第八章随机事件及其概率

1概率初步第三部分2

概率论是数学的一个分支,它研究随机现象的数量规律.概率论的广泛应用几乎遍及所有的科学领域,例如天气预报,地震预报；产品的抽样调查；保险费率计算；药物疗效评价;在通讯工程中可用以提高信号的抗干扰性,分辨率等等.3第八章随机事件及其概率4

在我们所生活的世界上，充满了不确定性

从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的诞生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠落，到大自然的千变万化……，我们无时无刻不面临着不确定性和随机性.5在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.“太阳从东边升起”,1、确定性现象

“同性电荷必然互斥”,“水从高处流向低处”,实例自然界所观察到的现象：确定性现象、随机现象确定性现象的特征

条件完全决定结果一、随机试验和样本空间第一节随机现象与随机事件6在一定条件下可能出现也可能不出现的现象，称为随机现象.实例1

“在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观察正反两面出现的情况”.2、随机现象结果有可能出现正面也可能出现反面.结果有可能为:“1”,“2”,“3”,“4”,“5”或“6”.实例2

“抛掷一枚骰子,观察出现的点数”.TH7实例3

“从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一个产品”.其结果可能为:

正品

、次品.实例4

“过马路交叉口时,可能遇上各种颜色的交通指挥灯”.8实例5

“出生的婴儿可能是男,也可能是女”.实例6

“明天的天气可能是晴

,也可能是多云或雨”等都为随机现象.随机现象的特征条件不能完全决定结果9３、随机试验随机现象是通过随机试验来研究的.问题什么是随机试验?如何来研究随机现象?10它具有以下三个特征：1.可以在相同的条件下重复地进行;2.每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.

在概率论中,把对随机现象的一次观察或实验，称为一次随机试验.11E1:抛一枚硬币，分别用“H”和“T”表示出正面和反面;E2:将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况；E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数;E4:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数；E5:记录某网站一分钟内受到的点击次数；E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命;E7:任选一人，记录他的身高和体重。随机试验的例子12４、样本空间现代集合论为表述随机试验提供了一个方便的工具.

我们把随机试验的每个基本结果称为基本事件或样本点，记作e或ω.全体样本点的集合称为样本空间.样本空间Ω表示.

如果试验是将一枚硬币抛掷两次，则样本空间由如下四个样本点组成：

S

={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}13

样本空间在如下意义上提供了一个理想试验的模型：

在每次试验中必有一个且仅有一个样本点出现.如果试验是测试某灯泡的寿命：

则样本点是一非负数，由于不能确知寿命的上界，所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果，故样本空间为

Ω

={t：t≥0｝14定义

随机试验中每一种可能的结果，称为随机事件，简称事件.记作

A、B、C等.二、随机事件任何事件均可表示为样本空间的某个子集.为了讨论问题方便，我们把必然事件和不可能事件也看成是特殊的随机事件。

每次试验中都一定出现的事件，称做必然事件，记作Ω

；任何一次试验中都不会出现的事件，称做不可能事件，记作Ø；15例如，掷一颗骰子一次，观察出现的点数Ω={

1,2,3,4,5,6

}样本空间：事件B就是Ω的一个子集。事件B:出现奇数点.B={1,3,5}“掷出点数小于7”是必然事件;而“掷出点数8”则是不可能事件.16

三、事件的关系与运算1、包含关系：

A＝B相等:BA“A发生必导致B发生”，记为A

B。A

B且B

A.172、事件的和(并):“事件A与B至少有一个发生”

BA183、事件的积(交)：“事件A与B同时发生”

记作或BA194、事件的差：A－B称为A与B的差事件,表示事件A发生而B不发生。思考：何时A-B=Ø

?何时A-B=A？BAABAB205、不相容事件：基本事件是两两互不相容的.BA21(即每次至多发生其中一个)

(即每次至少发生其中一个)

B1B2B3B4B6B7B5B8集合的划分226、对立事件(逆事件)：注意:对立事件必互斥；A但互斥的事件未必为对立事件。23事件运算的规律事件间的关系与运算与集合的关系与运算是完全相似的，运算规律也是完全相似的。但要注意，应该用概率论的语言来解释这些关系及运算，并且会用这些运算关系来表示一些复杂的事件。

可推广到多个事件。交换律结合律分配律对偶律24例

设A,B,C是三个事件,试表示下列事件：

1）三个事件至少发生一个:2）三个事件都发生:3）A发生而B与C不发生:7）三个事件至少有一个不发生:4）三个事件恰好发生一个：5）三个事件恰好发生两个：6）三个事件至少发生两个：25第二节随机事件的概率26

研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率.概率是随机事件发生可能性大小的度量

事件发生的可能性越大，概率就越大！27

了解事件发生的可能性即概率的大小，显然很有实际意义.

