第三章 形态学处理

形态学图像处理第九章形态学形态学是生物学的一个分支，它是研究动物和植物的形态和结构的学科。数学形态学被作为工具从图像中提取对于表达和描述区域形状有用处的图像分量，例如边界、骨架以及凸壳。主要内容集合论膨胀和腐蚀开操作与闭操作常用形态学提取灰度级图像扩展集合、并集、交集、补集、集合的差9.1集合论的几个基本概念集合A、B并集交集补集集合的差

1、集合令A为Z中的一个集合，如果a=(a1,a2)是A中的元素，则表示为；如果a不是A的元素，则写成

9.1集合论的几个基本概念2、集合的子集与相等

且当且仅当和同时成立时,称集合A和B集合相等。

9.1集合论的几个基本概念BA3、集合的并

集合A和B集合的并9.1集合论的几个基本概念4、集合的交

9.1集合论的几个基本概念5、集合的补

集合的补9.1集合论的几个基本概念6、集合的差

或集合的差9.1集合论的几个基本概念

(1)集合的反射由集合A中所有元素相对于原点的反射元素组成的集合称为集合A的反射，记为。

其中，x表示集合A中的元素a对应的反射元素。集合的反射图示9.1集合的平移和反射

(2)集合的平移由集合A中所有元素平移z=(z1，z2)后组成的元素集合称为集合A的平移，记为。

其中，x表示集合A中的元素a平移z后形成的元素。集合的平移图示9.1集合的平移和反射二值图像的逻辑运算二值图像的逻辑运算膨胀和腐蚀是形态学处理的基础。1、膨胀：A被B膨胀的定义为：该式表明膨胀过程是B首先做关于原点的映像，然后平移z。A被B膨胀是所有位移z的集合，这样和A至少有一个元素是重叠的。集合B在膨胀操作中常被称为结构元素。9.2膨胀与腐蚀膨胀运算的基本过程是：

（1）求结构元素B关于其原点的反射集合；（2）每当结构元素在目标图像A上平移后，结构元素与其覆盖的子图像中至少有一个元素相交时，就将目标图像中与结构元素的原点对应的那个位置的像素值置为“1”，否则置为0。注意：（1）当结构元素中原点位置的值是0时，仍把它看作是0；而不再把它看作是1。

（2）当结构元素在目标图像上平移时，允许结构元素中的非原点像素超出目标图像范围。

9.2膨胀与腐蚀111

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（a）目标图像A（b）结构元素B（c）结构元素（d）膨胀运算结果图像

1、概念举例：膨胀

2、结构元素形状对膨胀运算结果的影响

当目标图像不变，但所给的结构元素的形状改变时；或结构元素的形状不变，而其原点位置改变时，膨胀运算的结果会发生改变。9.2膨胀与腐蚀111

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（a）目标图像A（b）结构元素B（c）结构元素（d）膨胀运算结果图像膨胀

下面给出的是目标图像相同但结构元素不同时，膨胀运算结果不同的例子。

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2020202212210222210

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222

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（a）目标图像A（b）结构元素B（c）结构元素（d）膨胀运算结果图像膨胀

下面给出的是目标图像相同，但仅结构元素的原点位置改变时，膨胀运算结果不同的例子。

1111利用膨胀运算将相邻的物体连接起来

3、膨胀运算的应用

1111利用膨胀运算填充目标区域中的小孔

3、膨胀运算的应用

9.2膨胀与腐蚀9.2膨胀与腐蚀2、腐蚀：A被B腐蚀的定义为：该式表明腐蚀的结果为所有使B中包含于A中的点z的集合用z平移。膨胀和腐蚀对于集合求补运算和反射运算是彼此对偶的，即：9.2膨胀与腐蚀

腐蚀运算的含义是：每当在目标图像A中找到一个与结构元素B相同的子图像时，就把该子图像中与B的原点位置对应的那个像素位置标注为1，图像A上标注出的所有这样的像素组成的集合，即为腐蚀运算的结果。

简而言之，腐蚀运算的实质就是在目标图像中标出那些与结构元素相同的子图像的原点位置的像素。

注意，结构元素中的原点位置可以不为1，但要求目标图像中的子图像与结构元素B的原点对应的那个位置的像素值是1。9.2膨胀与腐蚀

腐蚀运算的基本过程是：把结构元素B看作为一个卷积模板，每当结构元素平移到其原点位置与目标图像A中那些像素值为“1”的位置重合时，就判断被结构元素覆盖的子图像的其它像素的值是否都与结构元素相应位置的像素值相同；只有当其都相同时，就将结果图像中的那个与原点位置对应的像素位置的值置为“1”，否则置为0。注意：当结构元素在目标图像上平移时，结构元素中的任何元素不能超出目标图像的范围。

