第6章 数字逻辑基础

第六章逻辑代数基础6.1数制与码制6.2逻辑函数表示方法及相互转换6.3逻辑函数公式和运算规则6.4逻辑函数的化简和变换第六章逻辑代数基础（3）十进制数各数位的权是10的幂。任意一个十进制数都可以表示为各个数位上的数码与其对应的权的乘积之和，称权展开式。例如：式中10n称为十进制数各位的权。各数码在不同的数位上权不同，所以代表的数值不同。6.1数制和码制一、数制1．十进制（1）十进制数有十个数码（字符）。十进制用0～9十个字符来表示，基数是十。（2）十进制的运算规则。运算规则：逢十进一，即9＋1＝10。2．二进制二进制乘法：（3）二进制数各数位的权是２的幂。（2）二进制运算规则。运算规则：逢二进一，即1＋1＝10。

（1）二进制有二个数码。二进制用0和1两个数码来表示，基数是2。二进加法：例如：

编码：用一定位数的二进制代码表示文字、符号等信息的过程。表示十进制数字符号0~9的四位二进制代码，又称为BCD码（BinaryCodedDecimal）几种常见的BCD代码：8421码余

3码2421码5211码余

3循环码其他代码：二、码制二-十进制代码：ISO码，ASCII（美国信息交换标准代码）0十进制数1234567898421码余3码2421(A)码5211码余3循环码00000001001000110100010101100111100010010011010001010110100010011010101111000000000100100011010010111100110111101111011100000001010001000101010101111000100111001101110111111111001001100111110011101010权842124215211几种常见的BCD代码三、数制及码制的转换(1)二进制数转换成十进制数：将二进制数按位权展开后相加(2)十进制数转换成二进制数：整数部分:除2取余法28214余数20720321211010.812521.625021.250020.5000取整1100.62500.2500小数部分:乘2取整法若小数在连乘多次后不为0，一般按照精确度要求(如小数点后保留n

位)得到n个对应位的系数即可。21.00001(3)十进制数与8421BCD代码间的相互转换：十进制数转换成8421代码：将每个十进制字符用8421BCD码代替即成。8421代码转换成十进制数：从低位开始每四位数码划分为一组，最后不足四位时在前面添0，然后将每组的四位代码转换成对应的十进制数，全部代码写成十进制字符并依次排列即完成转换。

其它进制的数转成8421代码：先将其它进制数转成十进制数，再进行转换。一、逻辑函数的表示方法1.逻辑函数第二节逻辑函数的表示方法及相互转换逻辑函数：Y的值由逻辑变量A、B、C的取值决定，则Y为逻辑变量A、B、C的逻辑函数。在逻辑电路中，逻辑函数Y是输出量，逻辑变量A、B、C是输入量。例如逻辑函数：。

Y由逻辑变量的三种基本运算组成。变量的取值是1

或0

，分别代表两种对立的状态。原变量和反变量：字母上面无反号的称为原变量，有反号的叫做反变量。逻辑变量：（1）逻辑表达式逻辑函数表达式是一种用与、或、非等逻辑运算组合起来的运算关系式。2.逻辑函数的表示方法例如逻辑函数：真值表

Y

AB011000011011把变量的全部取值组合及对应的函数值列在表中，这样的表即是真值表。n个变量有2n个取值组合，全部取值组合按二进制递增顺序排列。（2）真值表真值表ABCY00000101001110010111011100010111逻辑图是用逻辑门符号画出的电路图。

（3）逻辑图

已知输入波形，对应着输入画出相应的输出波形即是波形图，也叫时序图。（4）波形图。试画出其输出波形。[例6-2]逻辑表达式其输入波形如图所示。Y（5）卡诺图（略）二、常用逻辑函数表示方式的相互转换1．根据逻辑表达式列出真值表[例6-3]

已知函数的逻辑表达式列出相应的真值表。000000001010011100101110111YABC11111[例6-4]已知函数的真值表，写出此逻辑函数的表达式。2．根据真值表写逻辑表达式000000001010011100101110111YABC11111

每个Y=1对应写出一个全部变量的与项，写与项时，变量A、B、C中取值为0的写成反变量（即字母加非号），取值为1的写成原变量（即字母不加非号）。写出的与项相加即得输出函数的逻辑表达式。

