CAD技术基础 第5章 图形变换

第五章图形变换构成图形的要素有两个：

几何要素——刻画形状的点、线、面、体…

非几何要素——反映物体表面属性或材质的明暗、灰度、色彩…实体在计算机内部的表现方式？

F1(E4)V1(V4)V2V3(E6)(E5)E2E3E1(F4)(F2)(F3)GE1E6E5E4E3E2V4V3V2V1（x1,y1,z1）（x3,y3,z3）（x2,y2,z2）（x4,y4,z4）F1F2F3F4实体在计算机内部的表现方式？数据结构：顶点表：

纪录几何信息；

棱线表和面表：

纪录拓扑信息；

逻辑结构：网状图物理结构：V3V2V1E1E6E5E4E3E2GV4（x1,y1,z1）（x3,y3,z3）（x2,y2,z2）（x4,y4,z4）F1F2F3F4顶点表（几何关系）顶点号坐标值VFPVAPV1V2V3V4x1,y1,z1x2,y2,z2x3,y3,z3x4,y4,z40V1V2V3V2V3V40逻辑结构V3V2V1E1E6E5E4E3E2GV4（x1,y1,z1）（x3,y3,z3）（x2,y2,z2）（x4,y4,z4）F1F2F3F4

F1(E4)V1(V4)V2V3(E6)(E5)E2E3E1(F4)(F2)(F3)棱线号顶点号EFPEAPE1E2E3E4E5E6V1，V2V2，V3V3，V1V1，V4V4，V2V4，V30E1E2E3E4E5E2E3E4E5E60棱线表（拓扑关系）逻辑结构V3V2V1E1E6E5E4E3E2GV4（x1,y1,z1）（x3,y3,z3）（x2,y2,z2）（x4,y4,z4）F1F2F3F4

F1(E4)V1(V4)V2V3(E6)(E5)E2E3E1(F4)(F2)(F3)（x1,y1,z1）（x3,y3,z3）（x2,y2,z2）（x4,y4,z4）面表表面号组成棱线FFPFAPF1F2F3F4E1E2E3E2E6E5E1E5E4E3E4E60F1F2F3F2F3F40GE1E6E5E4E3E2V4V3V2V1F1F2F3F4引言对于一个绘图系统来说，不仅能用图形基本元素的集合构成复杂的二维静态图形．通过三维的几何体来定义零件的空间模型，而且还应该可以对该模型进行编辑处理，如围绕任一指定的轴旋转，以利于从某一最有利的角度去观察它，对它进行修改。软件的这些功能是基于图形变换的原理实现的。图形变换是计算机绘图的基础内容之一。图形变换：对图形的几何信息经过几何变换后产生新的图形。图形变换的两种形式：1.图形不变，坐标系改变：变动后图形在坐标系中各点的坐标值发生变化；2.图形改变，坐标系不变。变动后该图形在新坐标系下各点具有新的坐标值。

可以将图形放大或缩小，或者对图形作不同方向的拉伸来使其扭曲变形…几何图形的矩阵表示二维图形的基本变换二维图形的组合变换三维图形的几何变换三维图形的投影变换

本章要点§5－1图形变换的方法图形由图形的顶点坐标、顶点之间的拓扑关系以及组成图形的面和线的表达模型所决定，构成图形的基本要素是点。对一个图形作几何变换，实际上就是对一系列点进行变换点和图形的表示

（1）点的表示：在二维平面内，一个点通常用它的两个坐标（x，y）来表示。为了便于进行各种变化运算，通常把二维空间中的点表示成2×1行矩阵或表示成1×2列矩阵，即一、构成图形的基本要素及其表示方法或在三维空间内，一个点通常用它的三个坐标（x，y，z）来表示。为了便于进行各种变化运算，通常把三维空间中的点表示成3x1行矩阵或表示成1x3列矩阵，即：2）平面图形和空间立体的表示：用点的集合表示。三角形的三个顶点坐标a(x1,y1),b(x2,y2),c(x3,y3)，用矩阵表示：

二、点的变换

图形可用点集表示，点集可用矩阵表示。

图形的基本变换就可以通过点集的变换来实现。因此对点集的变换可以通过相应的矩阵运算来实现。旧点（集）×变换矩阵新点（集）矩阵运算对于二维空间中的任意一点P（x,y)，该点由某一位置变换到另一位置,就可以用矩阵乘法来实现。即为变换矩阵例如：比例变换矩阵形式：1、比例变换§5－2二维图形几何变换2、镜射变换3、旋转变换4、错切变换5、平移变换1比例变换图形中的每一个点以坐标原点为中心，按相同的比例进行放大或缩小所得到的变换称为比例变换。

