山东省烟台市蓬莱第二中学2021-2022学年高二数学理上学期期末试题含解析

山东省烟台市蓬莱第二中学2021-2022学年高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，

即，．给出如下四个结论：①；

②；

③；④当且仅当“”整数属于同一“类”．其中，正确结论的个数为．A．

B． C．

D．参考答案：C略2.在△ABC中，AB=2BC=2，，则△ABC的面积为（）A． B． C．1 D．参考答案：B【考点】正弦定理．【分析】由AB=c，BC=a，得出a与c的长，再由cosA的值，利用余弦定理求出b的长，由b，c及sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：∵c=2，a=1，cosA=，∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，得：1=b2+4﹣2b，即（b﹣）2=0，解得：b=，则S△ABC=bcsinA=．故选B【点评】此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．3.直线与两直线分别交于、两点,线段的中点恰为则直线的斜率为

A..

B.

C.

D.参考答案：C4.已知{}为等差数列，{}为等比数列，其公比≠1，且>0(i＝1,2，…，n)，若，，则()A．

B．

C．

D．或

参考答案：A略5.与直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线方程为(

)A．3x-4y-5=0

B.3x+4y+5=0C．3x-4y+5=0

D.3x-4y-5=0参考答案：B6.下面四个命题(1)比大

(2)两个复数互为共轭复数,当且仅当其和为实数(3)的充要条件为(4)如果让实数与对应，那么实数集与纯虚数集一一对应其中正确的命题个数是

（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：B略7.已知不等式组构成平面区域Ω（其中x，y是变量），若目标函数z=ax+6y（a＞0）的最小值为﹣6，则实数a的值为（）A． B．6 C．3 D．参考答案：C【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义确定最优解，解方程即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=ax+6y（a＞0）得y=﹣x+，则直线斜率﹣＜0，平移直线y=﹣x+，由图象知当直线y=﹣x+经过点A时，直线的截距最小，此时z最小，为﹣6，由得，即A（﹣2，0），此时﹣2a+0=﹣6，解得a=3，故选：C8.抛物线y=x2的焦点坐标是（）A．（0，） B．（﹣，0） C．（﹣，0） D．（0，）参考答案：D【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先把方程化为标准方程，可知焦点在y轴上，进一步可以确定焦点坐标．【解答】解：化为标准方程为x2=2y，∴2p=2，∴=，∴焦点坐标是（0，）．故选：D．【点评】本题主要考查抛物线的几何形状，关键是把方程化为标准方程，再作研究．9.函数的图象大致为（

）A. B.

C. D.参考答案：C【分析】根据奇偶性以及特殊值即可排除。【详解】因为=，所以为奇函数图像关于原点对称，排除BD,因为，所以排除A答案，选择D【点睛】本题主要考查了函数图像的判断方法，常利用函数的奇偶性质，特殊值法进行排除，属于中等题。10.过点（1，3）作直线，若经过点和，且，则可作出的的条数为（

）A.1

B.2

C.3

D.多于3参考答案：错解:D．错因：忽视条件,认为过一点可以作无数条直线.正解:B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点若，则

．参考答案：812.已知函数，则该函数的值域为__________。参考答案：［1，2］13.若圆锥的侧面积为m，全面积为n，则圆锥的高与母线的夹角θ的大小等于

。参考答案：arccos14.已知结论:“在正三角形ABC中,若D是边BC的中点,G是三角形ABC的重心,则”若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体中，若的中心为，四面体内部一点到四面体各面的距离都相等，则=

