第03章 第02节 应变分析

金属塑性加工原理

山东建筑大学材料科学与工程学院2012.3第三章金属塑性变形的力学基础第一节应力分析第二节应变分析第三节平面问题和轴对称问题第四节屈服准则第五节塑性变形时应力应变关系第六节真实应力应变曲线第二节应变分析一、有关变形的基本概念a)均匀拉伸P→P1

拉长变细Q→Q1单元体取的方位不同，变形方式不同，歪斜了b)有摩擦的平板间镦粗P→P1

沿中心线压扁Q→Q1由于摩擦的作用，压扁且歪斜了R→R1成鼓形后有明显的角度偏转c)理想剪切P→P1

剪斜了Q→Q1平移到Q1，未变形d)弯曲工序P→P1

缩短且转动一角度Q→Q1转动一角度，但未变形5、变形的大小用应变表示。物体变形时，其体内各质点在各方向都会有应变，与应力分析一样，同样需引入“点应变状态”的概念。点应变状态也是二阶对称张量，故与应力张量有许多相似的性质。由以上实例可以得到以下概念：2、变形正变形（线变形）：线性尺寸伸长或缩短切变形（角变形）：单元体发生畸变纯变形3、同一质点的不同方位，有不同的变形值点的应变状态4、物体变形时，单元体一般将同时发生平移、转动、正变形和剪变形。除去刚体位移后，才能得到纯变形。1、变形就是各点位移不同，致使各点相对位置发生变化。6、研究应变问题往往从小变形（数量级不超过10-3~10-2的弹-塑性变形）着手。金属塑性加工是大变形，小变形是大变形的基础。一、有关变形的基本概念二、位移和应变(一)位移及分量质点M→M1

——靠弹性或塑性变形实现。位移：变形体内任一点变形前后的直线距离(MM1)位移分量：在坐标系中，一点的位移矢量在三个坐标轴上的投影称为该点的位移分量。用u，v，w或ui表示。位移场：变形体内不同点的位移分量不同。根据连续性基本假设,位移分量应是坐标的连续函数，而且一般都有连续的二阶偏导数。或上式表示的即变形体的位移场。变形体内无限接近两点的位移分量间的关系设M(x,y,z)M1

(x+u,y+v,z+w)位移分量：

M'(x+dx,y+dy,z+dz)M1'

(x+dx+u+δu,y+dy+v+δv,z+dz+w+δw)位移分量：将ui'按泰勒数展开

M'点相对于M点的位移增量若无限接近的两点的连线MM'平行于某一坐标轴，例如MM'∥x轴，则若已知变形物体内一点M的位移分量，则与其邻近一点M'的位移分以可以用M点的位移分量及其增量来表示。变形体内无限接近两点的位移分量间的关系(二)应变及其分量1、名义应变及其分量设单元体PABC→P1A1B1C1PA:rx→r1=rx+δr线变形(δr)：单元体棱边的伸长或缩短线应变（正应变—ε）：单位长度上的线变形棱边PA的线应变：名义应变又称相对应变或工程应变，包括线（正）应变和切（剪）应变。棱边PA在x方向的线应变：同理：——平行于y轴的棱边在y方向的上的线应变——平行于z轴的棱边在z方向的上的线应变1、名义应变及其分量单元体在xy面内发生变形，相对切应变（工程切应变）：同理有：φyz,φzx显然：单位长度上的偏移量或两棱边所夹直角的变化量1、名义应变及其分量φyx也可以看成PA、PC同时向内偏转引起的。切应变：角标的意义：第一个角标表示线元（棱边）的方向，第二个角标表示线元的偏转方向。如γxy表示x方向的线元向y方向偏转的角度。变形单元体有三个线应变和三组切应变。统称为应变分量。1、名义应变及其分量含有刚体转动的切应变绕z轴的刚体转动角，研究应变时，应将刚体转动去掉。过一点三个互相垂直方向上有9个应变分量六个独立分量1、名义应变及其分量(二)应变及其分量2、对数应变相对线应变只能用于小变形分析，在大变形中不能反映实际情况。变形体由l0→ln可看作是经无穷多个中间数值逐渐变成。应用微分的概念——自然应变（对数应变），反映了物体变形的实际情况，也称真实应变。定义：塑性变形过程中，在应变主轴方向保持不变的情况下应变增量的总和叫对数应变。设物体内两质点相距l0,变形后距离为ln对数应变的优点：1、表示变形的真实情况；2、具有可加性：总应变为各阶段应变之和。如：拉伸拉伸拉伸则：而：显然：对数应变3、具有可比性：拉伸后再压缩至原长，对数应变相等，仅差一符号。例：拉伸压缩和三、点的应变状态和应变张量1、任意方向上的应变设任意点a(x,y,z)的应变分量：设线元ab=rr在三个坐标轴上的投影：dx,dy,dz方向余弦：长度：a)线应变变形后ab移至a1b1