用来改变一物体大小，也称为缩放变换。§5－2二维图形几何变换1、比例变换几何关系表达式：如果要对一个多边形进行比例变换，那么可把各顶点的坐标（x，y）均乘以比例因子a，d，以产生变换后的坐标（x′，y′）。矩阵形式：比例变换的变换矩阵为：讨论：恒等变换：a=d=1

，变换后点的坐标不变。等比变换：a=d≠1

，当a=d＞1

时，变换后图形等比例放大。当a=d＜1

时，变换后图形等比例缩小。不等比变换：a≠d，变换后图形产生畸变。a=d＞1a=d＜1a≠d例如，原图形的个点坐标为A(1620,),B(20,20),C(20,28),D(24,28),E(24,32),F(12,32),G(12,28),H(16,28),若比例变换矩阵为：求图形变换后的个点坐标。

点集合矩阵为P

2、镜射变换§5－2二维图形几何变换镜射变换即产生图形的镜像，用来计算镜射图形，也称为对称变换。包括对于坐标轴、坐标原点、±45°直线和任意直线的镜射变换。(1)对X轴的镜射变换O X Y 原始位置对X轴镜射

几何关系表达式：1）对坐标轴的镜射变换矩阵形式：变换矩阵为：(2)对Y轴的镜射变换变换矩阵为：几何关系表达式：矩阵形式：OXY 对Y轴镜射原始位置1）对坐标轴的镜射变换2)对原点的镜射变换变换矩阵为：几何关系表达式：矩阵形式：O X Y 原始位置对原点镜射3）对±45°线的镜射变换变换矩阵为：几何关系表达式：矩阵形式：（1）对+45°线的镜射YX Y

原始位置对+45°线镜射变换矩阵为：几何关系表达式：矩阵形式：（1）对-45°线的镜射O X Y

原始位置对-45°线镜射3）对±45°线的镜射变换3、旋转变换旋转变换：物体上的各点绕一坐标系原点沿圆周路径作转动称为旋转变换。可用旋转角表示旋转量的大小。规定：逆时针方向为正，顺时针方向为负。一个点由位置（x，y）旋转到（x’，y’）的角度为自水平轴算起的角度，为旋转角，可由三角关系得。设点（x，y）绕坐标原点逆时针旋转θ角，则点的数学表达式为：式中x′=rcos(α+θ)=r(cosαcosθ－sinαsinθ)=xcosθ–ysinθy′=rsin(α+θ)=r(sinαcosθ＋cosαsinθ)=xsinθ+ycosθθXYαO(x′,y′)(x,y)式中变换矩阵为：矩阵形式：注意:

图形的旋转是绕坐标原点旋转θ角，且逆时针为正，顺时针为负。错切变换是图形的每一个点在某一方向上坐标保持不变，而另一坐标方向上坐标进行线性变换。错切用于描述受到扭曲、剪切后的几何体形状。4、错切==在沿X轴的错切变换中，Y坐标不变，X坐标有一增量。变换后原来平行于Y轴的直线，向X轴方向错切成与X轴成一定的角度。（1）沿X轴向错切几何关系表达式：变换矩阵为：矩阵形式：当c＞0时，错切沿着X轴的正向；当c＜0时，错切沿X轴负向。错切直线与X轴的夹角为：例题：如果设c=2，对图6－5所示方形图框进行错切变换，计算变换后图形各点的坐标。（1）沿X轴向错切（10,10）（10,0）X O （0,10） Y Y O （10,0）X 在沿Y轴的错切变换中，X坐标不变，Y坐标有一增量。变换后原来平行于X轴的直线，向Y轴方向错切成与Y轴成一定的角度。（2）沿Y轴向错切几何关系表达式：变换矩阵为：矩阵形式：当b＞0时，错切沿着Y轴的正向；当b＜0时，错切沿Y轴负向。错切直线与X轴的夹角为：例题：如果设b=2，对图所示方形图框进行错切变换，有（2）沿Y轴向错切（10,10）（10,0）X O （0,10） Y O X Y （10,30）（10,20）（0,10）（0,0）令X、Y轴方向的平移量分别为Tx和Ty，则5、平移变换O

X Y

图6－8平移变换旧点（集）×变换矩阵新点（集）矩阵运算是否满足图形变换的矩阵运算?：平移是一物体从一个位置到另一个位置所作的直线移动。如果要把一个位于P（x，y）的点移到新位置p′（x′，y′），则只要在原坐标上加上平移距离Tx和Ty即可几何关系表达式：原有图形能实现平移吗？原因：cy，bx均非常量问题：1.如何用矩阵来表示平移变换后点的坐标变换呢？比例变换镜射变换错切变换旋转变换