对一个随机事件A，我们用一个数

P(A)来表示A发生的可能性大小，称之为随机事件A的概率。

那么，怎么来规定

P(A)的大小呢？

28一、古典概率设某个试验有有限个可能的结果

假定从该试验的条件及实施方法上去分析，我们找不到任何理由认为其中某一结果例如ωi

，比任一其它结果，例如ωj

，更有优势，则我们只好认为所有结果在试验中有同等可能的出现机会，即1/的出现机会.ω1,ω2,…ωn

,一般把这样的试验结果称为“等可能的”.29称这种试验为古典概型(等可能概型).

若随机试验满足下述两个条件：

(1)它的样本空间只有有限多个样本点；

(2)每个样本点出现的可能性相同.称此概率为古典概率.这种确定概率的方法称为古典方法

.定义(概率的古典定义)在古典概型下，若基本事件总数为n，而事件A包含了其中的k个，那么事件A的概率为

30古典概率计算举例例1随机地抛二颗骰子，求出现点数之和为７点的概率。

按假定每个骰子出现１到６点等可能，

解31解例2基本事件总数：

所以32例3从5双鞋子中任取4只,问这4只鞋子至少有两只配成一双的概率是多少?解E：从5双不同的鞋子中任取4只排成一排；

A：所取4只鞋子中至少有两只配成一双.

33例4全班有50个学生，问至少有2人生日相同的概率为多少？（设一年有365天）解事件总数:有利场合数:概率之大有点出乎意料.可以计算，当人数超过23时，打赌说至少有两人同生日是有利的.解例5设想把取出的票依次放在排列成一直线的n个位置上，则共有n!种排法。而第k个位置为有记号票的排法总数，即总的基本事件数等于所以抽签结果与抽签顺序无关。抽签的公平性35解例6口袋中有编号1,2,…,n的n个球，从中有放回地随机取球m次，求取出的球中最大号码为k的概率.36例7

在12000的整数中任取一数，求取到的数（1）能被6或8整除的概率；（2）既不能被6也不能被8整除的概率；（3）能被6整除而不能被8整除的概率.设A—取到的数能被6整除；解B—取到的数能被8整除.37例7

在12000的整数中任取一数，求取到的数（1）能被6或8整除的概率；（2）既不能被6也不能被8整除的概率；（3）能被6整除而不能被8整除的概率.38

假定生男生女概率一样，则在有四个孩子的家庭中，你觉得男女比例最可能的情况是2~2还是3~1？用计算检验你的结果。思考题39解例8这是一个几何概型，xyo设x,y为所取的两个数，则样本空间所以40二、概率的公理化定义定义(概率的公理化定义)如果对任意事件A，都有一个实数

P(A)，满足以下条件：

(1)(2)规范性(3)可列可加性则称

P(A)为事件A的概率.41三、概率的性质

由概率的三条公理，我们可以推导出概率的若干性质.下面我们给出概率的一些重要性质.性质1(有限可加性)42性质2证明由可加性知,移项即得结论.43推论2.对任意事件A,有注若没有条件则公式应改为性质2证明由可加性知,移项即得结论.44性质3(对立事件的概率)证明对任何事件A,有

由规范性及可加性，

Ａ45性质4(加法公式)证明对任意两事件A,B,有由性质3得

推论：一般地，46推广:三个事件的加法公式证明留作练习.一般地,47例9解48解所以所以例1049第三节概率的乘法公式、全概公式和贝叶斯公式50一、条件概率和概率的乘法公式一般，事件A发生的条件概率P(A/B)

与普通概率P(Ａ)并不相等．

例如，考虑有两个孩子的家庭，假定男女出生率相同，则两个孩子的性别为(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)的可能性是一样的。

若A记为“一男一女”，则P(A)=1/2；

但如果预先知道至少有一男孩(记为事件B），则上述事件的概率P(A/B)应为2/3.

在许多情况下，我们往往要解决已知事件Ｂ已发生的条件下，求事件Ａ发生的概率，因为增加了“事件Ｂ已发生”的新条件，所以称这种概率为事件Ｂ已发生下事件Ａ发生的条件概率，记为P(A/B)。51又如：

某玩具厂的男女职工数，熟练工人和非熟练工人数如下表所示。

现从该企业中任选一名职工，求：（1）该职工为非熟练工人的概率；（2）若已知选出的是女职工，她是非熟练工人的概率．解：记事件Ａ＝“选到的为非熟练工人”；记事件Ｂ＝“选到的为女职工”；则52一般地，条件概率的计算公式如下：

例１某动物活到15年的概率为0.8，活到20年的概率为0.6,现有一只该动物，已活了15年，求它还能活5年及以上的概率。解

设A,B分别表示活到15年和20年,则不难验证条件概率具有以下性质：

53乘法公式由条件概率的定义：P(AB)=P(B)P(A|B)若已知P(B),P(A|B)时,可以反求P(AB).

