江西财经大学统计学第六章 抽样分布

STAT

第六章抽样和抽样分布统计实例STAT统计实例

1.称重问题：某养猪场厂共有存栏生猪10万头，现欲了解这批生猪的平均毛重；

2.选举活动：每个候选人的支持率是多少；

3.生产活动：产品不合格率是多少；

4.环境保护：污染区域、污染程度如何；

5.市场研究：产品品种、价格和质量状况；消费者的购买力状况。统计调查：全面调查、非全面调查。本章将引入“抽样推断”的基本内容（怎么抽、抽多少、如何推断），这将节省人们的各种资源，并达到对客观对象的最佳认识。第六章抽样和抽样分布STAT本章重点

1.统计推断的基本概念

2.抽样分布

3.抽样标准差的意义及计算

本章难点

1.样本均值（比率）的抽样分布第六章抽样和抽样分布STAT第一节统计推断的基本概念一、统计推断

从样本数据得到总体结论的过程就叫做统计推断。统计推断的方法：参数估计、假设检验→运用概率估计的方法。

统计推断的理论：大数定律和中心极限定理。

统计推断的效果：抽样误差可以计算并控制。二、总体与样本三、总体参数与样本统计量第六章抽样和抽样分布STAT

[例]某养猪场共有存栏生猪10万头，现欲了解这批生猪的平均毛重及健康比例。调查者按随机原则从中抽取了100头生猪进行调查，以计算其平均毛重和健康比例。

（一）总体参数：反映总体特征的变量。

（二）样本统计量：反映样本特征的变量。样本的随机性决定统计量的随机性（统计量是随机变量）。注意：分母是多少？第六章抽样和抽样分布STAT

■为什么样本方差和标准差计算公式的分母是n－1而不是n呢？解释：在计算样本方差中，n个偏差x1-，…，xn-有一个约束条件∑(x-)=0，即只有n－1个偏差可以自由取值，剩下的一个偏差由他们确定，所以自由度为n－1。

因为样本标准差(S)是总体标准差的估计值，但只有在用n减去1的情况下才是无偏估计。把分母减去1会使得标准差大于实际的标准差。为什么要这样做呢？因为好的统计学家、科学家一般都是保守的。保守的含义是，如果我们不得不出错，我们出错也是由于过高估计了总体的标准差。除以较小的分母可以让我们做到这一点。主要针对小样本！（见下表）第六章抽样和抽样分布STAT样本规模公式中分子的数值总体标准差的有偏估计(除以n)总体标准差的无偏估计(除以n-1)两者之差105007.077.450.381005002.242.250.0110005000.70710.70750.0004第六章抽样和抽样分布STAT三、简单随机抽样（simplerandomsamplingSRS）抽样组织形式：简单随机抽样，分层（类型）抽样，系统（机械）抽样，整群抽样，多阶段抽样（一）抽样组织第六章抽样和抽样分布STAT（二）抽样方式

1.重复抽样（回置抽样）[例]总体5人年龄：1,2,3,4,5。按重复抽样随机抽取3人。

Xi（可能结果）xi（实际结果）概率第一次抽样1,2,3,4,5

21/5回置第二次抽样1,2,3,4,5

51/5回置第三次抽样1,2,3,4,5

21/5回置[例]N=3人（A、B、C）

n=2。①A、A；②A、B；③A、C；④B、A；⑤B、B；⑥B、C；⑦C、A；⑧C、B；⑨C、C。

★样本可能数目：M=Nn

★样本产生概率＝1/Nn

独立同分布的SRS样本第六章抽样和抽样分布STAT

2.不重复抽样（不回置或不重置抽样）[例]总体年龄为：1,2,3,4,5。按不重复抽样从中抽取3人。

Xi（可能结果）xi（实际结果）概率第一次抽样1,2,3,4,521/5外置

第二次抽样1,3,4,551/4外置

第三次抽样1,3,431/3外置[例]N=3人（A、B、C）n=2①A、B；②A、C；③B、A；④B、C；⑤C、A；⑥C、B。★样本可能数目：

M=

N！/（N–n）!★样本产生概率＝（N–n）!/N！第六章抽样和抽样分布STAT第二节抽样分布※一、统计误差的种类

1.登记性误差：各种主客观原因所导致的误差。

2.代表性误差（1）系统偏差：破坏随机原则而引起的误差。

（2）抽样误差（samplingerror）：随机取样，由于样本与总体结构的差异而导致的偶然性误差。第六章抽样和抽样分布STAT二、抽样分布的概念1.总体分布：总体变量的取值及出现概率所形成的分布。