如果将2×2的变换矩阵扩充为3×2矩阵，是否可以？图形的点集矩阵是n×2阶，而变换矩阵是3×2阶，两者无法相乘，不能进行图形变换运算。可将[x，y]扩充为[x，y，1]，即把点集矩阵扩充为n×3阶矩阵。结论：用2×2的矩阵来变换一个物体时有两种限制。第一，它的变换要么针对原点．要么是针对X轴、Y轴进行变换，但不可能对任意一个点或者任意一条直线作变换。第二，它没有包含平移变换。如果要完成平移变换．则必须加上一个与顶点数有关的N×M的矩阵。

在计算机图形学中．许多的变换不可能由单一的一个矩阵来完成，而必须由几个矩阵组合，才能完成一系列的变换。要做到这一点，不同格式的变换矩阵是不可能连续运算的。为了方便连续的数学变换，希望能够用一种一致的或同类的方法来处理不同的变换，使得不同的基本变换能很容易地结合在一起，形成各种复杂的组合变换。解决方法————引入齐次坐标技术齐次坐标技术基本思想：把一个n维空间的几何问题，转换到n＋1维空间中去解决。如二维平面上的点P（x，y）:齐次坐标表示为Pw（wx，wy

，w），w是任一不为0的比例系数。齐次坐标表示（x，y，w）→二维笛卡儿直角坐标（x/w，y/w）规格化齐次坐标：齐次坐标表示不是唯一的，通常将w＝1时的齐次坐标称为规格化的齐次坐标。使用齐次坐标表示法在计算机图形处理中的优越性：提供了用矩阵运算将二维、三维或更高维空间中的一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的有效方法。将平移、旋转、缩放等变换用统一的方式，即用矩阵乘积的方式表达。例：平面三角形A齐次坐标矩阵表示123oxy若图形A经过某种变换后得到图形B，则有：

B=A·TT称为变换矩阵，二维：T为3x3矩阵，三维：T为4x4矩阵。A二维图形的几何变换二维变换矩阵（齐次坐标表示时）为：几何变换的矩阵运算(齐次坐标表示)（1）列表示法（2）行表示法（★）（1）比例变换变换矩阵为：

坐标点(x，y，1)变换运算：若a=d=1，为恒等变换，变换后的图形不变；若a=d≠1，>1时为等比例放大，<1时为等比例缩小；若a≠d，图形在x，y两个坐标方向以不同的比例变换。

二维图形的基本几何变换（2）对称变换根据abcd不同的取值情况，可以获得不同的对称变换。①Y轴对称变换坐标点(x，y，1)变换运算：变换矩阵为：

②X轴对称坐标点(x，y，1)变换运算：变换矩阵为：

③对原点对称坐标点(x，y，1)变换运算：变换矩阵为：

④45°线对称坐标点(x，y，1)变换运算：变换矩阵为：

⑤-45°线对称坐标点(x，y，1)变换运算：变换矩阵为：

（3）错切变换其中：c为x方向错切系数，b为y方向错切系数。①当b=0时,x’=x+cy,y’=y。y坐标不变：

c>0沿+x方向错切；c<0沿-x方向错切。②当c=0时,x’=x,y’=bx+y。x坐标不变：

b>0沿+y方向错切；b<0沿-y方向错切。坐标点(x，y，1)变换运算：变换矩阵为：

（4）旋转变换绕坐标原点旋转，逆时针为正，顺时针为负

坐标点(x，y，1)变换运算：变换矩阵为：

（5）平移变换其中：l为x方向平移量，m为y方向平移量。坐标点(x，y，1)变换运算：变换矩阵为：

二维图形基本变换矩阵讨论：实现图形的比例、对称、错切、旋转等基本几何变换；

实现图形平移变换；实现图形透视变换，一般二维变换中p=q=0；实现图形全比例变换，s>1等比例缩小；0<s<1等比例放大。各元素的功能和几何意义各不相同，可以分割成四块在平面图形的变换中，比例变换改变了图形的大小，但其形状未发生变化；错切变换不仅改变尺寸大小，而且也改变了图形的形状；旋转变换和平移变换只是改变了图形的位置，其本身大小形状都未发生变化（因此旋转变换矩阵通常用于正投影变换）。

