第三章集中量

职教学院刘春雷E-mail：lcl2156@126.com《教育统计学》12第三章集中量第一节算术平均数第二节中位数第三节众数第四节加权平均数、几何平均数、调和平均数3第三章集中量集中量是代表一组数据典型水平或集中趋势的量。它能反映频数分布中大量数据向某一点集中的情况。描述集中趋势就是寻找数据一般水平的代表值或中心值常用的集中量有算术平均数、中位数、众数等。

4第三章集中量第一节算术平均数一、概念算术平均数是所有观察值的总和除以总频数所得之商，简称为平均数或均数。计算公式：样本平均数总体平均数5第三章集中量第一节算术平均数一、概念算术平均数的特性：（1）观察值的总和等于算术平均数的n倍；（2）各观察值与其算术平均数之差的总和等于零；（3）若一组观察值是由两部分（或几部分）组成，这组观察值的算术平均数可以由组成部分算术平均数而求得。1、以下是3个班参加标准化数学成就测验成绩，请问总平均成绩是多少？解：答：三个班的总平均成绩为62.587第三章集中量第一节算术平均数二、计算方法1、原始数据（未分组数据）计算法8第三章集中量例3-1：10名学生的心理与教育统计成绩为68，77，63，79，70，79，70，79，86，80。试问这组数的平均数为多少？解：答：这组数据的平均数为75.19第三章集中量第一节算术平均数二、计算方法2、频数分布表计算法——各组组中值（近似各组的算术平均数）乘以各组频数，求其和，再除以总频数，即为这组数据算术平均数的近似值。10第三章集中量例3-2甲乙两组各有10名学生，他们的考试成绩及分布数据如下甲组：考试成绩（X）: 020100

人数分布（f）：118

乙组：考试成绩（X）: 020100

人数分布（F）：811X甲0×1+20×1+100×8f10fXi82（分）X乙0×8+20×1+100×1f10fXi12（分）例3-5：某班物理成绩分布如右表，请问该班的平均物理成绩为多少？组中值法1、计算组中值

2、计算值

3、计算值13第三章集中量第一节算术平均数三、算术平均数的应用及其优缺点优点：（1）反应灵敏。（2）严密确定。（3）简明易懂，计算简便。（4）适合代数运算。（5）受抽样变动的影响较小。抽样误差较小。14第三章集中量第一节算术平均数三、算术平均数的应用及其优缺点算数平均数还有几个特殊的优点：（1）只知一组观察值的总和及总频数就可以求出算术平均数。（2）用加权法可以求出几个平均数的总平均数。（3）用样本数据推断总体集中量时，算术平均数最接近于总体集中量的真值，它是总体平均数的最好估计值。（4）在计算方差、标准差、相关系数以及进行统计推断时，都要用到它。15第三章集中量第一节算术平均数三、算术平均数的应用及其优缺点算术平均数的缺点：（1）易受两极端数值（极大或极小）的影响。（2）一组数据中某个数值的大小不够确切时就无法计算其算术平均数。适用条件：（1）一组数据中每个数据都准确可靠；（2）无两极端值的影响；（3）需要通过算术平均数计算其他统计量。16第三章集中量第二节中位数一、概念中位数是位于依一定顺序排列的一组数据中央位置的数值，在这一数值上、下各有一半频数分布着。用表示。Md50%50%17第三章集中量第二节中位数二、计算方法1、原始数值计算方法将一组原始数据依大小顺序排列后，若总频数为奇数，就以位于中央的数据作为中位数；若总频数为偶数，则以最中间的两个数据的算术平均数作为中位数。解：1、排序：34、55、64、89、98=32、N=5，为奇数3、4、排在第3个位置上的数是64，所以中位数是64答：五名同学的的物理平均成绩是64分。例3-6：五名学生的物理成绩分别55,64,89,98,

34请问五名学生的平均成绩是多少？1、排序：420、450、500、530、600、11002、N=6，为偶数3、中位数的数值：排在第3、4位上的数分别为500与530=(500+530)÷2=515答：六架飞机的平均速度为515km/h例3-7:六架直升飞机的最大速度分别为450km/h、420km/h、500km/h、530km/h、600km/h、1100km/h，中位数是多少?2、中数附近有重复数时:需考虑重复数的影响例3-8:2，17，3，4，6，9，4，9，10，14，9解:1、排序：2，3，4，4，6，9，9，9，10，14，172、N=11，中位数的位置在第六个位置3、但第六个位置的数为9，但9有三个

4、中位数是在第一个9的中点，即（8.50+8.833)÷2=8.666求15、18、14、25、33、33、33、90、100、100的中位数解:1、排序：14，15，18，25，33，33，33，90，100，100

