稳恒电流的磁场

第9章真空中恒定电流的磁场1/31/20231标题简介真空：限定了空间中不存在介质磁场：是物质的一种形式。磁铁与磁铁、电流与电流、磁铁与电流之间的相互作用是通过磁场来传递的。磁场对电流有安培力的作用，磁场力对运动电荷或者电流要做功，说明磁场具有质量、能量和动量。恒定磁场：又称为静磁场，指磁感应强度不随时间变化的磁场，但在空间不同位置可以有不同的值。静磁场是由恒定电流（或者说恒定运动的电荷）产生的磁场。变速运动的电荷要产生变化的电磁场。1/31/20232对磁场的感性认识在磁体周围有人眼看不见的磁场。用铁屑我们能够发现这种磁场是什么样子的。当铁屑在磁场中时，它们就围绕着磁体形成一个磁场的图形。例1：P1061/31/20233例2铁屑条形磁铁准备材料塑料盖把塑料盖盖在条形磁铁上慢慢地把铁屑撒在塑料盖上，

不断地用手轻敲塑料盖。

在磁铁周围，原来人眼睛看不见的磁场由铁屑显示出来了。1/31/20234I直线电流的磁力线圆电流的磁力线I通电螺线管的磁力线1、每一条磁力线都是环绕电流的闭合曲线，都与闭合电路互相套合，因此磁场是涡旋场。磁力线是无头无尾的闭合回线。2、任意两条磁力线在空间不相交。3、磁力线的环绕方向与电流方向之间可以分别用右手定则表示。1/31/20235主要内容：电流产生磁场磁场的描述：磁场的规律：Biot-savart’slawGauss’theoremAmpere’scirculationtheorem1/31/20236主要内容(续)：磁场对电流的作用磁场对运动电荷的作用磁场对载流导线的作用磁场对闭合载流导线的作用洛伦兹力安培力磁力矩1/31/20237本章学习方法对比与静电场的研究方法类似与静电场的研究结论对比1/31/20238自然界的各种基本力可以互相转化。究竟电是否以隐蔽的方式对磁体有作用？17世纪，吉尔伯特、库仑曾认为：电与磁无关！1731年英国商人

雷电后，刀叉带磁性！1751年富兰克林莱顿瓶放电后，缝衣针磁化了！1812年

奥斯忒9.1磁感应强度一、磁力与磁现象1/31/20239

1820年4月哥本哈根大学电与磁丹麦物理学家奥斯特接通电源时，放在边上的磁针轻轻抖动了一下，电流反向时磁针的偏转也反向……电流的磁效应II1820年7月21日，以拉丁文报导了60次实验的结果：电流可以产生磁场。1/31/202310运动电荷除了在周围产生电场外，还有另一种场——只对运动电荷起作用：磁场稳恒电流产生的磁场叫稳恒磁场。1/31/202311静止电荷静止电荷静止电荷之间的作用力——电力运动电荷之间的作用力——电力+磁力运动电荷运动电荷说明1、磁场由运动电荷(或电流)产生;3、磁场有能量、…二、磁场磁感应强度

电场磁场传递磁相互作用2、磁场对运动电荷(或电流)有力的作用;1/31/202312如何描述磁场的特性？设计实验确定空间一点的磁感应强度1、类比：静电场中用试探电荷研究电场磁场：用运动试探电荷研究磁场，用表示磁场的强弱和方向。2、对运动试探电荷有什么要求？1/31/202313对运动试探电荷的要求要求此运动电荷产生的磁场应该充分小，小到它不能影响我们所研究的原来的磁场此电荷的线度应该充分小，小到某一时刻所处的位置就是一个几何点。故应该要求它还是一个点电荷。1/31/2023143、试验发现：运动电荷在磁场中受到力的作用，受力大小与下列因素有关：运动的速度的大小和方向磁场BV和B的取向有关1/31/202315洛仑兹力运动电荷在电磁场中受力q

沿此直线运动时运动电荷在磁场中所受的力称为洛仑兹力。由于洛仑兹力总是与速度V垂直，所以洛仑兹力不做功。1/31/202316总结从运动电荷所受到磁场力的特征，可以引入描述磁场中给定点磁场强弱和方向的性质的基本物理量：磁感应强度单位T或Gs