5.3二维图形的组合变换实际上，图形变换中常常是相对于任意点或线变换。单独采用前述的各种基本变换无法完成，通常需要将各种基本变换组合使用，以完成最终的图形变换。解决这个问题的思路是这样的：先将任意点移向坐标原点（任意线则移向与X或Y轴重合的位置），再用前述变换矩阵加以变换，最后反向移回任意点（任意线移回原位）。这种由多种基本变换组合而成的变换称为组合变换，相应的变换矩阵叫做组合变换矩阵。设平面图形绕任意点p（xp，yp）旋转α

角。具体步骤如下：（1）将旋转中心p（xp，yp）平移到原点；（2）将图形绕坐标系原点旋转α角；（3）将旋转中心平移回到原来位置。1.平面图形绕任意点旋转变换úúúûùêêêëé--=1010001ppyxt1T将平面图形绕点P（xp，yp）旋转一θ角。（1）将旋转中心Q平移到原点，图形也随着一起平移变换矩阵为：1.平面图形绕任意点旋转变换（2）将图形绕坐标系原点旋转α角，变换矩阵为：úúúûùêêêëé-=1000cossin0sincosaaaar2T1.平面图形绕任意点旋转变换（3）将旋转中心平移回到原来位置，变换矩阵为：1.平面图形绕任意点旋转变换因此，绕任意点的旋转变换矩阵为：1.平面图形绕任意点旋转变换例：原图形为长方形，各点坐标为：A(20,10)，B(50,10)，C(50,30)，D(20,30)，要求长方形绕A点作逆时针方向旋转30°，求变换后各顶点的坐标。原图形长方形点集矩阵表示为：1.平面图形绕任意点旋转变换（1）旋转中心A(20，10)连同图形整体移动，使旋转中心A与原点重合。使用平移变换矩阵：负值表示P点的移动方向与坐标轴方向相反。1.平面图形绕任意点旋转变换（2）绕坐标原点旋转图形，即作旋转变换。1.平面图形绕任意点旋转变换（3）将旋转之后的图形，连同A点再反向平移回到原先位置。即作平移变换。1.平面图形绕任意点旋转变换则绕任意定点A的旋转变换矩阵T为：1.平面图形绕任意点旋转变换变换后长方形的各顶点坐标为：2.平面图形对任意直线的镜射变换设任意直线的方程为：Ax+By+C=0，直线在X轴和Y轴上的截距分别为-C/A和-C/B，直线与X轴的夹角为，α=arctg（-A/B）。具体步骤如下：-C/A

Y XO-C/BAx+By+C=0-C/A

Y XO-C/B（1）平移直线，沿X方向将直线平移，使其通过原点（也可以沿y向平移）；Y XOAx+By+C=0变换矩阵如下：2.平面图形对任意直线的镜射变换（2）绕原点旋转，使直线与X坐标轴重合（也可以与Y轴重合）；旋转α=arctg（-A/B）。Y XO变换矩阵如下：2.平面图形对任意直线的镜射变换-C/A

Y XO-C/B（3）对于X轴进行镜射变换（也可以对于Y轴镜像）

；变换矩阵如下：2.平面图形对任意直线的镜射变换-C/A

Y XO-C/B（4）绕原点旋转，使直线和图形回到原来与X轴成α角的位置；变换矩阵如下：2.平面图形对任意直线的镜射变换-C/A

Y XO-C/B（5）平移直线和图形，使其回到原来位置。变换矩阵如下：2.平面图形对任意直线的镜射变换通过以上五个步骤，即可实现图形对任意直线的镜射变换。其组合变换如下：2.平面图形对任意直线的镜射变换3.相对任意点的比例变换工程实际中，相对于任意点的比例变换使用得更多。例如在当前图中要插入另外一个图形，并要使其放大或缩小。

其变换顺序如下：

第一步．将原图中任意一点Q（L，M），平移到坐标原点，整个图形随之移动。变换矩阵为：第二步，相对原点的进行比例变换。变换矩阵为：第三步，进行第一步的逆变换：平移变换，将任意点Q平移至原来位置，整个图形随之移动。变换矩阵为：3.相对任意点的比例变换上述组合变换的组合矩阵为3.相对任意点的比例变换课堂讨论题已知△ABC各顶点的坐标分别为A（10，10），B（10，40），C（40，50），现对其实施下述变换：（1）沿x方向平移30，沿y方向平移20，再绕坐标原点逆时针旋转90°；（2）绕坐标原点逆时针旋转90°，沿x方向平移30，沿y方向平移20。比较两种变换是否等价？（1）①沿x方向平移30，沿y方向平移20：变换矩阵为：4.组合变化顺序对图形的影响

