机械位移系统取外力f(t)为输入位移x(t)为输出2.3传递函数工程学院电气工程系28

一般有n≥m。同一个系统，当输入量和输出量的选择不相同时，可能会有不同的传递函数。不同的物理系统可以有相同的传递函数。2.3传递函数传递函数表示系统传递输入信号的能力，反映系统本身的动态性能。它只与系统的结构和参数有关，与外部作用等条件无关。有理分式形式工程学院电气工程系29传递函数的另外两种常用形式：时间常数形式K为放大系数根的形式2.3传递函数工程学院电气工程系302.3传递函数系统的特征方程系统的阶数系统的极点系统的零点几个定义和术语工程学院电气工程系312.

典型环节的传递函数及暂态特性（1）比例环节2.3传递函数工程学院电气工程系32比例环节的单位阶跃响应2.3传递函数工程学院电气工程系33（2）惯性环节2.3传递函数当时工程学院电气工程系34惯性环节的单位阶跃响应2.3传递函数求拉氏反变换得

工程学院电气工程系35当输入量为时，输出量为（3）积分环节2.3传递函数式中，，

称为积分环节的时间常数。工程学院电气工程系36（4）微分环节2.3传递函数

理想微分环节工程学院电气工程系37（4）微分环节2.3传递函数

一阶微分环节（又称比例微分环节、实用微分环节）

工程学院电气工程系38（5）振荡环节2.3传递函数这种环节包括有两个储能元件，当输入量发生变化时，两种储能元件的能量相互交换。在阶跃函数作用下，其暂态响应可能作周期性的变化。

式中：

——自然振荡角频率

——

阻尼比工程学院电气工程系39（5）振荡环节2.3传递函数当输入量为阶跃函数时，输出量的拉氏变换为：当时，上式特征方程的根为共轭复数因式分解得：工程学院电气工程系40振荡环节的单位阶跃响应2.3传递函数输出量为：工程学院电气工程系41（6）时滞环节2.3传递函数例2-10带钢厚度检测环节写成一般形式

:零初始条件下，拉氏变换为

传递函数为

工程学院电气工程系42时滞环节的输出量2.3传递函数工程学院电气工程系43时滞环节的传递函数

对于时滞时间很小的时滞环节，常把它展开成泰勒级数，并略去高次项，得：时滞环节在一定条件下可近似为惯性环节。

2.3传递函数工程学院电气工程系442.4系统动态结构图

系统动态结构图将系统中所有的环节用方框图表示，图中标明其传递函数，并且按照在系统中各环节之间的联系，将各方框图连接起来。2结构图的基本组成控制系统的结构图是系统数学模型的图解形式，可以形象直观地描述系统中各元件间的相互关系及其功能以及信号在系统中的传递、变换过程。特点：具有图示模型的直观，又有数学模型的精确。工程学院电气工程系462.4系统动态结构图系统动态结构图的绘制步骤：(1)首先按照系统的结构和工作原理，分解出各环节并写出它的传递函数。

(2)绘出各环节的动态方框图，方框图中标明它的传递函数，并以箭头和字母符号表明其输入量和输出量，按照信号的传递方向把各方框图依次连接起来，就构成了系统结构图。

结构图包含四个基本元素：信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号传递方向。引出点（测量点）：引出或者测量信号的位置。这里的信号引出与测量信号一样，不影响原信号，所以也称为测量点。比较点（综合点）：对两个或者两个以上的信号进行代数运算。

方块：表示对输入信号进行的数学变换。对于线性定常系统或元件，通常在方框中写入其传递函数。

工程学院电气工程系482.4系统动态结构图例2-11速度控制系统（了解）工程学院电气工程系492.4系统动态结构图（1）比较环节和速度调节器环节式中：工程学院电气工程系502.4系统动态结构图比较环节和速度调节器环节的结构图式中整理得

