第06章隧道衬砌结构计算

第06章隧道衬砌结构计算道路与桥梁工程系乔雄2/1/20231内容6.1概述6.2隧道衬砌上的荷载类型及其组合6.3半衬砌的计算6.4曲墙式衬砌计算6.5衬砌截面强度验算2023-02-012第06章隧道衬砌结构计算6.1概述2/1/202336.1概述隧道结构工程特性、设计原则和方法与地面结构完全不同，隧道结构是由周边围岩和支护结构两者组成共同的并相互作用的结构体系。各种围岩都是具有不同程度自稳能力的介质，周边围岩在很大程度上是隧道结构承载的主体，其承载能力必须加以充分利用。隧道衬砌的设计计算必须结合围岩自承能力进行，对隧道衬砌的要求除必须保证有足够的净空外，还要求有足够的强度，以保证在使用年限内结构物有可靠的安全度。2/1/20234隧道建筑虽然是一种古老的建筑结构，但其结构计算理论的形成却较晚。从现有资料看，最初的计算理论形成于十九世纪。最初的隧道衬砌使用砖石材料，其结构型式通常为拱形。采用的截面厚度常常很大，所以结构变形很小，可以忽略不计。因为构件的刚度很大，故将其视为刚性体，计算时按静力学原理确定其承载时压力线位置，检算结构强度。2/1/202352/1/20236在十九世纪末，混凝土已经是广泛使用的建筑材料，它具有整体性好，可以在现场根据需要进行模注等特点。这时，隧道衬砌结构是作为超静定弹性拱计算的，但仅考虑作用在衬砌上的围岩压力，而未将围岩的弹性抗力计算在内，忽视了围岩对衬砌的约束作用。其计算原理和地面结构一样。由于把衬砌视为自由变形的弹性结构，因而，通过计算得到的衬砌结构厚度很大，过于安全。

2/1/202372/1/20238进入二十世纪后，通过长期观测，发现围岩不仅对衬砌施加压力，同时还约束着衬砌的变形。围岩对衬砌变形的约束，对改善衬砌结构的受力状态有利，不容忽视。衬砌在受力过程中的变形，一部分结构有离开围岩形成“脱离区”的趋势，另一部分压紧围岩形成所谓“抗力区”，如图6-1所示。在抗力区内，约束着衬砌变形的围岩，相应地产生被动抵抗力，即“弹性抗力”。弹性抗力因围岩性质、围岩压力大小和结构变形的不同而异。但是对这个问题有不同的见解，即局部变形理论和共同变形理论。2/1/20239图6-1抗力区和脱离区变形后外轮廓线脱离区衬砌抗力区2/1/202310局部变形理论

局部变形理论是以温克尔（E.Winkler）假定为基础的。它认为应力（σi）和变形（δj）之间呈线性关系，即σi=kδi，k为独立岩柱的弹性抗力系数，见图6-2a。这一假定，相当于认为围岩是一组各自独立的弹簧，每个弹簧表示一个小岩柱。6-2a独立的弹簧

2/1/202311共同变形理论

共同变形理论把围岩视为弹性半无限体，考虑相邻岩柱之间变形的相互影响，即考虑独立岩柱之间的联系。它用纵向变形系数E和横向变形系数μ表示地层特征，并考虑粘结力C和内摩擦角φ的影响。但这种方法所需围岩物理力学参数较多，计算相对复杂。6-2b联合的弹簧2/1/202312