②绕坐标原点逆时针旋转90°：变换矩阵为：组合变换的组合短阵为4.组合变化顺序对图形的影响

三角形的齐次矩阵表达式为：变换后的图形的齐次矩阵表达式为：4.组合变化顺序对图形的影响

（2）①绕坐标原点逆时针旋转90°：变换矩阵为：②沿x方向平移30，沿y方向平移20：变换矩阵为：4.组合变化顺序对图形的影响

组合变换的组合短阵为变换后的图形的齐次矩阵表达式为：4.组合变化顺序对图形的影响

组合变换是通过基本变换的组合而成的，点或点集的多次变换可以一次完成，这要比逐次进行变换效率高。由于矩阵的乘法不符合交换律，即：[A][B]≠[B][A]，因此，组合的顺序一般是不能颠倒的。顺序不同，则变换的结果亦不同。

O

先平移后旋转

X

X

旋转后平移Y

Y

O

124.组合变化顺序对图形的影响

§5－4三维图形几何变换5.4.1三维基本变换矩阵三维图形的变换是二维图形变换的简单扩展。在三维空间，用四维齐次坐标[xyz1]来表示三维点，三维变换矩阵要用4×4矩阵表示所有变换。变换的原理：是把齐次坐标点(x，y，z，1)通过变换矩阵变换成新的齐次坐标点(x′，y′，z′，1)，即平移缩放旋转错切透视变换整体缩放与二维相同，也可将三维变换矩阵按虚线分为4个子矩阵，左上角子矩阵产生三维图形的比例、对称、错切和旋转变换；左下角子矩阵产生平移变换；右上角子矩阵产生透视变换；右下角子矩阵产生全比例变换。T为三维基本(齐次)变换矩阵：

三维基本几何变换都是相对于坐标原点和坐标轴进行的几何变换。

假设三维形体变换前一点为p(x,y,z)，变换后为p'(x',y',z')。5.4.2三维基本变换1、比例变换

空间立体各点坐标(以坐标原点为参考点)按某一比例放大或缩小，这种变换成为比例变换。5.4.2三维基本变换在变换矩阵T中，a，e，j起局部比例变换作用，而元素s起整体比例变换作用。

局部比例变换矩阵Ts为：空间点的x，y，z坐标是分别按比例a，e，j变化的。若a=e=j≠0，则各向缩放比例相同；若a≠

e≠

j≠0，则各向缩放比例不同，立体产生变形。若a=e=j=1，为恒等变化5.3.2三维基本变换元素s的作用是使图形产生整体比例变换，其变换矩阵T为：[xyz1]·T=[xyzs]=[x/sy/sz/s1]=[x*y*z*1]元素s使(x，y，z)坐标同时发生了相同比例的变化。当s>1时是缩小比例当0<s<1时是放大比例。

例：对如图所示的长方形体进行比例变换，其中x、y、z各方向的比例系数分别为1/2，1/3和1/2，求变换后的长方形体各点坐标。比例变换矩阵T各点齐次坐标：2.镜射变换在二维平面中，镜射变换是对坐标轴的镜射。在三维空间中，立体的镜射变换则即可对坐标轴的镜射，也可对坐标平面的镜射，只要将恒等变换的单位矩阵T中的有关项的符号改变即可。

1)关于坐标平面镜射（1）对xoy平面的镜射将单位矩阵中控制Z坐标的（+1）改为（-1）即可。变换矩阵为：变换后的点坐标为：如何修改单位矩阵？？2.镜射变换（2）对yoz平面的镜射变换矩阵：将单位矩阵中控制x坐标的（+1）改为（-1）即可变换矩阵为：变换后的点坐标为：如何修改单位矩阵？（3）对xoz平面的镜射将单位矩阵中控制Y坐标的（+1）改为（-1）即可。变换矩阵为：变换后的点坐标为：（1）关于X轴进行镜射变换

相当于在yoz坐标平面内相对于原点进行镜射变换。将单位矩阵中控制

Y和Z坐标的（+1）改为（-1）即可进行关于X坐标轴对称变换。变换矩阵为：变换后的点坐标为：

2)关于坐标轴镜射变换（2）关于Y轴进行镜射变换相当于在xoz坐标平面内相对于原点进行镜射变换。将单位矩阵中控制X和Z坐标的（+1）改为（-1）即可进行关于Y坐标轴对称变换。变换矩阵为：变换后的点坐标为：