P(AB)=P(A)P(B|A)推广到三个事件：

P

(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An-1)一般,与次序无关。乘法公式54例２

解55例3

一口袋中放有6个红球，４个绿球，从中任取二个球（不放回），求取得的第一个是红球且第二个是绿球的概率.解记Ai为第i个取得的是红球，56二、全概率公式与贝叶斯公式

全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用.

综合运用加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)=P(A)P(B

|

A)P(A)>057ΩAB1B2B3B4B6B7B5B858由概率的可加性及乘法公式,有

这个公式称为全概率公式，它是概率论的基本公式.

59全概率公式

利用全概率公式，可以把较复杂事件概率的计算问题，化为若干互不相容的较简单情形，分别求概率然后求和．

60例1市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品,已知三家工厂的市场占有率分别为30％、20％、50％,且三家工厂的次品率分别为3％、3％、1％，试求市场上该品牌产品的次品率.B1、B2、B3分别表示买到设A:买到一件次品；解加权平均一件甲厂、乙厂、丙厂的产品；61在上面例1中，如买到一件次品，问它是甲厂生产的概率为多大？这就要用到.

在全概率公式的假定下，有

该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在观察到事件A已发生的条件下，寻找导致A发生的每个原因Bk的概率.贝叶斯公式62所以这件商品最有可能是甲厂生产的.例2已知三家工厂的市场占有率分别为30％、20％、50％,次品率分别为3％、3％、1％.如果买了一件商品，发现是次品，问它是甲、乙、丙厂生产的概率分别为多少?

0.3,0.2,0.50.45,0.3,0.25解63全概率公式可看成“由原因推结果”,而贝叶斯公式的作用在于“由结果推原因”:现在一个“结果”A已经发生了，在众多可能的“原因”中,到底是哪一个导致了这一结果？

故贝叶斯公式也称为“逆概公式”。64

在不了解案情细节(事件A)之前，侦破人员根据过去的前科，对他们作案的可能性有一个估计，设为比如原来认为作案可能性较小的某丙，现在变成了重点嫌疑犯.例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有甲、乙、丙三人.丙乙甲P(B1)P(B2)P(B3)但在知道案情细节后,这个估计就有了变化.P(B1|A)知道A发生后P(B2

|A)P(B3|A)偏小最大65在实际工作中检查的指标A一般有多个，综合这些后验概率，当然会对诊断有很大帮助，在实现计算机自动诊断或辅助诊断中，这方法是有实用价值的。66下面举一个实际的医学例子，说明贝叶斯公式在解决实际问题中的作用.解67因此，虽然检验法相当可靠，但被诊断为患肝癌的人真正患病的概率并不大，其主要原因是人群中患肝癌的比例相当小。当然，医生在公布某人患肝癌之前，是不会只做一次或一种检验，还会辅以其它检验手段。

思考：诊断为无病,而确实没有患病的概率为多少？68贝叶斯公式在商业决策及其它企业管理学科中也有重要应用.有人依据贝叶斯公式的思想发展了一整套统计推断方法,叫作“贝叶斯统计”.可见贝叶斯公式的影响.69解例3设玻璃杯整箱出售，每箱20只，各箱含0,1,2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1,一顾客欲购买一箱玻璃杯，由营业员任取一箱，经顾客开箱随机察看4只，若无次品，则买此箱玻璃杯，否则不买.求:(1)顾客买下此箱玻璃杯的概率α；(2)在顾客买下的此箱玻璃杯中，确实没有次品的概率β.记A:顾客买下所察看的一箱玻璃杯，Bi:箱中有i件次品(i=0,1,2)，

由题设知，

70由全概率公式知

(2)由贝叶斯公式，知

71第四节随机事件的独立性和二项概率公式72一、事件的独立性设有两个事件A,B,一般来说,P(A|B)与P(A)是有差异的，但有时事件B的发生与否并不影响事件A发生的概率，即P(A|B)=P(A).