国际隧道协会(ITA)在1987年成立了隧道结构设计模型研究组，收集和汇总了各会员国采用的地下结构设计方法。经过总结，国际隧道协会认为，目前采用的地下结构设计方法可以归纳为以下4种设计模型：（1）以参照过去隧道工程实践经验进行工程类比为主的经验设计法；（2）以现场量测和试验为主的实用设计方法；（3）荷载—结构模型。将围岩对结构的作用简化为荷载作用于结构上进行计算；（4）连续介质模型，将围岩和结构作为整体进行计算。包括解析法和数值法，数值计算法目前主要是有限单元法，也可利用各种有限元软件来计算。2/1/202313从各国的地下结构设计实践看，主要采用上述后两类计算模型，荷载-结构计算模型主要适用于围岩因过分变形而发生松弛和崩塌，支护结构主动承担围岩“松动”压力的情况。利用这类模型进行隧道支护结构设计的关键问题，是如何确定作用在支护结构上的主动荷载，其中最主要的是围岩所产生的松动压力，以及弹性支承给支护结构的弹性抗力。一旦这两个问题解决了，剩下的就只是运用普通结构力学方法求出超静定结构的内力和位移了。属于这一类模型的计算方法有：弹性连续框架（含拱形）法、假定抗力法和弹性地基梁（含曲梁和圆环）法等都可归属于荷载-结构法。2/1/202314第06章隧道衬砌结构计算6.2隧道衬砌上的荷载类型及其组合2/1/2023156.2隧道衬砌上的荷载类型及其组合《公路隧道设计规范》（JTGD70-2004）中在对隧道结构进行计算时，列出了荷载类型，如表6-1所示，并按其可能出现的最不利组合考虑。编号荷载类型荷载名称1永久荷载（恒载）围岩压力2结构自重力3填土压力水压力4混凝土收缩和徐变影响力5可变荷载基本可变荷载公路车辆荷载，人群荷载6立交公路车辆荷载及其所产生的冲击力和土压力7立交铁路列车活载及其所产生的冲击力和土压力8其它可变荷载立交渡槽流水压力9温度变化的影响力10冻胀力施工荷载11偶然荷载落石冲击力12地震力表6-1作用在隧道结构上的荷载1）荷载类型2/1/2023162)荷载组合：（1）结构自重＋围岩压力＋附加恒载（基本）（2）结构自重＋土压力＋公路荷载＋附加恒载（3）结构自重＋土压力＋附加恒载＋施工荷载＋温度作用力（4）结构自重＋土压力＋附加恒载＋地震作用附加恒载：伴随隧道运营的各种设备设施的荷载等。

围岩压力与结构自重力是隧道结构计算的基本荷载。明洞及明挖法施工的隧道，填土压力与结构自重力是结构的主要荷载。2/1/202317

作用在隧道结构上的荷载，按其性质也可以区分为主动荷载和被动荷载。

主动荷载是主动作用于结构、并引起结构变形的荷载；

被动荷载是因结构变形压缩围岩而引起的围岩被动抵抗力，即弹性抗力，它对结构变形起限制作用。2/1/202318

主动荷载包括主要荷载（指长期及经常作用的荷载，有围岩压力、回填土荷载、衬砌自重、地下静水压力等）和附加荷载（指非经常作用的荷载，有灌浆压力、冻胀压力、混凝土收缩应力、温差应力以及地震力等），计算时应根据这两类荷载同时存在的可能性进行组合。在一般情况下可仅按主要荷载进行计算。特殊情况下才进行必要的组合，并选用相应的安全系数检算结构强度。

被动荷载主要指围岩的弹性抗力，它只产生在被衬砌压缩的那部分周边上。其分布范围和图式一般可按工程类比法假定，通常可作简化处理。2/1/2023193)结构自重结构自重包括墙、梁、板、柱、拱圈等结构体自重。(1)简化为垂直的均布荷载当拱圈为等截面或变截面，但截面变化不大，以及拱圈自重所占比例较小时，一般可将拱圈自重简化为垂直均布荷载，如图6-3所示，其值为:或式中q——拱圈自重（kN/m2）；g——拱圈材料容重（kN/m3）；d0——拱顶截面(m)；dn——拱脚截面厚度(m)。2/1/202320图6-3拱圈自重化为均布荷载(2)简化为垂直均布荷载与三角形荷载

对于拱脚厚度远大于拱顶的变截面拱或矢高较大的等截面拱，可将拱圈自重分为两部分的和（如图6-4）。一部分按均布荷载计算，即，dnd0q2/1/202321图6-4拱圈自重化为均布荷载和三角形荷载或者再简化为：式中

Dq——三角形荷载边缘处最大荷载强度（kN/m2）；

f

n——拱脚截面与竖直线间夹角。

当拱圈为半圆拱时，该种计算方法并不适用，因为当f

n=90°时，cosfn=0，则Dq趋于无穷大。dnd0qΔqφn另一部分近似按对称分布的三角形荷载计算，即2/1/202322（3）拱圈分成足够数量的小块

将拱圈分成足够数量的小块，并用折线法连接，求每块的自重，然后用近似积分法求出拱圈内力。此种方法可用于结构自重在总荷载中所占比例较大，且精度要求较高的情况下。但此方法计算时较为繁杂。4）隧道衬砌计算有关规定