包含着全部变量，且每个变量只出现一次的与项叫最小项，由最小项相加的表达式叫最小项表达式。真值表写出来的表达式是最小项表达式（1）最小项的概念：包括所有变量的与项，每个变量均以原变量或反变量的形式出现一次。(

2变量共有

4个最小项)(

4变量共有

16个最小项)(

n变量共有

2n

个最小项)……(

3变量共有

8个最小项)*最小项3．根据逻辑表达式画出逻辑图[例6-5]

已知函数的逻辑表达式画出对应的逻辑图。ABYC≥1&&1&逻辑图1

[例6-6]已知函数的逻辑图如图所示，试写出对应的逻辑表达式。4．根据逻辑图写出逻辑表达式BA&&&&解：或：0+0=01+0=11+1=1与：0·0=00·1=01·1=1非：2.变量和常量的关系(变量：A、B、C…)或：A+0=AA+1=1与:A·0=0A·1=A非：第三节逻辑代数的公式和运算规则1.常量之间的关系(常量：0和1)一、逻辑代数的公式3.与普通代数相似的定理交换律结合律分配律[例1]

证明公式[解]方法一：公式法4.逻辑代数的一些特殊定理同一律A+A=AA·A=A还原律德摩根定理5.其它常用公式

将Y式中“.”换成“+”,“+”换成“.”

“0”换成“1”,“1”换成“0”

原变量换成反变量，反变量换成原变量*二、关于等式的三个规则*1.代入规则：等式中某一变量都代之以一个逻辑函数，则等式仍然成立。例如，已知(用函数

A+C代替

A)则*2.反演规则：不属于单个变量上的反号应保留不变运算顺序：括号乘加注意:例如：已知反演规则的应用：求逻辑函数的反函数则

将Y式中“.”换成“+”,“+”换成“.”

“0”换成“1”,“1”换成“0”

原变量换成反变量，反变量换成原变量已知则运算顺序：括号与或不属于单个变量上的反号应保留不变解：（1）用两种方法求解。变换过程中注意与项变成了或项应加上括号。①第一步中反号不变，变其下面的内容；第二步去中反号。②直接把中反号下面的内容（）当一个字母，把这个字母上的反号去掉。[例6-7]

求（1）的反函数。（2）的反函数。②两种变换方法最终结果相同，在逻辑化简和变换时经常采用变法②。①（2）用两种方法求解。*3.对偶规则：如果两个表达式相等，则它们的对偶式也一定相等。将Y中“.”换成“+”,“+”换成“.”

“0”换成“1”,“1”换成“0”

例如对偶规则的应用：证明等式成立0·0=01+1=1运算顺序：括号与或1.标准与或表达式第四节逻辑函数的化简方法一、逻辑函数的标准与或式和最简式标准与或式标准与或式就是最小项之和的形式最小项2.逻辑函数的最简与或表达式最简与或式

最简与非-与非式核心最简与或式是指：①函数中包含的乘积项最少；②每个乘积项中包含的变量个数最少。最简与或式经过公式变换，可得到其它表达形式，比如变成与非-与非形式。[例1][例2]二、逻辑函数的公式化简法

公式化简法：利用逻辑代数公式和定理，对逻辑函数进行化简和变换，最终得到最简与或表达式。1.公式的应用[例3][例5][例4]2.

公式和的应用3.公式的应用[例6][例7]或或[例8][例9]冗余项冗余项4.

公式的应用综合练习：[练习]