2)关于坐标轴镜射变换（3）关于Z轴进行镜射变换相当于在xoy坐标平面内相对于原点进行镜射变换。将单位矩阵中控制

X和Y坐标的（+1）改为（-1）即可进行关于Z坐标轴对称变换。变换矩阵为：变换后的点坐标为：

2)关于坐标轴镜射变换3.错切变换错切变换的含义是将坐标沿某一坐标轴方向按比例错移，它将一个坐标方向的值按比例叠加到另一个坐标轴上。错切变换是画斜轴测图的基础。yx沿y含z错切zyx沿x含z错切错切变换为：由变换结果可以看出，一个坐标的变化受另外两个坐标变化的影响。在上述4×4变换矩阵中，令主对角线各元素为1，第4行和第4列元素均为零，可得到三维错切变换矩阵，即3.错切变换(1)沿x方向含y错切

zyx沿x含y错切在沿X轴的错切变换中，Y和Z坐标不变，X坐标有一增量。变换后原来平行于Y轴的直线，向X轴方向错切成与X轴成一定的角度。变换矩阵为：变换后的各点坐标为：(2)沿x方向含z错切

zyx沿x含z错切在沿X轴的错切变换中，Y和Z坐标不变，X坐标有一增量。变换后原来平行于Z轴的直线，向X轴方向错切成与X轴成一定的角度。变换矩阵为：变换后的各点坐标为：(3)沿Y方向含X错切

在沿Y轴的错切变换中，X和Z坐标不变，Y坐标有一增量。变换后原来平行于X轴的直线，向Y轴方向错切成与Y轴成一定的角度。zyx沿y含x错切变换矩阵为：变换后的各点坐标为：yx沿y含z错切(4)沿Y方向含Z错切

在沿Y轴的错切变换中，X和Z坐标不变，Y坐标有一增量。变换后原来平行于Z轴的直线，向Y轴方向错切成与Y轴成一定的角度。变换矩阵为：变换后的各点坐标为：zyx沿z含x错切(5)沿Z方向含X错切

在沿Z轴的错切变换中，X和Y坐标不变，Z坐标有一增量。变换后原来平行于X轴的直线，向Z轴方向错切成与Z轴成一定的角度。变换矩阵为：变换后的各点坐标为：zyx沿z含y错切(6)沿Z方向含Y错切

在沿Z轴的错切变换中，X和Y坐标不变，Z坐标有一增量。变换后原来平行于Y轴的直线，向Z轴方向错切成与Z轴成一定的角度。变换矩阵为：变换后的各点坐标为：错切变换若d、h不为零，则沿着x轴方向有错切若b、i不为零，则沿着y轴方向有错切若c、f不为零，则沿着z轴方向有错切b、c是关于变量x的错切d、f是关于变量y的错切h、i是关于变量z的错切4.旋转变换旋转变换是使空间立体绕旋转轴转过一个角度，旋转后的立体只改变了空间位置，它的形状没有发生任何变化.对于旋转变换中，旋转角度的正负我们用右手定则来确定，既右手大拇指指向旋转轴的正向，其余四个手指指向表示旋转方向，符合右手定则，旋转角度为正，否则为负。zyX旋转变换的角度方向4.旋转变换－绕Z坐标轴旋转此时，Z坐标不变，X，Y坐标相应变化。(x’,y’,z’)(x,y,z)xzy在XOY平面绕原点O旋转可视为绕Z轴旋转，只是Z为零；

在三维旋转变换中，Z坐标不为零，但在绕Z轴的旋转过程中，Z坐标不发生变化，因此，三维旋转变换矩阵只是在二维旋转基础上加一Z坐标，此时，Z坐标不变，X，Y坐标相应变化。θxyαo(x’,y’,z’)(x,y,z)x'=ρcos(α+θ)=xcosθ–ysinθy'=ρsin(α+θ)=xsinθ+ycosθz'=zxzy4.旋转变换－绕Z坐标轴旋转在二维图形旋转变换中，我们已经用图解法证得在XOY平面中图形绕原点O的旋转变换矩阵为4.旋转变换－绕Z坐标轴旋转绕Z轴旋转的三维旋转变换矩阵为：空间上的立体绕X轴旋转时，立体上各点的X坐标不变，只是Y、Z坐标发生相应的变化。x′=xy′=ρcos(α+θ)=ycosθ-zsinθz′=ρsin(α+θ)=ysinθ+zcosθXYZ(x,y,z)(x′,y′,z′)OαθYO(x′,y′,z′)(x,y,z)Z2)绕x轴旋转绕X轴旋转的变换矩阵可得绕X轴旋转变换矩阵