采用荷载结构法计算隧道衬砌的内力和变形时，应考虑围岩对衬砌变形的约束作用，如弹性抗力（被动荷载）。弹性抗力的大小及分布，对回填密实的衬砌构件可采用局部变形理论，其计算公式如下：式中s——弹性抗力的强度（MPa）；k——围岩弹性抗力系数，无实测数据时可按表6-2选用；d——衬砌朝向围岩的变形值(m)，变形朝向洞内时取为零。2/1/202323表6-2各级围岩的弹性抗力系数表<100Ⅵ100~200Ⅴ200~500Ⅳ500~1200Ⅲ1200~1800Ⅱ1．表中数值系根据部分水利工程现场试验资料和部份铁路工程承载力试验资料的结果，经分析、归纳统计得出2．一般情况下可参考下列情况取值：1）洞径在10m及以上的取较低值，在10m以下取较高值；2）裂隙发育的取较低值；3）对受地下水作用强度降低的围岩和可能继续风化的围岩取较低值；4）洞口、浅埋、傍山隧道地段取较低值3．表列数值适用于洞径15m以下的隧道。不适用于黄土、冻土及其他特殊土（膨胀土）隧道1800~2800Ⅰ备注弹性抗力系数/(MPa/m)围岩级别

在Ⅰ~Ⅴ级围岩中，复合式衬砌的初期支护应主要按工程类比法设计。其中Ⅳ、Ⅴ级围岩的支护参数应通过计算确定。复合式衬砌中的二次衬砌，Ⅰ~Ⅲ级围岩中为安全储备，并按构造要求设计；Ⅳ、Ⅴ级围岩中为承载结构，可采用地层结构法来计算内力和变形。2/1/202324第06章隧道衬砌结构计算6.3半衬砌的计算2/1/202325拱圈直接支承在坑道围岩侧壁上时，称为半衬砌，如图6-3所示。常适合于坚硬和较完整的围岩（I~III级）中，或用先拱后墙法施工时，拱圈也处于半衬砌工作状态。图6-3半衬砌6.3半衬砌的计算2/1/2023262/1/2023272/1/202328基本假定

（1）在垂直荷载作用下拱圈向隧道内变形为自由变形，不产生弹性抗力；（2）拱脚产生角位移和线位移，并使拱圈内力发生改变，计算中除按固端无铰拱考虑外，还必须考虑拱脚位移的影响（3）拱脚没有径向位移，只有切向位移；（4）对称的垂直分位移对拱圈内力不产生影响；（5）拱脚的转角和切向位移的水平分位移是必须考虑的2/1/202329『6.3.1▎计算简图具体分析半衬砌的实际工作状态，即可确定较为合适的计算简图(图6-4、图6-5)。表6-4衬砌计算单元表6-5计算简图

b=1f0l02/1/202330由于拱脚直接放置在较好的岩层上，因此，在荷载作用下，拱脚变形将受到岩层的弹性约束（即岩层将将随拱脚一起变形），且假定其变形符合温克尔（Winkler）假设。这种约束即非铰结，又非完全刚性固定，而是介于两者之间的“弹性固定”。鉴于拱脚与岩层间存在较大的摩擦力，故认为拱脚不能产生径向位移。所以，固定在岩层上的半衬砌的拱脚只能产生转动和沿拱轴切向方向的位移。由于半衬砌是修建在水平压力很小或无水平压力的围岩中，因此，作用在衬砌上的主动荷载，仅有围岩压力、衬砌自重、回填材料重量等。半衬砌结构的拱圈矢跨比较小（1/6~1/4），故在上述各种荷载作用下，拱圈的绝大部分位于脱离区，因而，可不考虑弹性抗力的影响，这样考虑后，计算结果偏于安全。2/1/202331『6.3.2▎拱圈内力计算的基本方程式对于荷载和结构沿轴线对称分布的情况，可只取一半来进行计算，其基本计算结构如图6-6所示。a)b)图6-6计算简图及基本结构a)计算简图b)基本结构qfβ0u0v0v0lβ0u0qfβ0v0l/2X1X2u02/1/202332在对称问题中，两拱脚的位移也是对称的，其中转角为b0，水平位移为u0，根据拱顶切开处的截面相对变位为零的条件，可建立两个变位协调方程式：式中dik——拱顶截面处的单位变位，即基本结构中，悬臂端在Xk=1作用下，沿未知力Xi方向产生的变化（i,k=1,2）。由于位移互等定理知dik=dki