工程学院电气工程系512.4系统动态结构图（2）速度反馈的传递函数式中：为速度反馈系数

工程学院电气工程系522.4系统动态结构图（3）电动机及功率放大装置工程学院电气工程系532.4系统动态结构图（4）系统的动态结构图工程学院电气工程系542.5系统传递函数和结构图的等效变换1.典型连接的等效传递函数

(1)串联工程学院电气工程系552.5系统传递函数和结构图的等效变换(2)并联工程学院电气工程系562.5系统传递函数和结构图的等效变换(3)反馈连接工程学院电气工程系572.5系统传递函数和结构图的等效变换2.相加点及分支点的换位运算

原则:

换位前后的输入/输出信号间关系不变。工程学院电气工程系582.5系统传递函数和结构图的等效变换(1)相加点后移

换位前后的输入/输出信号间关系不变。工程学院电气工程系592.5系统传递函数和结构图的等效变换(2)相加点前移

工程学院电气工程系602.5系统传递函数和结构图的等效变换(3)分支点后移

工程学院电气工程系612.5系统传递函数和结构图的等效变换(4)分支点前移

工程学院电气工程系622.5系统传递函数和结构图的等效变换(5)分支点换位

工程学院电气工程系632.5系统传递函数和结构图的等效变换(6)相加点变位

工程学院电气工程系642.5系统传递函数和结构图的等效变换(7)相加点和分支点一般不能变位

工程学院电气工程系652.5系统传递函数和结构图的等效变换3.

系统开环传递函数

定义：

闭环系统反馈信号的拉氏变换与偏差信号的拉氏变换之比（反馈通道断开），定义为系统的开环传递函数，用表示。

工程学院电气工程系662.5系统传递函数和结构图的等效变换系统的开环传递函数是正向通道传递函数与反向通道传递函数的乘积。

——正向通道传递函数——反向通道传递函数工程学院电气工程系67例2-12无交叉局部反馈系统

2.5系统传递函数和结构图的等效变换工程学院电气工程系682.5系统传递函数和结构图的等效变换例2-13有交叉局部反馈系统工程学院电气工程系692.5系统传递函数和结构图的等效变换4.系统闭环传递函数

定义：

在初始条件为零时，系统的输出量与输入量的拉氏变换之比称为系统的闭环传递函数，用表示。

工程学院电气工程系702.5系统传递函数和结构图的等效变换工程学院电气工程系71对于单位反馈系统，有

2.5系统传递函数和结构图的等效变换工程学院电气工程系722.5系统传递函数和结构图的等效变换5.系统对给定作用和扰动作用的传递函数

原则：对于线性系统来说，可以运用叠加原理，即对每一个输入量分别求出输出量，然后再进行叠加，就得到系统的输出量。工程学院电气工程系732.5系统传递函数和结构图的等效变换（1）只有给定作用时

工程学院电气工程系742.5系统传递函数和结构图的等效变换（2）只有扰动作用时工程学院电气工程系752.5系统传递函数和结构图的等效变换（3）两个输入量同时作用于系统

工程学院电气工程系76小结1.数学模型的基本概念数学模型是描述系统因果关系的数学表达式，是对系统进行理论分析研究的主要依据。2.通过解析法对实际系统建立数学模型在本章中，根据系统各环节的工作原理，建立其微分方程式，反映其动态本质。工程学院电气工程系77小结编写闭环系统微分方程的一般步骤为：(1)首先确定系统的输入量和输出量；(2)将系统分解为各环节，依次确定各环节的输入量和输出量，根据各环节的物理规律写出各环节的微分方程；(3)消去中间变量，就可以求得系统的微分方程式。工程学院电气工程系78小结4.传递函数通过拉氏变换求解微分方程是一种简捷的微分方程求解方法。本章介绍了如何将线性微分方程转换为复数s域的数学模型——传递函数以及典型环节的传递函数。5.动态结构图动态结构图是传递函数的图解化，能够直观形象地表示出系统中信号的传递变换特性，有助于求解系统的各种传递函数，进一步分析和研究系统。

2.6

控制系统数学模型的