大学物理3-2 刚体定轴转动的动力学描述

P*O

:力臂刚体绕Oz

轴旋转,力作用在刚体上点P,

且在转动平面内,为由点O到力的作用点P的径矢.对转轴Z的力矩:

一力矩刚体上力的大小与力臂的乘积.作用在矢量表示大小方向:右手螺旋定则大小:多力作用下

的力矩

如果有几个力同时作用在一个绕定轴转动的刚体上,而且这几个力都在与转轴相垂直的平面内,则这几个的合力矩为O讨论

1）若力不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量

2）合力矩等于各分力矩的矢量和其中对转轴的力矩为零，故对转轴的力矩3）刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消O量纲:单位:举例内力对转轴的力矩所以将刚体看成由许许多多质量为的质元所组成,把这些质元当作质点.由此我们假设刚体由n个质量为的质点组成,其中第个质点和第个质点间在与转轴垂直平面内的相互作用力分别为:和显然两力对转轴的力矩:由于整个刚体

解受力分析，如图所示

例1如图所示,有一半径为、质量为的均匀圆盘，可绕通过圆盘中心O

并与盘面垂直的轴的转动.转轴与圆盘之间的摩擦略去不计.圆盘上绕有轻而细的绳索,绳的一端固定在圆盘上,另一端系一质量为的物体.试求作用在圆盘上的力矩.O

*例2

有一大型水坝高110m、长1000m，水深100m，水面与大坝表面垂直，如图所示.求作用在大坝上的力，以及这个力对通过大坝基点Q且与x轴平行的力矩.解设水深h，坝长L，在坝面上取面积元作用在此面积元上的力yOhyxQyOx令大气压为，则代入数据，得yOhyx代入数据，得对通过点Q

的轴的力矩yQOhyO二转动定律2）刚体质量元受外力，内力

1）单个质点与转轴刚性连接外力矩内力矩O刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比

，与刚体的转动惯量成反比.转动定律定义转动惯量O三转动惯量物理意义：转动惯性的量度.质量离散分布刚体的转动惯量转动惯量的计算方法质量连续分布刚体的转动惯量：质量元

对质量线分布的刚体：：质量线密度

对质量面分布的刚体：：质量面密度

对质量体分布的刚体：：质量体密度：质量元质量连续分布刚体的转动惯量

解按转动惯量的定义可得对各转轴的转动惯量为（1）例3-1

在边长为的正方形的四个顶点上。分别固定有质量均为m的四个质点，如图所示，试求此系统对下列转轴的转动惯量。（1）转轴过A点，且垂直于质点所在的平面。（2）转轴过O点，且垂直于质点所在的平面。（3）转轴过A、D两点，且在质点所在的平面内。（2）（3）OO´O´O

解设棒的线密度为，取一距离转轴OO´

为处的质量元

例3-2

一质量为、长为

的均匀细长棒，求（1）通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量；（2）转轴通过棒的一端并与棒垂直。

如转轴过端点垂直于棒

例5

一质量为、半径为的均匀圆环，求通过圆环中心O

并与环面垂直的轴的转动惯量.

解设圆环的线密度为，在环上取一长为的质量元，则质量元其中质元对轴的转动惯量整个圆环对轴的转动惯量其中所以ORO

例6

一质量为、半径为的均匀圆盘，求通过盘中心O

并与盘面垂直的轴的转动惯量.

解设圆盘面密度为，在盘上取半径为，宽为的圆环而圆环质量所以圆环对轴的转动惯量四

平行轴定理P转动惯量的大小取决于刚体的质量、形状及转轴的位置.质量为

的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为，则对任一与该轴平行，相距为

的转轴的转动惯量CO注意圆盘对P轴的转动惯量O竿子长些还是短些较安全？飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？

解如图所示，由牛顿定律和转动定律得

例7

如图所示,有一半径为、质量为的均匀圆盘，可绕通过圆盘中心O

并与盘面垂直的轴的转动.转轴与圆盘之间的摩擦略去不计.圆盘上绕有轻而细的绳索,绳的一端固定在圆盘上,另一端系一质量为的物体.试求物体下落时的加速度、绳中的张力和圆盘的角加速度。O解得例3-3

自学。

解作受力图，如图所示例3-4

质量分别为和的两个物体A、B分别悬挂在图所示的组合轮两端。设两轮的半径分别为和，两轮的转动惯量分别为和，轮与轴承间、绳索与轮间的摩擦力均略去不计，绳的质量也略去不计。试求两物体的加速度和绳的张力。由牛顿定律和转动定律得其中解上述方程组，可得其中转动惯量为由转动定律，得棒的角加速度为由角加速度的定义，得例3-5

如图所示，一个可绕固定轴自由转动的均质细棒，质量为，长度为，初始时刻处于水平位置。求其自由释放至角时的角加速度和角速度。

解如图所示，棒所受重力对轴的力矩为角速度由角加速度的定义，得

例10

有一半径为R质量为m匀质圆盘,以角速度ω0绕通过圆心垂直圆盘平面的轴转动.若有一个与圆盘大小相同的粗糙平面(俗称刹车片)挤压此转动圆盘,故而有正压力N均匀地作用在盘面上,从而使其转速逐渐变慢.设正压力N和刹车片与圆盘间的摩擦系数均已被实验测出.试问经过多长时间圆盘才停止转动?

解:在圆盘上取面积微元,面积元所受对转轴的摩擦力矩大小r刹车片面积微元所受摩擦力矩圆环所受摩擦力矩圆盘所受摩擦力矩圆盘角加速度停止转动需时rR例11

有一半径为、质量为的均质圆盘，以角速度为绕通过盘心O

并与盘面垂直的轴的转动.若有一个与圆盘大小相同的粗糙平面（俗称刹车片）挤压此转动圆盘，故而有正压力均匀地作用在圆盘上，从而使其转速逐渐变慢。设正压力和刹车片与圆盘间的摩擦因数均已被实验测出。试问经过多长时间圆盘才停止转动？

解由题意知,圆盘上所受的压力是均匀的,转动圆盘的面积为,所以圆盘上单位面积所受的压力为在如图所示的转动圆盘上距轴O为处取一长为、宽为的面积元，在刹车的作用下，该面积元所受的摩擦力为：这个摩擦力对轴O的摩擦力矩大小为方向与的方向相反刹车片对整个圆盘作用的摩擦力矩于是整个圆环对轴O的摩擦力矩为其中由所以圆盘是作匀减速转动角加速度得

例12

一长为质量为匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链O

相接，并可绕其转动.由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O

转动.试计算细杆转动到与竖直线成角时的角加速度和角速度.

解细杆受重力和铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得式中得由角加速度的定义代入初始条件积分得再求线加速度及绳的张力.静止落下距离

时，其速率是多少？（3）若滑轮与轴承间的摩擦力不能忽略，并设它们间的摩擦力矩为

例13

质量为的物体A

静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为R、质量为的圆柱形滑轮C，并系在另一质量为的物体B

上.滑轮与绳索间没有滑动，且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计.问：（1）两物体的线加速度为多少？水平和竖直两段绳索的张力各为多少？