Y坐标不变，X，Z坐标相应变化。x′=ρsin(α+θ)=xcosθ+zsinθy′=yz′=ρcos(α+θ)=zcosθ-xsinθXZ(x,y,z)(x′,y′,z′)3)绕y轴旋转θXαOZ(x,y,z)(x′,y′,z′)绕Y轴的旋转变换矩阵可得绕Y轴旋转变换矩阵5.平移变换将空间一点(x，y，z)平移到一个新的位置(x′y′，z′)的变换.ZYX(x,y,z)(x',y',z')平移变换5.平移变换简单几何体的图形变换式中：T为所要进行的图形变换矩阵假定一六面体ABCDEFGH各点的坐标分别为（x1,y1,z1）,…..,(x8,y8,z8)，则经过图形变换后的坐标为：相对任一参考点的三维变换相对于参考点F(xf，yf，zf)作比例、旋转、错切等三维变换的过程分为以下三步：

(1)将参考点F平移至坐标原点；

(2)针对原点进行三维几何变换（比例、旋转、错切）；

(3)进行反变换。5.4.3三维基本变换矩阵的组合例：相对于F(xf，yf，zf)点进行比例变换T=Tt•

Ts•

T-t(x',y',z')zyxzyx(x',y',z')zyx(x',y',z')zy(x',y',z')xFF图5-8相对参考点F的比例变换(a)原图(b)移至坐标原点(c)基本比例变换(d)移回F点原来位置绕任意轴的三维旋转变换问题：如何求出为TRAB。

问题描述：设三维空间中有一条任意直线AB，它由直线上一点Q和沿直线方向的单位方向向量n(n1,n2,n3)确定，Q点坐标为(x0,y0,z0)，以这条直线为旋转轴做旋转θº的旋转变换，使三维空间中任意一点P变成P'。

XYZABP'Pθ

P点绕AB轴旋转Q(x0,y0,z0)实现步骤：1.做平移交换T(－XA，－YA，－ZA)，将坐标原点平移到A点；2.旋转并使直线AB与某一坐标轴重合；3.做绕通过坐标原点的旋转轴AB旋转θ角的旋转变换；4.最后将旋转变换后的图形和直线一起作相反的旋转和移动并使直线回到原来位置。XYZABP'Pθ

P点绕AB轴旋转Q(x0,y0,z0)问题的关键在于:

如何转换成绕X、Y或Z轴旋转的变换？

l绕X轴旋转α到XOZ平面上，然后再绕Y轴旋转β，即可与Z轴重合。lXYZαβn3n1n2XYZABP'PθQ(x0,y0,z0)1)使任意方向轴的起点与坐标原点重合，此时进行平移变换。2)做绕x轴旋转α角的变换Tx(α)，使旋转轴落在XOZ平面上。3)做绕y轴旋转β角的变换Ty(β)，使旋转轴与z轴重合：4)做绕z轴旋转θ角的旋转变换。5)做第三步的逆变换，即做旋转变换Ty(－β)

；做第二步的逆变换，即做旋转变换Tx(－α)，做第一步的逆变换，即做平移变换。

由上推导可看出，只要能求出α

、β的值，即可通过上式获得绕AB轴的变换矩阵TRAB

。任意直线为旋转轴的旋转变换可分为五步实现：1、平移使点A（xA，yB，zC）位于坐标原点，变换矩阵是：

具体变换步骤是：

XYZABP'Pθ

P点绕AB轴旋转Q(x0,y0,z0)

旋转角应等于直线在yoz平面上的投影与z轴夹角α

。

2、绕x轴旋转，使直线处在xOz平面上。

旋转角应等于直线在yoz平面上的投影与z轴夹角α

。因此投影线与z轴夹角α的旋转变换矩阵是：lXYZαβn3n1n2

2、绕x轴旋转，使直线处在xOz平面上。3、绕y轴旋转，使直线与z轴重合。3、绕y轴旋转，使直线与z轴重合。如图，旋转角应等于直线在XOZ平面上的投影与z轴夹角β

。因此投影线与Z轴夹角β的旋转变换矩阵是：lXYZαβn3n1n24、进行图形绕直线即绕z轴旋转，旋转矩阵是：lXYZαβn3n1n2图形绕空间任意轴旋转的总变换矩阵是

图形即为原图形绕指定直线旋转变换后的图形。直线回到原来位置需要进行（3）～（1）的逆变换，其中：5、使直线回到原来位置类似地，针对任意方向轴的变换的五个步骤：①使任意方向轴的起点与坐标原点重合，此时进行平移变换。②使任意方向轴与某一坐标轴重合，此时需进行旋转变换，且旋转变换可能不止一次。③针对该坐标轴完成变换。④用逆旋转变换使方向轴回到其原始方向。⑤用逆平移变换使方向轴回到其原始位置。5.5三维图形投影变换