1Gs=10–4T磁场服从叠加原理大小：方向：的方向由此，可以唯一地确定空间任意点的1/31/202317讨论1.由划分磁场为：均匀磁场：空间各处的大小相等，方向相同非均匀磁场：空间各处的大小或者方向不同2.1/31/2023189.2Biot-savart’slaw研究思路静电场：点电荷模型任一个带电体静磁场：电流元模型1/31/202319研究内容在恒定磁场中引入电流元的概念，分析电流元产生磁场的规律，即B-S定律，最后利用磁场的叠加原理，可以解决任意载流体所产生的稳恒磁场的分布。1/31/2023201.电流元矢量在一根载流直线上任意取一无限小的直线，做一个矢量大小：该小直线的长度乘以I方向：该点直线上电流的方向对空间任意点P，从到P的位置矢量为产生的磁场为，方向满足右手螺旋。I1/31/202321引入电流元矢量的物理意义任意载流回路可设想为是由无限多个首尾相接的电流元构成，1/31/202322电流元与点电荷的区别点电荷可以独立存在电流元不能单独存在1/31/202323I毕奥-萨伐尔定律真空磁导率I'2、Biot-savart’slaw

导论P109：方向：或者：右手螺旋1/31/202324叠加原理1/31/202325Biot-savart’slaw讨论问：一个静止的点电荷能在它周围空间任一点激起电场，一个线电流元是否也能在它周围空间任一点激起磁场？1/31/202326Biot-savart’slaw讨论库仑定律与B-Slaw的异同两个定律在各自的领域地位相当。在形式上都是平方反比律适用对象不同，一个是电性质，一个是磁性质。库仑定律可以直接由试验验证，而B-Slaw只能间接验证。1/31/202327Biot-savart’slaw讨论B－SLow的物理意义表明一切磁现象的根源是电流（运动电荷）产生的磁场。反映了载流导线上任一电流元在空间任一点处产生磁感应强度在大小和方向上的关系。由此定律原则上可以解决任何载流导体在起周围空间产生的磁场分布。1/31/202328Biot-savart’slaw讨论公式的应用公式中公式为矢量积分。故积分要用矢量的直角坐标分量式，将矢量积分化为标量积分，分别求出后再矢量合成。1/31/202329若载流体具有某种对称性，P点的合场强在某个方向上的投影可能为0，所以有时可以直接判断上式三个积分中有一个或者多个积分为0。1/31/202330B-SLow的应用1.由B-SLow推出运动电荷的磁场表达式S电流元按经典电子理论，导体中电流是大量带电粒子的定向运动，电流激发磁场，实质是运动电荷在其周围空间激发磁场。1/31/202331带电量为q，运动速度为v的电荷产生的磁场为：B的方向垂直于v,r组成的平面。1/31/202332－＋○PP1/31/202333例题：利用电荷运动产生磁场的观点求计算一个以角速度作半径为R的圆周运动的正电荷Q在圆心处产生的1/31/202334用B-SLow求的两种思路1/31/202335例2.求：直线电流I的磁场分布。21I0思路：微元分析法1/31/202336l21例题I方向0-l方向：右手定则1/31/202337讨论无限长载流直线在空间的问：

L

则

1=02=半无限长延长线上：1/31/2023383.求：圆电流轴线上的磁感应强度。xRx例题I1/31/202339载流圆环载流圆弧II圆心角圆心角1/31/2023404.求：一段圆弧圆电流在其曲率中心处的磁场。例题RIab方向解：Idl1/31/202341例题I宽度为a

的无限长金属平板，均匀通电流I，将板细分为许多无限长直导线每根导线宽度为dx通电流解：建立坐标系x所有dB

的方向都一样：求：图中P点的磁感应强度。Pd0x1/31/2023421/31/2023432、可有计算磁场的方法1、电流元的磁感应强度及叠加原理小结计算场强的方法1、点电荷场的场强及叠加原理（分立）（连续）1/31/202344典型磁场的磁感应强度典型电场的场强均匀带电无限长直线载流长直导线无限长载流长直导线方向垂直于直线电流元点电荷均匀带电直线方向与电流方向成右手螺旋1/31/202345典型磁场的磁感应强度典型电场的场强圆线圈轴线上任一点方向与电流方向成右手螺旋均匀带电圆环轴线上任一点磁矩电偶极矩1/31/202346练习：载流直线与圆弧组成的载流系统（讲稿补充）1/31/202347练习求圆心O点的如图，OI1/31/202348例题：载流螺线管轴线上的B。结论：见书P1111/31/202349载流直螺线管内部的磁场................pSlμ1/31/202350讨论：1、若即无限长的螺线管，

则有2、对长直螺线管的端点（上图中A1、A2点）则有A1、A2点磁感应强度1/31/202351扩充：镜像对称电流的合磁场必定垂直于对称面。IrL

1/31/202352镜像对称电流的合磁场必定垂直于对称面。无限大载流平面I.........1/31/202353补充作业1.一个半径为R的均匀带电圆盘，当它围绕圆心作匀角速度的圆周运动时，求圆心处的及圆盘的磁矩2.一个无限长圆柱面半径为R，绕其轴线匀速旋转，角速度为，表面均匀分布有电荷，求面内任一点的1/31/202354补充作业