；(6-3-1)Dip——拱顶截面处的荷载变位。即基本结构中，在外荷载作用下，沿未知力Xi方向产生的变化（i=1,2）；b0、u0——拱脚截面总弹性转角及总水平位移。2/1/202333『6.3.3▎拱脚位移计算拱脚位移的计算，应根据以下两个假设来进行：①拱脚与围岩支承面间的应力与变形关系，符合局部变形理论，支承面变形后仍为平面；②拱脚与围岩支承面存在着足够大的摩擦力，足以平衡该面上的剪力，从而可认为不产生沿该面方向的变位。1．单位力矩作用时如图6-7a所示，在MA=1作用下，拱脚截面绕中心点A转过一个角度b1，则拱脚围岩边缘产生的法向应力s1和相应该应力方向的变位y1为M=1nβ1Adny=σk0a)A图6-7拱脚围岩支承面变位(6-3-2)2/1/202334

拱脚截面绕中心点转过一个角度b1，中心点不产生水平位移，因此则有：图6-7拱脚围岩支承面变位d)M=1nβ1Adny=σk0a)AH=1AAkd0dnv2u2sincosnnnncosfnnb)ffffV=1AAkd0dnv2u2sincosnnnnsinnnc)fffffAkd0dnupnnβMppvp0N0pN0pf(6-3-3)2/1/202335式中dn——拱脚截面厚度；b——拱脚截面纵向单位宽度，取1m；In——拱脚截面惯性矩；kd——拱脚围岩基底弹性抗力系数。2．单位水平力作用时单位水平力HA=1可以分解为轴向分力1×cosfn和切向分力1×sinfn，因此，计算时只需要考虑轴向分力的影响，如图6-7b所示，则作用在拱脚支承面上的均匀法向压应力s2和相应的法向位移y2为：式中fn——拱脚截面与竖起线间的夹角；其他符号意义与前相同。H=1AAkd0dnv2u2sincosnnnncosfnnb)ffff图6-7拱脚围岩支承面变位(6-3-4)2/1/202336法向位移的水平投影和垂直投影即为水平位移和垂直位移，同时均匀沉降时不产生转动，因此则有

3．单位竖直力作用时对于有单位竖直力作用时，其计算过程与上节类似，因此，在单位竖直力VA=1作用下，如图6-7c所示，则拱脚位移可表示如下

V=1AAkd0dnv2u2sincosnnnnsinnnc)fffff图6-7拱脚围岩支承面变位(6-3-5)(6-3-6)2/1/2023374．外荷载作用时在外荷载作用下，基本结构中A点处产生弯矩和轴力，如图6-7d所示，则利用前述结果叠加后，则拱脚位移可表示如下：(6-3-7)Akd0dnupnnβMppvp0N0pN0pfd)图6-7拱脚围岩支承面变位2/1/202338式中Mi——基本结构在Xi=1作用下产生的弯矩；Mk——基本结构在Xk=1作用下产生的弯矩；Mp——基本结构在外荷载作用下产生的弯矩；EI——结构的抗弯刚度。『6.3.4▎拱圈的单位变位及荷载变位计算假设轴向力与剪力影响忽略不计，则由结构力学求曲梁变位的方法知：(6-3-8)2/1/202339qX1X2xyyxi式中：当X1=1时，M1=1；当X2=1时，

M2=y；当X3=1时，M3=-x；图6-8基本结构悬臂端变位计算图利用上式，并参照图6-9，则可以得到下列变位：在进行具体计算时，当结构、荷载对称时，则只需要计算半个拱圈，如图6-8，在很多情况下，衬砌厚度是变化的，将使积分造成困难，因此，这时可将拱圈分成偶数段，用抛物线近似积分法代替，便可得到变位积分的近似计算公式：(6-3-9)2/1/202340图6-9单位变位及荷载计算式中：Ds

——半拱弧长n等分后每段弧长。a)

+1Mβ101x=11yu1b)

+Vx=12yb2+b1u1u2+c)

βpPyMp00up0(6-3-10)2/1/202341对称问题的拱脚变位如图6-10所示，根据变位叠加原理，可以得到b0、u0的表达式：图6-10对称问题的拱脚变位qfβul/2X1X2xyu1X=1

1+X=1

2+b2+fb1AAAβp-upMApβ1A'u1AM=1Av1β2A'2AH=1Av2fβu2+fu1u2/1/202342式中X1b1——由拱顶截面弯矩所引的拱脚截面转角；

