逻辑第五章推理、简化真值表和形式证明

推理的构成

前提、结论和推出关系①显性部分：前提和结论前提与结论之间有个显著的标志——”所以”“所以”前面是前提，后面是结论。“所以”与“因此、因而、可见、因此可见、总之、总而言之”等相同。前提与结论倒置，则用“因为”连接。②隐性部分：推出关系必然性推出关系或然性推出关系推理的种类

第一、按思维进程方向推理演绎推理归纳推理类比推理第二、按前提的数量推理直接推理间接推理第三、推出关系推理必然性推理或然性推理必然性推理演绎推理完全归纳推理或然性推理不完全归纳推理类比推理有效式是前提蕴涵结论的蕴涵式有效式与蕴涵式的共同点表现为：有效式前提真推出结论必真蕴涵式前件真蕴涵后件必真共同点前真后必真如果前提真，则结论必真的推理形式是有效式。如果要得出一个必然为真的结论，推理必须具备两个条件：第一，前提内容真实第二，推理形式有效3、前提真实性、形式有效式与结论真实性的关系真或假有效假真或假

无效假真或假无效真真有效真结论推理形式前提内容前提真实性、形式有效式与结论真实性的关系复合命题推理有效式、无效式类型有效式无效式负命题推理双重否定联言推理分解式合成式相容选言推理

否定肯定式肯定否定式不相容选言推理否定肯定式肯定否定式充分条件假言推理肯定前件式否定后件式否定前件式肯定后件式必要条件假言推理否定前件式肯定后件式肯定前件式否定后件式充分必要条件假言推理肯定前件式否定后件式否定前件式肯定后件式pp

∧

q复合命题推理有效性的判定例：写出下列推理的形式，并分析是否有效，简答理由。如果物体受到摩擦，那么物体生热。物体受到摩擦。所以，物体生热。（一）规则判定

例：写出下列推理的形式，并分析是否有效，简答理由。如果我努力用功了，那么只要考试不超出大纲范围，我就能过关。因此等于说，如果我努力用功了并且考试不超出大纲范围，那么我就能过关。（二）真值表的判定作用判定原则：蕴涵式是永真式，当且仅当推理形式有效。蕴涵式不是永真式，当且仅当推理形式无效。步骤：第一步：把蕴涵式放入真值表第二步：计算出蕴涵式的真值第三步：判定pq

(pq)pq11

11110

01001

01100

010(pq)pq

pq

(pq)

pq11

01010

01101

10000

111(pq)

pq

判定下列推理形式是否有效：pq，rs，rt

┣tp简化真值表方法（归谬赋值法）简化真值表方法首先假设一个推理形式无效，然后对表示这一推理形式的蕴涵式赋值。

1.若赋值过程中无矛盾，则该推理形式无效。

2.若赋值过程中有矛盾（即qq)，则该推理形式有效。原理——归谬推理

pq,pq├p

pqq├p

1.转换：把推理形式转换成蕴涵式。

pq，p├

q(pq)

p

q2.假设：假设该蕴涵式为假。

(pq)

pq03.赋值：以蕴涵为假为条件，逐层赋值。

注意：赋值过程中，无矛盾无效，有矛盾有效。1.(pq)

p

q

02.

(pq)

p

q

100

简化真值表方法的检验过程例1：1(pq)

pq02(pq)

pq1003 (pq)

pq1110014(pq)

pq11110015(pq)

pq011110001判定：无矛盾，假设成立，该推理无效。即：当p赋值为假，q赋值为真时，蕴涵式为假。

例2：1(pq)pq02(pq)pq1003(pq)pq111004(pq)pq1111005(pq)pq1101100

06(pq)pq

0101100

判定：产生矛盾，该推理有效。

判定“(ppq)pq”是否有效。

赋值技巧1变项赋值一般从结论（后件）开始。理由： 结论为假，容易赋值；结论比较简单。 2如果结论为假的变项组合不止一种：①如果一种组合在赋值过程中无矛盾，余下的组合不必再赋值，即可判定该推理形式无效。②如果所有组合在赋值过程中有矛盾，则该推理形式有效。判定“（p→q）∧（r→s）∧(q∨s)

p∧

r”是否有效。判定“（

p→q）∧（

p∨q）→（p↔q）”是否有效。形式证明1.根据复合命题的逻辑特性，可产生基本的推理有效式和等值式。2.形式证明是一个推导序列，推理的有效性可以在一个推导序列中得到证明。3.形式证明的结构分为三部分：序列号、真值形式和理由。形式证明就是运用真值形式（人工符号）之间的“逻辑变形”表示必然性推理的全过程。例1：p∨q，q→r,r┣p序列号真值形式理由

1.p∨q前提

2.q→r前提

3.r前提

4.q2、3否后式

5.p1、4否肯式例2：p→q,p∨r,q

┣r∧

p

逆向思维例3：¬(q∧s),r→s,p→q,¬(t∧u)∨r,p∧u┣¬t1.¬(t∧u)∨r↔¬t∨¬u∨r2.p∧u┣u3.p∧u┣p4.p→q,p┣q5.¬(q∧s)↔¬q∨¬s6.¬q∨¬s,q┣¬s7.r→s,¬s┣¬r8.¬t∨¬u∨r,u∧¬r┣¬t¬(q∧s),r→s,p→q,¬(t∧u)∨r,p∧u┣¬t1.¬(q∧s)前提2.r→s前提3.p→q前提4.¬(t∧u)∨r前提5.p∧u前提6.p5分解式7.u5分解式8.q3、6肯前式9.¬q∨¬s1德摩根律10.¬s8、9否肯式11.¬r2、10否后式12.¬(t∧u)4、11否肯式13.¬t∨¬u12德摩根律14.¬t7、13否肯式例4：p→¬q,¬q→¬s,¬r∨s,u∧(t→r∧p)┣t→x