在工程设计中，产品的几何模型通常是用三面投影图来描述．即用二维图形表达三维物体。投影变换就是把三维立体（或物体）投射到投影面上得到二维平面图形。平面几何投影主要指平行投影、透视投影以及通过这些投影变换而得到的三维立体的常用平面图形：三视图、轴测图。平面几何投影可分为两大类：透视投影的投影中心到投影面之间的距离是有限的平行投影的投影中心到投影面之间的距离是无限的SSS(a)透视投影(b)正投影(c)斜投影平面几何投影分为透视投影和平行投影5.5.1平行投影变换根据投影线是否垂直于投影平面， 平行投影可分为：直角投影正投影（三视图）正轴侧投影斜角投影斜等侧斜二侧投影方向投影平面投影平面法向投影方向投影平面(a)直角投影(b)斜角投影

投影平面法向a■直角投影正投影又可分为：正投影（三视图）和正轴测图。当投影面与某一坐标轴垂直时，得到的投影为正投影（三视图）；否则，得到的投影为正轴测图。

投影方向投影平面(a)三视图(b)正轴测5-12正投影xzyO投影平面投影方向zxy平面几何投影透视投影平行投影一点透视三点透视二点透视直角投影斜角投影正投影斜等侧正轴侧斜二侧等轴侧正三侧正二侧投影中心与投影平面之间的距离投影方向与投影平面的夹角投影平面坐标轴的夹角正面投影侧面投影水平面投影平面几何投影分类正投影变换正投影变换：将空间三维物体，通过矩阵变换而获得国家标准所规定的三个投影视图（即主视图、俯视图和、左视图）的绘图信息，这种变换就称为正投影变换。

为了绘图机输出、屏幕显示由正投影变换得到的三个投影图需要放在一个平面上。需要将三个投影图再进一步变换到同一平面上。实现方法是：保持XOZ面不动，将XOY面绕X轴顺时针旋转90°，再将ZOY面绕OZ轴逆时针旋转90°。通过上面的变换就可以在一个平面内得到几何形体的三个投影图。三视图的计算步骤：(1)

确定三维形体上各点的位置坐标。(2)

引入齐次坐标，求出所作变换相应的变换矩阵。(3)

将所作变换用矩阵表示，通过运算求得三维形体上各点(x,y,z)经变换后的相应点(x',z'),(x',y')或(y',z')。(4)

由变换后的所有二维点绘出三维形体投影后的三视图。

1）主视图将三维形体向xoz面（又称V面）作垂直投影（即正平行投影），得到主视图。

1）主视图

变换矩阵为：只需要消去各点的y坐标，即令单位矩阵中元素e=0。xyOZX主视图7-Z三维形体向xoy面（又称H面）作垂直投影得到俯视图，(1)投影变换(2)使H面绕x轴转-90°(3)使H面沿z方向平移一段距离-z0

2）俯视图三维形体向xoy面（又称H面）作垂直投影得到俯视图

(1)投影变换，消去各点的Z坐标，即令单位矩阵中元素j=0xzyOZYXY主视图俯视图侧视图三维形体及其三视图2）俯视图(2)使H面绕x轴转-90°

xzyOZYXY主视图俯视图侧视图三维形体及其三视图2）俯视图(3)使H面沿z方向平移一段距离-n

xzyOZYXY主视图俯视图侧视图三维形体及其三视图2）俯视图俯视图的变换矩阵：俯视图的变换矩阵：获得侧视图是将三维形体往yoz面（侧面W）作垂直投影。(1)投影变换，消去各点的X坐标，即令单位矩阵中元素a=0(2)使W面绕z轴正转90°(3)使W面沿负x方向平移一段距离lxzyOZYXY主视图俯视图侧视图三维形体及其三视图3）侧视图侧视图的变换矩阵：①先向yoz面进行投影，②再把该投影绕z轴旋转90度。③为使两视图之间具有一定距离，还需将得到的侧视图沿x轴平移-l。侧视图的变换矩阵：5.5.2正轴测投影变换正轴测图这种图形立体感强，是工程上应用最为广泛的三维图形，在机械设计中得到广泛的应用。

若将空间立体绕某个投影面所包含的两个轴向旋转，再向该投影面做正投影，即可得到立体正轴测图。通常选xoz面为轴测投影面。可按下述步骤进行：1）先将三维物体绕