3.氢原子中电子绕核作圆周运动求:轨道中心处电子的磁矩已知1/31/202355补充作业4.一个长度为L的均匀带电Q的细直线，绕直线的延长线上一点（此点到端点距离为a）做匀角速度转动（直线在转动平面内）。求圆心处的L,QOa用两种方法求解1/31/202356作业评讲：均匀带电圆盘已知：q、R、圆盘绕轴线匀速旋转。解：如图取半径为r,宽为dr的环带。qRr求圆心处的及圆盘的磁矩元电流其中1/31/202357qRr线圈磁矩如图取微元方向：1/31/202358作业评讲：氢原子中电子绕核作圆周运动求:轨道中心处电子的磁矩已知解:又方向方向1/31/202359作业：均匀带电圆环qR已知：q、R、圆环绕轴线匀速旋转。求圆心处的解：带电体转动，形成运流电流。1/31/2023609.3磁场的高斯定理1/31/202361I直线电流的磁力线圆电流的磁力线I通电螺线管的磁力线1、每一条磁力线都是环绕电流的闭合曲线，都与闭合电路互相套合，因此磁场是涡旋场。磁力线是无头无尾的闭合回线。2、任意两条磁力线在空间不相交。3、磁力线的环绕方向与电流方向之间可以分别用右手定则表示。1/31/2023621、磁通量——穿过磁场中任一曲面的磁力线的条数磁通量2.与形成磁场的电流相套连.I磁感应线特点1.无头无尾的闭合曲线.单位韦伯（Wb）1/31/202364

磁场是无源场.二、高斯定理1/31/2023652.在均匀磁场

中，过YOZ平面内面积为S的磁通量。1.求均匀磁场中半球面的磁通量课堂练习1/31/202366

9.4安培环路定理静电场Irl磁场1/31/202367I1I2I3L2L1磁应强度B的环流等于穿过以L为边界的任意曲面的电流的代数和的倍。一、安培环路定理空间所有电流共同产生的与L套连的电流代数和（与L绕行方向成右手螺旋的电流取正）1/31/202368以载流长直导线为例，定性说明安培环路定理：1..闭合积分回路L环绕载流长直导线（类似于高斯面中包围点电荷）IL第一种情况：载流直导线垂直于积分回路且回路为圆1/31/202369比较L回绕方向不同（或者改变电流流向，积分值仅差一个负号。为统一起见，特别规定：若电流流动方向与闭合积分回路L的回绕方向符合右手法则，电流取正值，反之电流取负值。1/31/202370L2.闭合积分回路在垂直于载流导线的平面内，但是形状任意ILoO1/31/2023712、任意积分回路.3、回路不环绕电流.1/31/202372安培环路定理说明：电流取正时与环路成右旋关系如图在真空中的稳恒电流磁场中，磁感应强度沿任意闭合曲线的线积分（也称的环流），等于穿过该闭合曲线的所有电流强度（即穿过以闭合曲线为边界的任意曲面的电流强度）的代数和的倍。即：1/31/202373环路所包围的电流由环路内外电流产生由环路内电流决定1/31/202374静电场稳恒磁场磁场没有保守性，它是非保守场，或无势场电场有保守性，它是保守场，或有势场电力线起于正电荷、止于负电荷。静电场是有源场磁力线闭合、无自由磁荷磁场是无源场1/31/202375思路：

1、右边是一个代数式，计算方便。

2、若左边能演变成则B可以很方便的求出。

难点：积分路径要选取合适积分路径的选取原则1、必须通过所求场点2、积分路径L上或处处大小相等，方向平行于线元，或部分的方向垂直于线元，或部分路径上＝03、环路形状尽可能简单二、安培环路定理的应用－求的分布1/31/202376比较用高斯定理求场强分布的步骤电荷分布的对称性场强分布的对称性选择合适的高斯面利用高斯定理求解用安培环路定理求磁感应强度的步骤电流分布的对称性磁场分布的对称性选择合适的积分路径利用安培环路定理求解1/31/202377第一类应用：——用来求解具有轴对称分布的磁场例题1.求：无限长载流直导线产生的磁场I解：对称性分析——磁感应线是躺在垂直平面上的同心圆，选环路BL0rB1/31/202378例题2.求：无限长圆柱面电流的磁场ILRr解：对称性分析——磁感应线是躺在垂直平面上的同心圆，选环路1/31/202379rRO1/31/202380IR例题3.无限长载流圆柱导体的磁场分布分析对称性电流分布——轴对称磁场分布——轴对称已知：I、R电流沿轴向，在截面上均匀分布1/31/202381IR作积分环路并计算环流如图