1.p→¬q前提

2.¬q→¬s前提

3.¬r∨s前提

4.u∧(t→r∧p)前提

5.t→r∧p4分解式

6.r→s3蕴涵定义律

7.¬s→¬r6假言易位律

8.p→¬r1、2、7假言连锁

9.¬p∨¬r8蕴涵定义律

10.¬r∨¬p9交换律

11.¬(r∧p)10德摩根律

12.¬t5、11否肯式

13.¬t∨x12附加律

14.t→x13蕴涵定义律注意：如果前提中有联言命题，那么联言命题就做为形式证明的出发点。形式证明的方法，不但能证明推理的有效性，而且还可以在已知的前提下推导出相应的结论。例5

一天夜里，某百货商店被窃，经侦查了解到并确认以下情况：①盗窃者或者是甲(p)，或者是乙(q)。②如果甲是盗窃者，那么作案时间不在零点之前(r)。③零点时该商店的灯灭了(s)，而甲此时尚未回家(t)。④若乙的陈述是真的(u)，则作案时间在零点之前。⑤只有零点时刻该商店灯未灭，乙的陈述才是撒谎。问：谁是盗窃者？将前提符号化为：pq,pr,st,ur,su运用形式证明推导如下：

1.pq前提

2.pr前提

3.st前提

4.ur前提

5.su前提

6.s3分解式

7.u5、6肯前式

8.r4、7肯前式

9.p2、8否后式

10.q1、9否肯式例6下面是一起杀人案的审讯记录：侦查员：你刚才说的都是实话吗？受审者：是的，全是实话。侦查员：你再重复一遍。受审者：因为那天只有张三(p)和李四(q)到过死者的房间，杀人的肯定在他们之中。要是张三杀了人，他就会伪造现场(r)。要是当时我在现场(s)，我也会被杀死(t)。除非我在现场，张三不会伪造现场。我知道的就这些，杀人犯是张三。问：受审者说的是否都是真话？将前提符号化为：pq,pr,st,sr,t根据上述前提作形式证明：

1.pq前提

2.pr前提

3.st前提

4.sr前提

5.t前提

6.s3、5否后式

7.r4、6否前式

8.p2、7否后式

9.q1、8否肯式从已知前提中导出结论：杀人者不是张三而是李四，所以受审者讲的不全是真话。注意：1、充分利用已知条件。2、正确理解自然语言，熟练转换符号语言。由自然语言翻译成人工语言应注意的问题：1.“只要p就q”不同于“只有p才q”2.“或者p或者q”不同于“要么p要么q”3.“甲、乙两人必须一个上场，一个不上场”不同于“甲、乙不同时上场”4.“甲、乙两人都不懂法律”不同于“甲、乙不都懂法律”5.“并非如果买了股票就能发财”不同于“如果不买股票就不能发财”6.“除非p才q”，“除非p不q”不同于“只有p才不q”7.“甲、乙、丙三人去两人”8.“甲、乙都去或者甲、乙都不去”9.“即使甲去乙也不去”10.“你听从地不是苏格拉底，而是更多地在听从真理”不同于“你不是在图书馆，就是在去图书馆的路上”条件证明p→(q→r)↔p∧q→r

p┣q→rp（前提集合）

q假设前提

...rq→r

若前提集合p加上假设前提q能推出r，则前提集合p必然能推出q→r。

例7p∨¬q,¬r→¬p┣q→r1. p∨¬q前提2.¬r→¬p前提3.q假设前提4.p1、3否肯式5.r2、4否后式6.q→r3-5条件证明例8请用形式证明的方法，证明下列推理的形式有效（不可使用简化真值表方法）

pq,rs,tr,(tp)┣qs证一：

1.pq前提

2.rs前提

3.tr前提

4.(tp)前提

5.tp4德摩根律

6.tp5蕴涵定义律

7.rt3蕴涵逆蕴涵交换律

8.pq1蕴涵定义律

9.rq6、7、8假言连锁

10.qr9假言易位

11.rs2蕴涵定义律

12.qs10、11假言连锁

注意:如果给定的前提中没有联言命题,那么把析取式转换成蕴涵式,再利用假言连锁进行推理。证二：1.pq前提2.rs前提3.tr前提4.(tp)前提5.q假设前提6.p1、5否肯式7.tp4德摩根律8.t6、7否肯式9.r3、8否前式10.s2、9否肯式11.qs5—10条件证明

间接证明（归谬证明）

p（前提集合）

¬q假设前提

...r∧¬rq

若前提集合p加上假设前提¬q能推出r∧¬r，那么就必然证明假设前提¬q为假，从而间接证明了推理的结论q。例9p∨q,q→r∧s,r∨p→t

┣t1.

p∨q前提2.q→r∧s前提3.r∨p→t

前提4.¬t假设前提5.¬(r∨p)3、4否后式6.¬r∧¬p5德摩根律7.¬p6分解式8.q1、7否后式9.r∧