显然P(A|B)=P(A)

这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概率,这时称事件A、B独立.A={第二次掷出6点}，B={第一次掷出6点}，例如,将一颗均匀骰子连掷两次，设73

由乘法公式知，当事件A、B独立时，有

用P(AB)=P(A)P(B)刻划独立性,比用

P(A|B)=P(A)或

P(B|A)=P(B)

更好,它不受P(B)>0或P(A)>0的制约,且体现对称性.P(AB)=P(B)P(A|B)若两事件A、B满足定义P(AB)=P(A)P(B)则称A、B独立，或称A、B相互独立.P(AB)=P(A)P(B)74解例1

袋中有a个白球b个黑球，分别以A,B记第一次、第二次摸得白球，(1)采用有放回摸球；(2)采用无放回摸球，试分别判断A,B的独立性.(1)有放回摸球,所以A,B相互独立.全概率公式75例1

袋中有a个白球b个黑球，分别以A,B记第一次、第二次摸得白球，(1)采用有放回摸球；(2)采用无放回摸球，试分别判断A,B的独立性.(2)无放回摸球,所以A,B不相互独立.解76请问：如图的两个事件是独立的吗？

即:若A、B互斥，且P(A)>0,P(B)>0,则A与B不独立.反之，若A与B独立，且P(A)>0,P(B)>0,

则A、B不互斥.而P(A)≠0,P(B)≠0,故A、B不独立.由于互斥,P(AB)=0，即P(AB)≠P(A)P(B)独立与互斥的关系77A、B独立证明由独立的对称性,可得其余结论.

78对独立事件，许多概率计算可得到简化.利用事件的独立性计算概率79例２三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？

将三人编号为1，2，3，所求概率为记Ai={第I个人破译出密码}i=1,2,3解123“三个臭皮匠，顶个诸葛亮.”80例３假定人群中血清带肝炎病毒的概率为0.004，混合100个人的血清，求此血清带肝炎病毒的概率.

解81例４某彩票每周开奖一次，每一次提供十万分之一的中奖机会，若你每周买一张彩票，尽管你坚持十年(每年52周)之久，你从未中过一次奖的概率是多少？

解按题设，每次中奖的概率是10-5，于是每次未中奖的概率是1-10-5，

十年共购买彩票520次，每次开奖都是相互独立的，故十年从未中奖的概率是

这个很大的概率表明十年中你从未中过一次奖是很正常的事。二、二项概率公式称只有两种可能结果的试验（事件Ａ发生或Ａ不发生）为贝努利试验，

例如，有放回地抽取产品是重复独立试验；在相同条件下进行若干次独立射击也是重复独立试验．

若对某试验重复进行次，每次试验的结果互不影响，即每次试验结果出现的概率不依赖于其它各次试验的结果，则称这次试验是重复独立试验．

n重Bernoulli试验中事件A

出现

k

次的概率记为且每次试验的结果与其他次试验无关。试验可重复

n

次每次试验只有两个可能的结果：

若将此试验重复独立进行次，则称这n次试验为n

重伯努利(Bernoulli)试验：

n重伯努利试验特点：则例５袋中有3个白球,2个红球,有放回地取球4次,每次一只,求其中恰有2个白球的概率.解设Ａ表示4个球中恰有2个白球例7例６人群中血型为A型、B型、AB型和O型的概率分别为0.40，0.11，0.03，0.46．现在任选12人，求：（1）有2个人是A型血型的概率；（2）有1个人是AB血型的概率．解可将问题看成12次重复独立试验．

例7（1）每次试验结果仅考虑A型和非A型两个可能结果，那么，所求概率:

（2）每次试验结果仅考虑AB血型和非AB血型两个可能结果，那么，所求概率

:

例７八门炮同时独立地向一目标各射击一发炮弹,若有不少于2发炮弹命中目标时,目标就被击毁.如果每门炮命中目标的概率为0.6,求目标被击毁的概率.解

设i门炮击中目标为事件Ai,i=2~8,

标被击毁为事件B,

各炮命中概率p=0.6,则例8设目

伯努利JacobBernoulli1654-1705

瑞士数学家概率论的奠基人伯努利伯努利(JacobBernoulli)简介伯努利家属祖孙三代出过十多位数学家.这在世界数学史上绝无仅有.伯努利幼年遵从父亲意见学神学,当读了R笛卡尔的书后,顿受启发,兴趣转向数学.1694年,首次给出直角坐标和极坐标下的曲率半径公式,同年关于双纽线性质的论文,使伯努利双纽线应此得名.此外对对数螺线深有研究,发现对数螺线经过各种变换后,结果还是对数螺线,在惊叹此曲线的奇妙之余,遗言把对数螺线刻在自己的墓碑上,并附以颂词:纵使变化,依然故我1695年提出著名的伯努利方程1713年出版的巨著《推测术》,是组合数学及概率史的一件大事.书中给出的伯努利数、伯努利方程、伯努利分布等,有很多应用,还有伯努利定理,这是大数定律的最早形式.91课外读物赌徒的谬误

M：琼斯先生和琼斯太太