9.2膨胀与腐蚀1111111111110000100（a）目标图像A（b）结构元素B（c）腐蚀运算结果图像图a腐蚀运算实例

1、概念9.2膨胀与腐蚀9.2膨胀与腐蚀

2、结构元素形状对腐蚀运算结果的影响

腐蚀运算的结果不仅与结构元素的形状(矩形、圆形、菱形等)选取有关，而且还与原点位置的选取有关。

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1010图b与图a结构元素不同时的腐蚀运算实例9.2膨胀与腐蚀11

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0100图c与图a的结构元素的原点不同时的腐蚀运算实例

2、结构元素形状对腐蚀运算结果的影响举例：

9.2膨胀与腐蚀1111利用腐蚀算法消除物体之间的粘连示例

2、结构元素形状对腐蚀运算结果的影响举例：

9.2膨胀与腐蚀利用腐蚀算法识别物体示例

3、腐蚀运算在物体识别中的应用举例：

9.2膨胀与腐蚀

4、腐蚀运算与膨胀运算的对偶性

膨胀和腐蚀运算的对偶性可分别表示为：也即：对目标图像的膨胀运算，相当于对图像背景的腐蚀运算操作；对目标图像的腐蚀运算，相当于对图像背景的膨胀运算操作。9.2膨胀与腐蚀(a)目标图像(b)结构元素B(c）膨胀(d)腐蚀(e)

的补(f)

的反射(g)腐蚀(h)膨胀1111111111111111111111111111

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21111211111111100110100腐蚀运算与膨胀运算的对偶性－示例

9.2膨胀与腐蚀腐蚀和膨胀的几个重要性质：1、交换性：2、结合性：3、递增性：4、分配性：9.2膨胀与腐蚀

1、开操作使用同一个结构元素对目标图像先进行腐蚀运算,然后再进行膨胀运算称为开操作。开操作一般使对象的轮廓变得光滑，断开狭窄的间断和消除细的突出物。结构元素B对目标图像A的开操作定义为：9.3开操作与闭操作

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000100(a）目标图像A

(b)结构元素BB的反射(c）B对A的腐蚀结果(d）B对(c)膨胀结果1

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1、开操作举例：11

119.3开操作与闭操作9.3开操作与闭操作图8.18对含噪声的印刷电路板图像进行开运算实例

(a)印刷电路板二值图像（b）对(a)进行开运算的结果图像

1、开运算实例：9.3开操作与闭操作

2、闭操作使用同一个结构元素对目标图像先进行膨胀运算,然后再进行腐蚀运算称为闭操作。闭操作同样使轮廓线更光滑，但它通常消弭狭窄的间断和长细的鸿沟，消除小的孔洞，并填补轮廓线中的断裂。结构元素B对目标图像A的闭运算定义为：9.3开操作与闭操作111

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1

(b)结构元素B

(a）目标图像A

(c）B对A的膨胀结果(d)B对(c)

腐蚀结果

2、闭操作举例：

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1111B的反射9.3开操作与闭操作电路板二值图像闭运算实例

2、闭操作实例：(a)电路板二值图像（b）对(a)进行闭运算的结果图像

9.3开操作与闭操作

3、开运算与闭运算的对偶性开运算与闭运算互为对偶，并可表示为：闭操作可以使物体的轮廓线变得光滑。闭运算具有磨光物体内边界的作用，而开运算具有磨光图像外边界的作用。

