函数定义域的类型和求法

函数定义域的类型和求法1.当函数是整式时例如那么函数的定义域是实数集R。2.如果函数中含有分式,那么函数的分母必须不为零。3.如果函数中含有偶次根式,那么根号内的式子必须不小于零。4.零的零次幂没有意义,即f(x)=x0，x≠0。5.对数的真数必须大于零。6.对数的底数满足大于零且不等于1。求函数定义域注意以下几点：一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法,其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组,解此不等式(或组)即得原函数的定义域。例1求函数的定义域。解:要使函数有意义,则必须满足由①解得x≤-3或x≥5 ③由②解得x≠5或x≠-11④由③和④求交集得x≤-3且x≠-11或x>5故所求函数的定义域为{x|x≤-3且x≠-11}∪{x|x>5}。例2求函数的定义域。解：要使函数有意义，则必须满足由①解得2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z ③

由②解得-4<x<4 ④由③和④求公共部分，得-4<x≤-π或0<x≤π故函数的定义域为(-4,-π]∪(0,π]③和④怎样求公共部分？你会吗？(-2,-1]∪[1,2)(2≤x<4且x≠3（1/2,1]X≥1/10,且x≠1）二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。(1)已知f(x)的定义域,求f[g(x)]的定义域。其解法是:已知f(x)的定义域是[a,b]求f[g(x)]的定义域是解a≤g(x)≤b,即为所求的定义域。例1已知f(x)的定义域为[－2,2],求f(x2-1)的定义域。解：令-2≤x2-1≤2，得-1≤x2≤3，即0≤x2≤3，因此，从而故函数的定义域是（2）已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域。其解法是：已知f[g(x)]的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由a≤x≤b，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。例2已知f(2x+1)的定义域为［1,2］,求f(x)的定义域。解：因为1≤x≤2,2≤2x≤4,3≤2x+1≤5.即函数f(x)的定义域是{x|3≤x≤5}。(3)已知f(2x-1)的定义域是[0,1],求f(3x)的定义域。解:因为0≤x≤1,0≤2x≤2,-1≤2x-1≤1.所以函数f(3x)的定义域是-1≤3x≤1即

{x|-1/3≤x≤1/3}。例4若f(x)的定义域为[－3，5],求g(x)＝f(－x)＋f(x2)的定义域．解：由f(x)的定义域为[－3,5]，则g(x)必有,即解得-≤x≤所以函数g(x)的定义域为[－,]例5已知函数

的定义域为R求实数m的取值范围。分析：函数的定义域为R，表明mx2-6mx+8+m≥0，使一切x∈R都成立，由x2项的系数是m，所以应分m=0或m≠0进行讨论。解：当m=0时，函数的定义域为R；当m≠0时，mx2-6mx+8+m≥0是二次不等式,其对一切实数x都成立的充要条件是综上可知0≤m≤1。注:不少同学容易忽略m=0的情况,希望通过此例解决问题。例6已知函数

的定义域是R，求实数k的取值范围。解:要使函数有意义,则必须kx2+4kx+3≠0恒成立,因为f(x)的定义域为R,即kx2+4kx+3=0无实数根①当k≠0时，△=16k2-4×3k<0恒成立，解得②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。综上k的取值范围是四.实际问题型:函数的定义域除满足解析式外,要注意问题的实际意义对自变量的限制,须要加倍注意,并形成意识。例7将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函数的定义域。解:设矩形一边为x,则另一边长为于是可得矩形面积由问题的实际意义，知函数的定义域应满足故所求函数的解析式为,定义域为(0,)五、参数型对于含参数的函数,求定义域时,必须对字母分类讨论。例9已知f(x)的定义域为[0,1],求函数F(x)=f(x+a)+f(x-a)的定义域。解：因为f(x)的定义域为［0,1］，即0≤x≤1。故函数F(x)的定义域为下列不等式组的解集：，即即两个区间［－a,1－a］与［a,1+a］的交集，比较两个区间左、右端点，知(1)当时，F(x)的定义域为{x|-a≤x≤1+a}；(2)当时，F(x)的定义域为{x|a≤x≤1-a}；(3)当或

时,上述两区间的交集为空集,此时F(x)不能构成函数。在区间(-1,1]上是增函数，在区间[1,3)上是减函数。对称轴x=1,由二次函数的单调性,可知t在区间(-∞,1]上是增函数;在区间[1,+∞)上是减函数,而六、隐含型有些问题从表面上看并不求定义域，但是不注意定义域，往往导致错解，事实上定义域隐含在问题中，例如函数的单调区间是其定义域的子集。因此，求函数的单调区间，必须先求定义域。例10求函数的单调区间。解：由-x2+2x+3>0,即x2-2x-3<0，解得-1<x<3。即函数y的定义域为（－1，3）。函数是由函数复合而成的。在其定义域上单调增；(-1,3)∩(-∞,1]=(-1,1],(-1,3)∩[1,+∞)=[1,3),，所以函数令g(x)=(1-a^2)x^2+3(1-a)x+6(1)由题意可知g(x)>=0恒成立所以判别式<0且(1-a^2)>0即g(x)开口向上且与