材料力学-007第七章弯曲变形

1第七章弯曲变形材料力学第七章弯曲变形2第七章弯曲变形§7—1引言§7—2梁的挠曲线近似微分方程§7—3积分法计算梁的变形§7—4叠加法计算梁的变形§7—5梁的刚度计算§7—6简单超静定梁的求解弯曲变形小结第七章弯曲变形3§7—1引言第七章弯曲变形4一、挠曲线：梁变形后的轴线。

性质：连续、光滑、弹性、极其平坦的平面曲线。二、挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的位移。

用“w”

表示。w=w（x）

……挠曲线方程。挠度向上为正；向下为负。三、转角：横截面绕中性轴转过的角度。用“”表示。θ=θ(x)……转角方程。由变形前的横截面转到变形后，逆时针为正；顺时针为负。四、挠度和转角的关系w=w（x）上任一点处——wqC1xCθwF第七章弯曲变形5§7—2梁的挠曲线近似微分方程一、曲率与弯矩的关系：EIM=r1®EIM=)()(1xxr……（1）二、曲率与挠曲线的关系：……（2）→→三、挠曲线与弯矩的关系：联立（1）、（2）两式得第七章弯曲变形6wxM>00)(＞¢¢xw挠曲线近似微分方程的近似性——忽略了“Fs”、对变形的影响。使用条件：弹性范围内工作的细长梁。M<00)(＜¢¢xw结论：挠曲线近似微分方程——wx第七章弯曲变形77-3积分法计算梁的变形步骤：（EI为常量）1、根据荷载分段列出弯矩方程M（x）。2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。右左CCqq=连续条件：右左CCww=边界条件：FF第七章弯曲变形8（1）、固定支座处：挠度等于零、转角等于零。（2）、固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。（3）、在弯矩方程分段处：

一般情况下稍左稍右的两个截面挠度相等、转角相等。4、确定挠曲线方程和转角方程。5、计算任意截面的挠度、转角；挠度的最大值、转角的最大值。第七章弯曲变形9例：求图示悬臂梁自由端的挠度及转角(EI=常数）。解一：建立坐标系并写出弯矩方程写出微分方程并积分应用位移边界条件求积分常数FLwxx确定挠曲线、转角方程自由端的挠度及转角X=0,w=0;θ=0第七章弯曲变形10解二：建立坐标系并写出弯矩方程写出微分方程并积分应用位移边界条件求积分常数X=0,w=0;θ=0确定挠曲线、转角方程最大挠度及转角FLwxx第七章弯曲变形11qLABxC解：建立坐标系并写出弯矩方程写出微分方程并积分应用位移边界条件求积分常数确定挠曲线和转角方程最大挠度及最大转角ql/2ql/2X=0,w=0;x=L,w=0.

例：求图示梁的最大挠度和最大转角（EI=常数）第七章弯曲变形12bABFaCL解：建立坐标系并写出弯矩方程写出微分方程并积分Fb/LFa/L例：求图示梁的跨中的挠度和转角（EI=常数）x1x2左侧段（0≤x1≤a）：右侧段（a≤x2≤L）：第七章弯曲变形13跨中挠度及转角确定挠曲线和转角方程应用位移边界条件和连续条件求积分常数X=0,w=0;x=L,w=0.

X1=X2=a，w1=w2；w／1=w／2两端支座处的转角——第七章弯曲变形14讨论：1、此梁的最大挠度和最大转角。左侧段：

右侧段：当a＞b时——当a＞b时——最大挠度一定在左侧段第七章弯曲变形15

2、a=b时此梁的最大挠度和最大转角。ABFCLab写出下列各梁变形的边界条件和连续条件1——C截面稍左2——C截面稍右ABFCL/2L/2EABC第七章弯曲变形16§7—5叠加法计算梁的变形1、载荷叠加：

2、结构形式叠加（逐段刚化法）：一、前提条件：弹性、小变形。二、叠加原理：梁上有几个（几种）荷载共同作用的变形等于每个荷载（每种）荷载单独作用产生的变形的代数和。三、叠加法计算的两种类型：第七章弯曲变形17aaF=+例：叠加法求A截面的转角和C截面

的挠度.解、载荷分解如图、由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形。aaqFACA第七章弯曲变形18、叠加例：叠加法求C点挠度.解、载荷无限分解如图、查梁的简单载荷变形表，、叠加d

bdFb第七章弯曲变形19=+L/2qFL/2ABC例：确定图示梁C截面的挠度和转角。解：1、载荷分解如图2、查梁的简单载荷变形表L/2qL/2L/2FL/2第七章弯曲变形203、叠加L/2L/2qACA=+例：求图示梁C截面的挠度。解：1、载荷分解如图2、查梁的简单载荷变形表3、叠加L/2ACAq/2L/2(a)L/2L/2ACAq/2q/2(b)第七章弯曲变形21例:结构形式叠加（逐段刚化法)原理说明+1w2w=FFFFFw第七章弯曲变形22例：求图示梁C截面的挠度。解：1、结构分解如图2、查梁的简单载荷变形表L/2FL/2ABC2EIEIL/2FL/2ABC（a）=+L/2FL/2ABC（b）M=FL/23、叠加第七章弯曲变形23=+ABLaCqqaABL