用公式法将下列函数化简为最简与或式。[例6-12]将与或表达式表达式，使此函数可以全部用与非门来实现。*二、逻辑函数的变换变换为与非-与非解：对原式取两次非，原等式不变；应用反演律去掉一道大非号，这时每个与项看成一个字母。变换过程如下：---与或表达式---与非-与非表达式*（一）变量卡诺图1.二变量卡诺图(四个最小项)ABAB0101AB0101卡诺图：按照逻辑相邻性排列而成的最小项方格图。逻辑相邻项：如果两个最小项中仅有一个变量取值不同，则称这两个最小项为逻辑相邻项。*逻辑函数的图形化简法2.三变量卡诺图八个最小项ABC01000110111110逻辑不相邻逻辑相邻逻辑相邻m0m1m2m3m4m5m6m73.四变量的卡诺图十六个最小项ABCD0001111000011110m0m1m2m3m4m5m6m7m12m13m14m15m8m9m10m11几何相邻几何相邻4.五变量的卡诺图当变量个数超过六个以上时，无法使用图形法进行化简。ABCDE00011110000001011010110111101100m0m1m2m3m8m9m10m11m24m25m26m27m16m17m18m19m6m7m4m5m14m15m13m30m31m29m22m23m21几何相邻三十二个最小项（二）逻辑函数的卡诺图表示法1.根据变量个数画出相应的卡诺图；2.将函数化为最小项之和的形式；

3.在卡诺图上与这些最小项对应的位置上填入1，其余位置填0或不填。[例]ABC010001111011110000（三）卡诺图中合并最小项的规律：(1)两个相邻最小项合并可以消去一个因子ABC01000111100432ABCD00011110000111101946(2)四个相邻最小项合并可以消去两个因子ABCD000111100001111004128321011ABCD0001111000011110571315BD02810(3)八个相邻最小项合并可以消去三个因子ABCD000111100001111004128321011ABCD0001111000011110571315B02810151394612142n个相邻最小项合并可以消去n个因子总结：（四）用卡诺图化简逻辑函数化简步骤:(1)画函数的卡诺图(2)合并最小项：画包围圈(3)写出最简与或表达式[例1.2.20]ABCD000111100001111011111111[解]ABCD000111100001111011111111画包围圈的原则：

(1)先圈孤立项，再圈仅有一种合并方式的最小项。

(2)圈越大越好，但圈的个数越少越好。

(3)最小项可重复被圈，但每个圈中至少有一个新的最小项。不正确的画圈[例][解](1)画函数的卡诺图ABCD000111100001111011111111(2)合并最小项：画包围圈(3)写出最简与或表达式多余的圈注意：先圈孤立项利用图形法化简函数利用图形法化简函数[例][解](1)画函数的卡诺图ABCD00011110000111101111111111(2)合并最小项：画包围圈(3)写出最简与或表达式[例]用图形法求反函数的最简与或表达式[解](1)画函数的卡诺图ABC010001111011110000(2)合并函数值为0

的最小项(3)写出Y的反函数的最简与或表达式（五）具有约束的逻辑函数的化简1.约束的概念和约束条件1)约束：输入变量取值所受的限制例如，逻辑变量A、B、C，分别表示电梯的

升、降、停命令。A=1

表示升，B=1

表示降，C=1

表示停。ABC的可能取值2)约束项：不会出现的变量取值所对应的最小项。不可能取值001010100000011101110111（1）约束、约束项、约束条件3)约束条件：000011101110111由约束项相加所构成的值为0的逻辑表达式。约束项：约束条件：或（2）约束条件的表示方法1)在真值表和卡诺图上用叉号(╳)表示。例如，上例中

ABC的不可能取值为2.具有约束的逻辑函数的化简[例]化简逻辑函数化简步骤:(1)画函数的卡诺图，顺序为：ABCD0001111000011110先填1

0111000000(2)合并最小项，画圈时╳

既可以当

1

，又可以当

0(3)写出最简与或表达式[解]╳[例]

化简逻辑函数约束条件[解](1)画函数的卡诺图ABCD00011110000111101111(2)合并最小项(3)写出最简与或表达式合并时，究竟把╳

作为

1

还是作为

0

应以得到的包围圈最大且个数最少为原则。包围圈内都是约束项无意义(如图所示)。注意：第6章小结一、数制和码制种类基数位权应用备注十进制0910i日常二进制0，12i数字电路2=21八进制078i计算机程序8=23十六进制09，AF16i计算机程序16=24各种数制之间的相互转换，特别是十进制→二进制的转换，要求熟练掌握。

1.数制：

2.码制：常用的BCD码有8421码、2421码、5421码、余3码等，其中以8421码使用最广泛。[练习]完成下列数制和码制之间的相互转换12816421512128641684232