；参考答案：略15.先阅读下面文字：“求的值时，采用了如下的方式：令，则有，两边平方，得，解得（负值舍去）”。用类比的方法可以求得：当时，的值为

。参考答案：16.展开式中的一次项系数为

▲．参考答案：55

17.抛物线y=ax2的准线方程是y=2，则a的值为．参考答案：﹣【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】首先把抛物线方程转化为标准方程x2=my的形式，再根据其准线方程为y=﹣，即可求之．【解答】解：抛物线y=ax2的标准方程是x2=y，则其准线方程为y=﹣=2，所以a=﹣．故答案为：﹣．【点评】此题考查了抛物线的简单性质，是一道基础题，也是高考常考的题型，找出抛物线标准方程中的p值是解本题的关键，要求学生掌握抛物线的标准方程．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=alnx+x2+1．（Ⅰ）当a=﹣时，求f（x）在区间[，e]上的最值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）当﹣1＜a＜0时，有f（x）＞1+ln（﹣a）恒成立，求a的取值范围．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求导f（x）的定义域，求导函数，利用函数的最值在极值处与端点处取得，即可求得f（x）在区间[，e]上的最值；（Ⅱ）求导函数，分类讨论，利用导数的正负，可确定函数的单调性；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当﹣1＜a＜0时，f（x）min=f（），即原不等式等价于f（）＞1+ln（﹣a），由此可求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣时，，∴．∵f（x）的定义域为（0，+∞），∴由f′（x）=0得x=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴f（x）在区间[，e]上的最值只可能在f（1），f（），f（e）取到，而f（1）=，f（）=，f（e）=，∴f（x）max=f（e）=，f（x）min=f（1）=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ），x∈（0，+∞）．①当a+1≤0，即a≤﹣1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣③当﹣1＜a＜0时，由f′（x）＞0得，∴或（舍去）∴f（x）在（，+∞）单调递增，在（0，）上单调递减；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣综上，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当﹣1＜a＜0时，f（x）在（，+∞）单调递增，在（0，）上单调递减；当a≤﹣1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当﹣1＜a＜0时，f（x）min=f（）即原不等式等价于f（）＞1+ln（﹣a）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣即aln+﹣+1＞1+ln（﹣a）整理得ln（a+1）＞﹣1∴a＞﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又∵﹣1＜a＜0，∴a的取值范围为（﹣1，0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19.已知z为复数，z+i和均为实数，其中i是虚数单位．（Ⅰ）求复数z和|z|；（Ⅱ）若在第四象限，求m的范围．参考答案：【考点】A8：复数求模．【分析】（Ⅰ）z=a+bi（a，b∈R），代入z+i和利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为0列式求得a，b的值，则复数z和|z|可求；（Ⅱ）把代入，利用复数代数形式的加减运算化简，由实部大于0且虚部小于0联立不等式组求解．【解答】解：（Ⅰ）设z=a+bi（a，b∈R），则z+i=a+（b+1）i，=．∵z+i和均为实数，∴，解得a=2，b=﹣1．∴z=2﹣i，|z|=；（Ⅱ）∵=2+i+=在第四象限，∴，解得﹣2＜m＜或1＜m＜5．20.（本小题满分12分）在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且，.（1）求与；（2）设数列满足，求的前项和.参考答案：（1）设的公差为.因为所以

……3分解得或（舍），故，

………5分

（2）由（1）可知，，

……6分所以

……8分相减得：，……10分所以

………………12分21.（本小题满分14分）如图，四面体中，、分别是、的中点，（I）求证：平面

（II）求证：平面；（III）求异面直线与所成角的余弦值；参考答案：（I）证明：连结，、分别是、的中点，又平面，平面，平面

………………4分（II）证明：连结

………………6分在中，由已知可得而…………8分平面

………………9分（III）取的中点，连结、、，由为的中点知直线与所成的锐角就是异面直线与所成的角………11分在中，

是直角斜边上的中线，

取的中点，则，

异面直线与所成角的余弦值为

…14分22.(本小题满分12分)已知的展开式的第5项的二项式系数与第3项的二项式系数之比为14:3.(1)求正自然数n的值；

(2)求展开式中的常数项.参考答案：解：(1)由题意Cn4Cn2=14：3，

……1分即，