CM=qa2/2ÞÞ（b）例：求图示梁B截面的挠度（EI已知）。解：1、结构分解如图2、查梁的简单载荷变形表3、叠加B

CÞÞq（a）第七章弯曲变形24例、用叠加法求图示等截面直梁A、D、E（BC之中点）点的挠度。

解：结构和载荷分解如图。

E（1）（2）Fq=F/aBP2aADC2aaqa/2F第七章弯曲变形25（4）FDCa（3）FFaFq=F/a第七章弯曲变形26例：拐杆如图，A处为一轴承，允许杆在轴承内自由转动，但不能上下移动，已知：E=210Gpa，G=0.4E，求B截面的垂直位移。分析：B点的垂直位移由两部分组成，即：BA弯曲和CA杆扭转由A截面转角而引起。

FBwB1FBACCMA=FLABwB2F第七章弯曲变形27第七章弯曲变形28第七章弯曲变形29

用叠加法求AB梁上E处的挠度wEwE=wE1+wE2

=wE1+wB/2E1wB=?E2+第七章弯曲变形30+wB=wB1+wB2+wB3wB=?E2第七章弯曲变形31§7—7梁的刚度条件与合理刚度设计一、梁的刚度条件其中[]称为许用转角；[δ/L]称为许用挠跨比。

、校核刚度：

、设计截面尺寸；（对于土建工程，强度常处于主要地位，刚度常处于从属地位。特殊构件例外）二、刚度计算、确定外载荷。第七章弯曲变形32例：下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，杆的E=210GPa，工程规定C点的[δ/L]=0.00001,B点的[]=0.001弧度,试校核此杆的刚度.F2ABCDF2ABCDF2B

CABL

1

CMF2ABCF1D=++=F2=2KNABL=0.4ma=0.1mCF1=1KND0.2m第七章弯曲变形33解：结构变换，查表求简单

载荷变形。叠加求复杂载荷下的变形第六章弯曲变形=++图1图2图3F1F2F2F2=2KNABL=0.4ma=0.1mCF1=1KND0.2m34校核刚度第七章弯曲变形35三、提高梁的刚度的措施由梁在简单荷载作用下的变形表和前面的变形计算可看：梁的挠度和转角除了与梁的支座和荷载有关外还取决于下面三个因素：材料——梁的位移与材料的弹性模量E成反比；截面——梁的位移与截面的惯性矩I成反比；跨长——梁的位移与跨长L的n次幂成正比。

（转角为n的2次幂，挠度为n的3次幂）1、增大梁的抗弯刚度（EI）2、调整跨长和改变结构方法——同提高梁的强度的措施相同第七章弯曲变形36注意：同类的材料，“E”值相差不多，“jx”相差较大，故换用同类材料只能提高强度，不能提高刚度。

不同类的材料，“E”和“G”都相差很多（钢E=200GPa,铜E=100GPa），故可选用不同类的材料以达到提高刚度的目的。但是，改换材料，其原料费用也会随之发生很大的改变！第七章弯曲变形37§7—6简单超静定梁的求解1、用多余约束反力代替多余约束（取静定基，原则：便于计算）2、在多余约束处根据变形协调条件列出变形的几何方程3、把物理条件代入几何方程列出力的补充方程求出多余反力4、计算梁的内力、应力、强度、变形、刚度。L/2ACAqL/2B=L/2ACAqL/2BFcY分析——步骤——第七章弯曲变形38q

0LABFBY=、几何方程解：、建立静定基、由物理关系确定力的补充方程求出多余反力=FBY第七章弯曲变形39、几何方程解：、建立静定基例：结构如图，求B点反力。LBC、补充方程求出支反力第七章弯曲变形FBYFBY40例：结构如上图，E=210GPa，s=240MPa，LBC=1m，ABC=1cm2,AB为矩形截面梁,b=10cm,h=30cm,L=2m，q0=20kN/m,

求结构的安全系数。

解：由上题可知——Mx-23.72kNm1.64kNm

弯矩如图.——

FNBC第七章弯曲变形41确定挠曲线大致形状原则：1、由弯矩的正负判断挠曲线弯曲的大致形状（画弯矩图）；

2、由梁的支座处的边界条件及梁变形的连续条件判断。mm分析——1、画M图，2、据M图、支座和变形的连续条件画挠曲线的大致形状。mxM3FFaaaMxFaFa拐点第七章弯曲变形42xMM/32M/3

ABMa2aM/3aM/3aaaaF2F1R2R1xMF2aR1a设：F1产生变形的效果大于F2。第七章弯曲变形43弯曲变形小结一、挠曲线：梁变形后的轴线。

性质：连续、光滑、弹性、极其平坦的平面曲线。二、挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的位移。挠度向上为正；向下为负。三、转角：横截面绕中性轴转过的角度。用“”表示。顺时针为负；逆时针为正。四、挠度和角度的关系基本概念第七章弯曲变形442、曲率与挠曲线的关系：……（2）3、挠曲线与弯矩的关系：

挠曲线近似微分方程的近似性——忽略了“Fs”、对变形的影响。使用条件：弹性范围内工作的细长梁。结论：挠曲线近似微分方程——五、挠曲线近似微分方程的推导1、曲率与弯矩的关系：EIM=)()(1xxr……（1）难点第七章弯曲变形45步骤：（EI为常量）1、根据荷载分段列出弯矩方程M（x）。2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。基本计算一、积分法（1