X2(b2+fb1)——由拱顶截面水平推力所引起的拱脚截面转角；

X1u1——由拱顶截面弯矩所引的拱脚截面水平位移；

X2(u2+fu1)——由拱顶截面水平推力所引起的拱脚截面水平位移；

bp、up——外荷载作用下，基本结构拱脚截面的转角及水平位移；

b1、u1——拱脚截面处作用有单位弯矩时，该截面的转角及水平位移；

b2、u2——拱脚截面处作用有单位水平推力时，该截面的转角及水平位移，由位移互等定理可知b2=u1；

f——拱轴线矢高。(6-3-11)2/1/202343将以上各式代入正则方程中，并注意到d12=d21、b2=u1，经整理得求解多余未知力X1,X2的方程组式中(6-3-12)2/1/202344上式中的系数aik(i,k=1,2)的物理意义是，基本结构取为弹性固定悬臂曲梁时的单位变位；ai0(i=1,2)为荷载变位。解式则可以得到多余未知力为(6-3-13)2/1/202345式中、——外荷载作用下基本结构任意截面i处产生的弯矩、轴力；

f

i——基本结构任意截面i与竖直线间的夹角。求出半衬砌各截面的弯矩Mi和轴力Ni后，即可绘出内力图，并确定出危险截面。同时用偏心距表示出压力曲线图。计算表明，当拱厚d＜l/10（l为拱的跨度）时，曲率和剪力的影响可以略去。当矢跨比f/l>1/3时，轴向力影响可以略去。对于任意拱圈截面i内的内力，根据静力平衡条件，对于弯矩Mi，假设以截面内缘受拉为正，轴力Ni以截面受压为正，则任意截面内的内力为(6-3-14)2/1/202346第06章隧道衬砌结构计算6.4曲墙式衬砌结构计算2/1/202347『6.4▎曲墙式衬砌结构计算●常用于Ⅳ～Ⅵ级围岩；●拱圈和曲边墙作为一个整体按无铰拱计算；●施工时仰拱是在无铰拱业已受力之后修建的，不考虑仰拱对衬砌内力的影响。2/1/202348『6.4.1▎计算图式

eqeoxblhayKKaΔaβaβaΔaσiσhσiuhfibfff变形后外轮廓线脱离区衬砌抗力区2/1/2023492/1/202350在主动荷载作用下，顶部衬砌向隧道内变形而形成脱离区，两侧衬砌向围岩方向变形，引起围岩对衬砌的被动弹性抗力，形成抗力区，如图6-4-1所示。抗力图形分布规律按结构变形特征做以下假定：图6-4-1按结构变形特征的抗力图形分布

eqeoxblhayKKaΔaβaβaΔaσiσhσiuhfibfff2/1/2023511）下零点a在墙脚。墙脚处摩擦力很大，无水平位移，故弹性抗力为零。2）上零点b（即脱离区与抗力区的分界点）与衬砌垂直对称中线的夹角假定近似为450。

3）最大抗力点h个假定发生在最大跨度处附近，计算时一般取，为简化计算可假定在曲墙衬砌分段的接缝上。4）抗力图形的分布可按以下假定计算：拱部bh段抗力按二次抛物线分布，任一点的抗力与最大抗力的关系为(6-4-1)2/1/202352顶部衬砌上零点b下零点a2/1/202353边墙ha段的抗力为(6-4-2)式中fi,fb,fh——i、b、h点所在截面与垂直对称轴的夹角;——i点所在截面与衬砌外轮廓线的交点至最大抗力点