长度：在三个轴上的投影：dx+δu,dy+δv,dz+δw略去δr,δu,δv,δw的平方项两边同除以r21、任意方向上的应变(3-43)式比较：1、任意方向上的应变b)切应变(线元变形后的偏转角）设r=1,引NM⊥a1b1在ΔNMb1中，有由于故于是：如果没有刚体转动，就是切应变1、任意方向上的应变如果有刚体转动，纯剪变形引起的位移增量刚性转动引起的位移增量去除刚性转动所以比较结论：若一点互相垂直的三个方向上的应变分量已知，则该点任意方向应变可求。1、任意方向上的应变2、应变张量

一点的应变状态可以用过该点三个互相正交方向上的九个应变分量来表示。与应力状态相似，如果当坐标轴旋转后在新的坐标系中的九个应变分量与原坐标系中的九个应变分量之间的关系也符合学数上张量之定义，即εij为二阶对称张量。四、塑性变形时的体积不变条件设单元体初始边长为dx,dy,dz变形前的体积变形后边长变形后的体积展开，略去高阶微量体积变化率在弹性变形中，θ可正可负，在塑性变形中，认为体积不变θ为零。体积不变条件为对数应变表示的体积不变条件塑性变形时，三个线应变分量不可能全部同号，绝对值最大的应变分量永远和另外两个应变分量的符号相反。

例:一块长、宽、厚为120mm×36mm×0.5mm的平板，拉伸后在长度方向均匀伸长至144mm，若宽度不变时，求平板的最终尺寸。根据变形条件可求得长、宽、厚方向上的主应变（用对数应变表示)为：由体积不变条件得所以即所以，平板的最终尺寸为144mm×36mm×0.417mm四、塑性变形时的体积不变条件五、点的应变状态与应力状态相比较

点的应变张量与应力张量不仅在形式上相似，而且其性质和特性也相似。因此，在研究应变状态理论时，一些公式不需再推导，直接由与应力张量相似性得到，只要将应变张量中的线应变分量和切应变分量分别与应力张量中的正应力分量和切应力分量相对应即可。1、主应变、应变张量不变量、主切应变和最大切应变、主应变简图（1）主应变过变形体内一点存在有三个相互垂直的应变主方向(也称应变主轴)，该方向上线元没有切应变，只有线应变，称为主应变。用ε1,ε2,ε3表示在主轴坐标系统中，应变张量为（2）应变张量不变量应变状态特征方程应变张量不变量（3）主切应变和最大切应变若ε1>ε2>ε3,则五、点的应变状态与应力状态相比较(4)主应变简图用主应变的个数和符号来表示应变状态的简图称主应变状态图，简称为主应变简图或主应变图。a)压缩类变形b)剪切类变形(平面变形)c)伸长类变形特征应变为负应变，另外两个应变为正应变。一个应变为零，其他两个应变大小相等，方向相反。特征应变为正应变，另外两个应变为负正应变。五、点的应变状态与应力状态相比较2、八面体应变八面体线应变八面体切应变3、应变偏张量和应变球张量五、点的应变状态与应力状态相比较4、等效应变取八面体切应变绝对值的倍所得之参量称为等效应变，也称广义应变或应变强度。比较等效应变的特点1)是一个不变量；2)在塑性变形时，其数值上等于单向均匀拉伸或均匀压缩方向上的线应变。六、位移场和小应变几何方程解塑性成形问题的一般步骤：位移场几何方程应变场本构方程应力场比较边界条件一般情况下，位移场都比较复杂，对于某些简单且理想的场合，可通过几何关系直接求得位移场。例：矩形柱体在无摩擦的光滑平板间压缩。设：u,v,w线性分布,压下量δH:当z=0时，w=0,z=H时，w=-δH所以：由体积不变条件：设压下量为δH时，长宽方向伸长2δL展开，略去高阶微量设：u=cx+d当x=0时，u=0,得d=0当x=L/2时，同理：六、位移场和小应变几何方程小应变几何方程研究位移场和应变场之间的关系。单元体在xoy坐标平面上的投影：变形前：abcd位移及变形后：a1b1c1d1设ac=dx,ac∥ox轴