2、中位数的位置在第5个与第6个之间，即33，有3个32.5032.83333.16633.499-

第一个33

第二个33

第三个333、中位数为32.83322第三章集中量第二节中位数二、计算方法2、频数分布表计算法若一组原始数据已经编成了频数分布表，可用内插法，通过频数分布表计算中位数。23第三章集中量第二节中位数三、百分位数定义——百分位数是位于依一定顺序排列的一组数据中某一百分位置的数值。应用——在教育测量中，常通过计算百分位数来说明、解释和评价分数在团体中所处的位置。中位数就是第50百分位数。24第三章集中量第二节中位数三、百分位数计算方法Pp——百分位数，如P30，即第30百分位数Pp=P30；n——总频数；Lp——百分位数所在组的下限；n1——小于百分位数所在组下限的频数总和；fp——百分位数所在组的频数；i——组距25第三章集中量第二节中位数四、中位数的应用及其优缺点优点——中位数虽然也具备一个良好的集中量所应具备的某些条件，例如比较严格确定、简明易懂，计算简便，受抽样变动影响较小。缺点——反应不灵敏，不适合进一步的代数运算。【例4】球员甲在13个赛季的进球情况：9，9，22，32，33，36，39，42，49，52，58，65，70．现增加两个赛季的情况：6,100．显然这15个赛季的中位数还是39，并没有受到后面两个数据的影响．它适用于以下几种情况：（1）一组数据中有特大或特小两极端数值时；（2）一组数据中有个别数据不确切、不清楚时；（3）资料属于等级性质时。26第三章集中量第三节众数一、概念在次数分布中出现次数最多的那个数的数值。用表示众数是集中量的一种指标。有理论众数及粗略众数两种定义方法。理论众数是指与频数分布曲线最高点相对应的横坐标上的一点。粗略众数是指一组数据中频数出现最多的那个数。27第三章集中量第三节众数二、计算方法在次数分布中出现次数最多的那个数的数值。用表示。1、用观察法直接寻找粗略众数粗略众数不需要计算，可通过观察直接寻得。原始数据中——频数最多的那个数值就是粗略众数。频数分布表中——频数最多一组的组中值就是粗略众数。28第三章集中量第三节众数二、计算方法2、用公式求理论众数的近似值(1)皮尔逊(K.Person)的经验法利用皮尔逊发现的算术平均数、中位数、众数三者关系来求理论众数近似值的经验公式为：但前提是频数分布呈正态或接近正态时才能使用。29第三章集中量第三节众数二、计算方法2、用公式求理论众数的近似值(2)金氏(W.I.King)插补法当频数分布呈偏态，即众数所在组以上各组频数总和与以下各组频数总和相差较多时，可以用金氏公式计算众数，以进行比率调整。

30第三章集中量第三节众数三、众数的应用及其优缺点优点：（1）简明易懂；（2）较少受两极端数值的影响（反应不灵敏）。缺点：不具备一个良好的集中量的基本条件——（1）极不稳定、极不准确，随频数分布表上的组距变化而变化；（2）不适合代数计算，不能将几个众数综合求出一个总的众数；（3）受抽样变动较大。31第三章集中量第三节众数三、众数的应用及其优缺点它主要在以下情况下使用：（1）当需要快速而粗略地找出一组数据的代表值时；（2）当需要利用算术平均数、中位数和众数三者关系来粗略判断频数分布的形态时；（3）利用众数帮助分析解释一组频数分布是否确实具有两个频数最多的集中点时。从而判断其同质性。32第三章集中量第三节众数四、算术平均数、中位数、众数三者的关系正态分布：偏态分布：33第三章集中量第三节众数四、算术平均数、中位数、众数三者的关系三者关系与频数分布的形态有关。当分布呈正态时：三者重合为一点。当分布呈正偏态时：中位数居中，平均数与中位数距离较近，且平均数最大，众数与中位数距离较远，且众数最小。两个距离之比为1:2。当分布呈负偏态时：平均数最小，中位数居中，众数最大。34第三章集中量第三节众数四、算术平均数、中位数、众数三者的关系负偏态分布均值中位数众数

正态分布

均值=中位数=众数正偏态分布众数

中位数

均值

35第三章集中量第四节加权平均数、几何平均数、调和平均数一、加权平均数加权平均数是不同比重数据（或平均数）的平均数权数指各变量构成总体的相对重要性,权数的大小,由观测者依据一定的理论或实践经验而定

36第三章集中量例3-3：某校初三期末物理考试后，经初步统计得知一班55人的平均成绩为80.5，二班52人的平均成绩为78.2，三班56人的平均成绩为83。试问该年级的平均物理成绩是多少？答：该年级的平均物理成绩为80.6337第三章集中量例3-4：某生的统计成绩，平时为90，期中为84分，期末为83分，该学科平时、期中、期末分数之比为2:3:5。试问该生统计的学期成绩是多少？解:答:该生