9.3开运算与闭运算9.3开操作与闭操作9.3开操作与闭操作击中或击不中变换主要是在图像中寻找相关对象的位置的一种方法。如果B可表示为由X和X的背景构成的集合，则在A中对B进行匹配的操作定义为：击中或击不中变换是形状检测的基本工具。通过腐蚀与膨胀之间的对偶关系，也存在：如果，变换也可以表示为：9.4击中或击不中变换9.4击中或击不中变换9.5基本的形态学算法1、边界提取：边界提取可以先对原始图像进行腐蚀，而后用原始图像减去腐蚀的结果：B是一个适当的结构元素。当B的原点在图像的边界上时，结构元素的一部分在图像的外面，此时假设图像边界外部的值为零。9.5.1边界提取2、区域填充：以集合的膨胀、求补和交集为基础对区域进行填充。B是一个适当的结构元素。当B的原点在图像的边界上时，结构元素的一部分在图像的外面，此时假设图像边界外部的值为零。确定一个种子，当结果不发生变化时，认为填充结束。即时，迭代结束。9.5基本的形态学算法9.5.2区域填充9.5.2区域填充3、连通分量的提取：提取图像中的连通分量。B是一个适当的结构元素。当B的原点在图像的边界上时，结构元素的一部分在图像的外面，此时假设图像边界外部的值为零。确定一个种子，当结果不发生变化时，认为填充结束。当时，迭代结束。9.5基本的形态学算法9.5.3连通分量的提取9.5.3连通分量的提取凸性(convexity)：如某集合A中任意两点的连线上的所有点都在该集合中，则称该集合是凸的。凸壳：任意集合S的凸壳H（表示成C(S)）指的是包含S的最小凸集。差H-S称为S的凸缺。凸缺/壳主要用于对象的描述。凸壳算法如下：其中Bi代表下页图所示的4个结构元素，且X0i＝A，令D=Xiconv为上述迭代的收敛(convergence)值,则A的凸壳由下式得到：凸壳算法的具体过程可参照下页图9.5基本的形态学算法9.5.4凸壳x219.5.4凸壳9.5.4凸壳上述方法的一个明显的不足是凸壳可能在A基础上生成的保证凸壳凸性所需的最小尺寸。一个简单的解决办法是限制结果凸壳不超过原集合水平和垂直方向的最大尺寸。上述结果经过此限制后的凸壳如下。5、细化：根据击中或击不中变换进行定义：B是几个适当的结构元素，反复使用击中或击不中变换。如果定义B为：则有：9.5基本的形态学算法其中是结构元素序列，且Bi是对Bi-1旋转而来的。对所有结果元素操作一遍后，如果没收敛，再依次对各个结构元素重复进行运算，直至没有变化为止。9.5.5细化6、粗化：粗化在形态学上是细化的对偶过程。B是几个适当的结构元素，反复使用击中或击不中变换。如果定义B为：则有：9.5基本的形态学算法其中所使用的结构元素序列与细化算法一样，并把所有的1和0互换。9.5.6粗化实际应用中，很少直接用粗化算法，而是先对问题集合的补集（即背景集合）进行细化，接着对细化结果求补来得到粗化结果。但这种方式会产生不连续点，因此必须进行一些简单的后处理来去掉不连续的点。9.5.7骨架7、骨架：提取图像的骨架的过程，可以用腐蚀和开操作表达。B是几个适当的结构元素，对Sk(A)反复使用腐蚀变换：有：9.5基本的形态学算法9.5.7骨架（a）原图像（b）提取的原图像的骨架图像骨架提取实例9.5.7骨架9.5.8裁剪灰度膨胀灰度腐蚀灰度开和闭运算灰度形态学处理应用9.6灰度级图像扩展9.6.1灰度膨胀令f(x,y)表示图像，b(x,y)表示结构元素，(x,y)是整数坐标值对。f和b取实数或整数。b对f进行灰度膨胀可定义为：为对其有个清楚的理解，先看一下一维的情况，这时上式变为：灰度膨胀的效果：如果所有的结构元素的值是正的，则输出图像比输入图像更亮；暗的细节可被减少或消除，其程度依赖于这些暗细节的值和形状与结构元素间的关系。一维灰度膨胀图示注意：此图中移动的是b而不是定义中的f，但结果是一样的，因为膨胀运算满足交换律。移动b而不是f更直观，更简单，因为b的尺寸通常小于f。9.6.2灰度腐蚀定义：同样可以先看一下一维的情况，这时上式变为：灰度腐蚀的效果：如果所有的结构元素的值是正的，则输出图像比输入图像更暗；在比结构元素还小的区域中的亮细节效果将减弱，其程度依赖于环绕亮细节的灰度值，及结构元素的形状和幅度值。一维灰度腐蚀图示对一维膨胀示例中的同样f和b，腐蚀的结果如下：灰度膨胀和腐蚀相对函数补和反射变换成对偶关系：灰度膨胀和腐蚀运算应用实例注意不同图中亮和暗细节的变化灰度结构元素灰度膨胀和腐蚀运算应用实例9.6.3灰度开和闭运算开运算：闭运算：开、闭运算也相对补和反射操作成对偶关系开运算通常用于去除小的（相对于结构元素而言）亮细节，而保留总体的灰度及和大的亮的特征不变。因为开始的腐蚀操作消除小细节的同时也使图像变暗，所以后面的膨胀过程用于增加图像的整个强度，但不会再引入被去除的细节。(a)Y为某常数时的图像界面(c）b在f下方滑动(d)开运算结果灰度开运算过程示意图灰度开运算

采用该结构元素对目标图像进行开运算的过程是：

在目标图像下方滑动结构元素时，在每一点记录结构元素上的最高点，则由这些最高点构成的集合即为开运算的结果。(b)球形结构元素b的界面灰度闭运算

采用该结构元素对目标图像进行闭运算的过程是：

在目标图像上方滑动结构元素时，在每一点记录结构元素上的最低点，则由这些最低点构成的集合即为闭运算的结果。(b)球形结构元素b的界面(a)Y为某常数时的图像界面(c）b在f上方滑动(d)闭运算结果灰度闭运算过程示意图9.6.3灰度开和闭运算9.6.3灰度开和闭运算开、闭运算的效果开运算通常用于去除小的（相对于结构元素而言）亮细节，而保留总体的灰度及和大的亮的特征不变。因为开始的腐蚀操作消除小的亮细节的同时也使图像变暗，所以后面的膨胀过程用于增加图像的整个强度，但不会再引入被去除的细节。闭运算通常用于去除小的（相对于结构元