h的距离；——墙底外缘至最大抗力点h的垂直距离。

ha段边墙外缘一般都作成直线形，且比较厚，因刚度较大，故抗力分布也可假定为与高度呈直线关系。若ha段的一部分外缘为直线形，则可将其分为两部份分别计算，即曲边墙段按式（6-4-2）计算，直边墙段按直线关系计算。2/1/202354两侧衬砌向围岩方向的变形引起弹性抗力。同时也引起摩擦力S，其大小等于弹性抗力和衬砌与围岩间的摩擦系数的乘积：(6-4-3)计算表明，摩擦力影响很小，可以忽略不计，而忽略摩擦力的影响是偏于安全的。墙脚弹性固定在地基上，可以发生转动和垂直位移。，在结构和荷载均对称时，垂直位移对衬砌内力不产生影响。因此，若不考虑仰拱的作用，则其计算简图可如图6-4-2所示。图6-4-2曲墙式衬砌计算简图eqoxbayfhfσhyhyih`2/1/202355（5）忽略衬砌与围岩之间的摩擦力，偏安全。（6）墙脚支承在弹性岩体上，可发生转动和垂直位移(无水平位移)。2/1/202356『6.4.2▎主动荷载作用下的力法方程和衬砌内力取基本结构如图6-4-3所示，未知力为X1p、X2p，根据拱顶截面相对变位为零的条件，可以列出力法方程式：图6-4-3曲墙式衬砌基本结构eqoafx1px2p2/1/202357式中bap,uap,——墙底位移，分别计算X1p、X2p和外荷载的影响，然后按照叠加原理相加得到，即:(6-4-4)由于墙底无水平位移，故uap=0，代入式（5-47）整理可得(6-4-5)(6-4-6)式中、——基本结构的单位位移和主动荷载位移：——墙底单位转角：——基本结构墙底的荷载转角：

f——衬砌的矢高。2/1/202358求得X1p、X2p后，在主动荷载作用下，衬砌内力为：在实际计算时，还需进一步确定被动抗力的大小，这需要利用最大抗力点h处的变形协调条件。在主动荷载作用下，通过上式可解出内力Mip，Nip，并求出h点的位移dhp。如图6-4-4b所示。在被荷载作用下的内力和位移，可以通过的单位弹性抗力图形作为外荷载时所求得的任一截面内力，和最大抗力点h处的位移dhs，如图6-4-4c所示，并利用叠加原理求出h点的最终位移：(6-4-7)(6-4-8)2/1/202359

c)

图6-4-4曲墙式结构内力分析由温克尔假定可以得到h点的弹性抗力与位移的关系：，可得：eqxhaKKaβaδh2x1NiMi=a)

变形后衬砌轮廓线变形前衬砌轮廓线eqhaKβaδhNiMipppp+b)

变形前衬砌轮廓线变形后衬砌轮廓线Kax1px2pxhaKaδh2x1NiMiσσσσσxσhσσβKa变形后衬砌轮廓线变形前衬砌轮廓线(6-4-9)2/1/202360『6.4.3▎最大抗力值的计算(6-4-10)由式（6-4-9）可知，h点的弹性抗力与位移dh有关，而位移包含两部分变位dhp和dhd，即结构在荷载作用下的变位与因墙底转动所产生的变位之和。前者按结构力学方法，先画出图，如图6-4-5a、b所示，再在h点处的所求变位方向上加一单位力p=1，绘出Mih图，如图6-4-5c所示，墙底变位在h点处产生的位移可由几何关系求出，如图6-4-5d所示。位移可以表示为：2/1/202361式中——主动荷载作用而产生的墙底转角，——单位抗力作用而产生的墙底转角。——墙底中心a至最大抗力截面的垂直距离。图6-4-5曲墙式衬砌最大抗力值计算a)

b)

c)

βapaMipβaP=1hβad)aβapMisaMihayapyah2/1/202362如果h点所对应的fh=90°，则该点的径向位移和水平位移相差很小，故可视为水平位移。又由于结构与荷载对称时，拱顶截面的垂直位移对h点径向位移的影响可以忽略不计。因此，计算该点水平位移时，可以取如图6-4-6所示的结构，使计算得到简化。按照结构力学方法，在h点加一单位力P=1,可以求得dhp和dhd，即式中——h点和任一点i的垂直坐标。(6-4-11)2/1/202363图6-4-6最大抗力值计算的结构MiphhhP=1OxyiyyhMisMih2/1/202364『6.4.4▎在单位抗力作用下的内力将抗力图视为外荷载单独作用时，未知力X1s、X2s可以参照X1p、X2p的求法得出。可列出力法方程：(6-4-12)式中——单位抗力图为荷载所引起的基本结构在及方向的位移；——单位抗力图为荷载所引起的基本结构墙底转角，其余符号意义同前。、2/1/202365解出X1s及X2s后，即可求出衬砌在单位抗力图为荷载单独作用下任一截面内力(6-4-13)2/1/202366衬砌任一截面最终内力值可利用叠加原理求得校核计算结果正确性时，可以利用拱顶截面转角和水平位移为零条件和最大抗力点a的位移条件：式中——墙底截面最终转角，。(6-4-14)(6-4-15)『6.4.5▎衬砌最终内力计算及校核计算结果的正确