ab=dy,ab∥oy轴a点位移分量为u,v,则由（3-44）式得出由几何关系：棱边ac在x方向的线应变：棱边ab在y方向的线应变：由几何关系：因为：同理：六、位移场和小应变几何方程工程切应变：切应变：综合：或(3-66)(3-66a)六、位移场和小应变几何方程七、应变连续方程应变连续方程又叫应变协调方程、变形连续方程、变形协调方程——为了保证物体变形后连续，六个应变分量之间应满足的关系对y求两次偏导对x求两次偏导相加同理（3-67）每个坐标平面内，应变分量之间应满足的关系两个线应变分量一经确定，则切应变分量随之被确定用同样的方法不同坐标平面内，应变分量之间应满足的关系在三维空间内三个切线应变分量一经确定，则线应变分量随之被确定（3-68）应该指出：如果已知一点的位移分量，利用几何方程求得的应变分量自然满足连续方程。但如果先用其他方法求得应变分量，则只有当它们满足应变连续方程，才能用几何方程求得正确的位移分量。七、应变连续方程第三章金属塑性变形的力学基础第一节应力分析第二节应变分析第三节平面问题和轴对称问题第四节屈服准则第五节塑性变形时应力应变关系第六节真实应力应变曲线八、应变增量和应变速率张量1、速度分量和速度场速度分量：质点在单位时间内的位移称位移速度，位移速度在三个坐标轴上的投影称位移速度分量，简称速度分量。位移速度是坐标的连续函数，又是时间的函数，或2、位移增量和应变增量位移增量:物体在变形过程中，在一个极短的时间dt内，其质点产生极小的位移变化量称为位移增量,记为dui全量应变和应变增量的概念全量应变:在变形的某过程或过程的某阶段终了时的应变应变增量：变形过程中某极短阶段的无限小应变速度分量：或位移增量分量：应变增量：代入几何方程即一点的应变增量也是二阶对称张量，称应变增量张量注意：dεij中的d不是微分符号，dεij不表示εij的微分。2、位移增量和应变增量3、应变速率张量应变速率：单位时间内的应变称为应变速率将代入两边同除以时间dt或注意：是应变增量dεij对时间dt的微商，不是εij对时间的导数。应变速率表示变形程度的变化快慢，它不但取决于成形工具的运动速度，而且与变形体的形状尺寸及边界条件有关，所以不能仅仅用工具或质点的运动速度来衡量物体内质点的变形速度。第三章金属塑性变形的力学基础第一节应力分析第二节应变分析第三节平面问题和轴对称问题第四节屈服准则第五节塑性变形时应力应变关系第六节真实应力应变曲线第三节平面问题和轴对称问题一、平面应力问题平面应力状态：若变形体内与某方向轴垂直的平面上无应力存在，并所有应力分量与该方向轴无关，则这种应力状态即为平面应力状态。1、特点1）某向（例如z轴）垂直的平面上无应力，该方向为主方向2）各应力分量与z轴无关，应力分量对z的偏导数为零，所有应力分布可在x,y坐标面内表示出来2、平面应力状态的应力张量2、平衡微分方程（3-82）3、主应力主应力σ1的方向与x轴向的夹角一、平面应力问题4、纯切应力状态特点：主切应力平面上正应力为零，只有切应力主轴与坐标轴成450主应力：在平面应力状态中，z方向虽然没有应力，但有应变。只有在纯切应力状态，没有应力的方向才没有应变。二、平面应变问题

如果物体内所有质点都只在同一个坐标平面内发生变形，而在该平面的法线方向没有变形，这种变形称为平面变形或平面应变。发生变形的平面称塑性流平面。1、特点z

为主方向，各分量与z无关，对z的偏导数为零只有三个独立的应变分量：2、几何方程塑性变形时体积不变3、平面变形的应力特点1)由于平面变形时，物体内与z轴垂直的平面始终不会倾斜扭曲，所以z平面上没有切应力分量为主应力，z向为主方向，为平均应力，是不变量只有三个独立的应力分量。2)若以应力主轴为坐标轴，则有平面变形的应力状态是纯切应力状态叠加一球应力状态。3)平面变形时，由于σz是不变量，而且其它应力分量都与z轴无关，所以应力平衡微分方程和平面应力状态下的应力平衡微分方程是一样的，即4、平面应力和平面