利用安培环路定理求1/31/202382作积分环路并计算环流如图利用安培环路定理求IR1/31/202383

结论：无限长载流圆柱导体。已知：I、R1/31/202384练习：同轴的两筒状导线通有等值反向的电流I,

求的分布。1/31/202385电场、磁场中典型结论的比较外内内外长直圆柱面电荷均匀分布电流均匀分布长直圆柱体长直线1/31/202386第二类应用：平面对称例题：无限大载流平面，单位长度上电流为j,求空间磁场分布。磁力线如图作积分回路如图ab、cd与导体板等距.........1/31/202387

计算环流板上下两侧为均匀磁场利用安培环路定理求.........1/31/202388讨论：如图，两块无限大载流导体薄板平行放置。通有相反方向的电流。单位长度上电流为j求磁场分布。.........1/31/202389例题1.已知：长直载流螺线管，I、n(单位长度导线匝数)分析对称性管内磁力线平行于管轴管外靠近管壁处磁场为零...............第三类应用：载流螺线管的磁场分布1/31/202390

计算环流，先选择积分回路为矩形利用安培环路定理求...............1/31/202391已知：I、N、R1、R2

N——导线总匝数分析对称性磁力线分布如图作积分回路如图方向右手螺旋rR1R2..+++++++++++++++++++++++++++++..................................例题2：环形载流螺线管的磁场分布1/31/202392..BrO计算环流利用安培环路定理求rR1R2..+++++++++++++++++++++++++++++.................................补充作业：如图，螺绕环截面为矩形外半径与内半径之比高导线总匝数求：1.磁感应强度的分布2.通过截面的磁通量1/31/202394解：1.1/31/202395

9.4载流导线在磁场中受力I已知外磁场及载流导线I(L)载流导线在磁场中所受作用力如何？此为安培定律解决的问题。本节课主要讲安培定律及其应用，且针对几种特殊情况下的载流导线所受到的安培力的作用。1/31/202396一、一段载流导线上的力——安培力I电流元一个电荷受力N个电荷受力12安培定律：1/31/202397讨论1.式中的为电流元所处的外磁场，不包括电流元自身产生的磁场2.的方向：3.一般，载流导线上连续分布的电流元都受到安培力的作用，即导线受到的是一种分布力，就象一根细棒上每一段都受到重力作用一样。但是每一个电流元受到的安培力的大小方向均可能不同。所以，常常使用微元分析法。1/31/202398讨论图示为相互垂直的两个电流元它们之间的相互作用力电流元所受作用力电流元所受作用力不满足牛顿第三定律1/31/202399总结：安培定律安培力：电流元在磁场中受到的磁力安培定律方向判断

右手螺旋或者左手定则载流导线受到的磁力大小1/31/2023100B×取电流元受力大小方向积分结论方向二、均匀磁场中载流直导线所受安培力1/31/2023101I直导线推论：1.2.1/31/2023102任意导线I推论3.

均匀磁场中任意平面曲线形载流导线所受安培力结论：在均匀磁场中，垂直于磁场方向的平面内一段弯曲载流导线受到的总安培力大小与导线弯曲形状无关，仅与这段导线起点和终点位置有关。均匀磁场中任意曲线导体，等于连结曲线始末端的直导线所受的安培力。1/31/2023103推论4.在均匀磁场中任意形状闭合载流线圈受合力为零注：说明闭合线圈在均匀磁场中不会发生平动。练习如图求半圆导线所受安培力方向竖直向上O1/31/2023104练习ILLLORRRRF=

F=

F=

1/31/2023105图二的另一种解法OR分别计算出在X和Y方向的分量，再分别积分，最后矢量合成1/31/2023106

均匀磁场中放置一半径为R的半圆形导线，电流强度为I，导线两端连线与磁感强度方向夹角=30°，求此段圆弧电流受的磁力。例题2R长度矢量解：方向1/31/2023107三、非均匀磁场中的载流导体载流导线受到的磁力当只有统一积分变量，老老实实积分1/31/2023108解：例：求一无限长直载流导线的磁场对另一直载流导线ab的作用力。已知：I1、I2、d、LLxdba1/31/2023109I1I2r例题：平行电流间单位长度上的相互作用力B21B12方向方向同流向，相吸引；逆流向，相排斥。方向方向1/31/2023110

均匀磁场四、磁场对载流线圈的作用：平面刚性载流线圈上的安培力矩l1l2abcdI作用在一直线上俯视l1不作用在一直线上力矩方向：（俯视图上）磁矩M=ISBM=01/31/2023111

稳定平衡；

不稳定平衡。力矩总力图使线圈正向磁通量达到最大。力矩的作用效果，总是使磁矩转向外磁场方向。讨论1/31/20231129-6磁力的功1.载流导线在磁场中运动时磁力所做的功.....................1/31/2023113M当I不随时间变化INI