[例]总体三人（A、B、C）的年龄为1,2,3。N=32.样本分布：样本观测值的分布→包含总体信息和特征的多少取决于样本容量。

→经验分布第六章抽样和抽样分布STAT

3.抽样分布：样本统计量的取值及其出现概率的分布。

→理论分布

抽样分布的形成：抽样分布的影响因素：总体分布、样本容量、抽样方法、抽样组织形式、统计量构造[例]n=2，计算样本平均年龄。第六章抽样和抽样分布STAT三、抽样分布的数字特征（一）样本均值的数字特征→探讨样本均值的期望值和标准差与总体均值及标准差之间的关系

1.重复抽样[例]总体三人（A、B、C）的年龄为1,2,3。N=3

n=2，计算样本平均年龄。第六章抽样和抽样分布STAT

（2）样本均值的标准差（抽样标准差）★

定义：样本均值与其期望值的平均离差。→抽样平均误差

抽样实际误差？

抽样极限误差？

作用：衡量抽样分布的离散程度，反映样本统计量的代表性。→抽样标准差越大（小），抽样分布越离散（集中），样本的代表性平均而言越差（越好）。第六章抽样和抽样分布STAT[计算]N＝3人，（A,B,C）=（1,2,3）n=2

无法计算；未显示与总体的关系！第六章抽样和抽样分布STAT

2.不重复抽样

无法计算；未显示与总体的关系！第六章抽样和抽样分布STAT归纳

1.样本均值的期望值等于总体均值。

2.样本均值的标准差：样本均值与其期望值的平均离差。第六章抽样和抽样分布STAT（二）样本比例的数字特征

1.样本比例的期望值等于总体比例。

2.样本比例的标准差：样本比例与其期望值的平均离差。第六章抽样和抽样分布STAT

四、中心极限定理

■设X是具有期望值为、方差为2的任意总体，则样本均值的抽样分布，将随着n的增大而趋于正态分布，即

■当样本容量很大且nP≥5、n（1－P）≥5时，可将样本比例的抽样分布近似看成正态分布。第六章抽样和抽样分布STAT五、正态分布的标准化

1.正态分布的定义身高

1401501601701801900.50.40.30.20.1频率第六章抽样和抽样分布STAT调整：“频率密度”（频率/组距）“频率”；身高

140150160170180190频率密度0.050.040.030.020.01P{150X180}=0.90当n无穷大，折线？

直方或折线覆盖下的面积=？第六章抽样和抽样分布STAT[概率计算的思路]身高

1401501601701801900.050.040.030.020.01f(xi)f（x）：概率密度函数第六章抽样和抽样分布STAT

正态分布的定义:

如果随机变量X的密度函数为X

μf(x)则称X服从正态分布，记作X~N（μ，σ2

）2.正态分布的特征正态分布是依赖于μ和σ的一簇分布，其位置和形状随μ和σ的不同而不同，这给研究具体的正态总体带来困难。第六章抽样和抽样分布STAT

3.标准正态分布

[直线研究]表达式：y=a+bxXY第六章抽样和抽样分布STAT一般正态分布的标准化：

x1x2-Z0ZX第六章抽样和抽样分布STAT

标准正态分布的作用:

■标准正态分布在正态分布中形式简单，且任意正态分布的概率都可化为标准正态分布来计算。

■人们根据标准正态分布的分布函数编制了正态分布表，可直接查用。

标准正态分布几种常用的概率:(必须熟记！)P(-1≤Z＜1)=0.6826→68.26%P(-1.645≤Z＜1.645)=0.90→90%P(-1.96≤Z＜1.96)=0.95→95%P(-2≤Z＜2)=0.9545→95.45%P(-3≤Z＜3)=0.9973→99.73%第六章抽样和抽样分布STAT

[例]假定学生某门学科的考试成绩服从均值为60分、标准差为12分的正态分布。那么某一学生的成绩在60分到75分之间的概率应为多少？（标准正态分布表）

x1x2-Z0Z第六章抽样和抽样分布STAT本章小结:

■从总体中抽取一个特定的样本，我们不知道这个样本与总体分布的关系（样本均值和标准差与总体均值及标准差之间的关系），但我们可以知道抽样分布与总体分布的关系，即所有可能样本均值的期望值和标准差与总体均值及标准差之