硕士数值分析期末复习

数值分析期末复习

2013一、有效数字、范数1、四舍五入的数如何求有效数字？已知绝对误差的数如何求有效数字？2、常用向量、矩阵范数的计算3、一般范数的定义，如何证明一个函数为范数？4、数值计算中注意的五个原则二、线性方程组的解法

1、Gauss消去法（顺序、列主元）

2、矩阵的条件数

3、常用的三种迭代法及其收敛条件Jacobi迭代的基本思想k=0，1，2，...四、非线性方程的解法

1、简单迭代法的构造及收敛性的判断

2、牛顿法1、简单迭代法及其收敛性例求方程在x=1.5附近的一个根.这种逐步校正的过程称为迭代过程,所用公式称为迭代公式.即迭代法的基本思想1、简单迭代法及其收敛性一般形式：

---迭代函数。

4.收敛条件a、非局部收敛定理（3）成立误差估计式（4.4）

（4.5）

五、Newton法（切线法）2.迭代函数：3.迭代公式：（4.7）4.几何意义1.基本思想:(2)几何上:逐步线性化方法(1)构造法:(3)Taylor展开推导

1、三种插值方法拉格朗日插值、牛顿插值、埃尔米特插值2、函数的最佳平方逼近3、最小二乘拟合五、插值与逼近（1）Lagrange插值基函数（2）Lagrange插值多项式（3）误差估计

1、三种插值方法Newton插值多项式P158Hermite插值问题（带导数条件的代数插值问题）的表示：为中的基。设2、函数的最佳平方逼近（1）最佳平方逼近的概念定义：设，若存在使则称为f（x）在函数类中关于权函数的最佳平方逼近函数。（2）最佳平方逼近元素的求法法方程（正规方程）：求系数法方程（正规方程）：为[a,b]上带权正交函数系,则设例

求函数在[0，1]上的最佳二次平方逼近多项式。曲线（数据）拟合的最小二乘法:使:称为上述数据的最小二乘拟合曲线.给定一组数据在某一函数类D中找函数3、最小二乘拟合（3）误差平方和（1）曲线（数据）拟合的最小二乘法:（2）拟合曲线的求法例11给定数据表x-2-1012y-0.10.10.40.91.6试分别用二次和三次多项式以最小二乘法拟合所给数据,并比较其优劣.解1、数值积分公式的一般形式及构造2、代数精度3、积分的数值计算

4、Gauss公式的构造

六、数值积分如果求积公式(6.1)当f(x)为任何次数不高于m的多项式时都成为等式,而当f(x)为某个m+1次多项式时(6.1)不能成为等式,则称求积公式(6.1)具有m次代数精度.梯形公式、Simpson公式4、Gauss型求积公式的构造

Gauss型求积公式.给定区间[a,b],权函数以及代数精度,可构造1)待定系数法由于首项系数并不影响正交性,不妨把首项系数均定为1.设由正交性确定待定系数a,b,c,…...2)利用递推公式在已知的情况下,才能用递推公式.第二步:确定求积系数第一步：找高斯点构造[a,b]上带权的n次正交多项式,并求其零点作为高斯点。4、Gauss型求积公式的构造第二步:确定求积系数:1)解线性方程组分别取使积分公式精确成立:第一步：找高斯点2)用公式4、Gauss型求积公式的构造第一步:构造[a,b]上带权的n次正交多项式,并求其零点第二步:确定求积系数:1)解线性方程组作为高斯点.Ｇauss－Ｃhebyshev求积公式的构造Ｇauss－Ｃhebyshev求积公式2、初值问题（7.1）数值方法的构造3、微分方程数值方法阶的判断七、常微分方程数值解法1、基本知识（1）单步法的一般形式（2）单步法的局部截断误差（3）整体截断误差（4）局部截断误差与整体截断误差的关系定理则（5）单步法的阶定义:若数值方法的局部截断误差为,则称这种数值方法的阶数是p.若1、基本知识2、初值问题（7.1）数值方法的构造（1）基于数值积分方法解决两个问题：1、积分上下限的选择2、右端被积函数的近似解决两个问题：1、积分上下限的选择2、右端被积函数的近似例：右端f的近似：（1）过积分上下限的直线代替f；（2）y=tn代替f;（3）过的二次插值多项式代替f；例：能得到怎样的公式？2、初值问题（7.1）数值方法的构造（1）基于数值积分方法（2）基于泰勒展开的待定系数法（2）基于泰勒展开的待定系数法如何确定其中的系数？将其局部截断误差在泰勒展开使其局部截断误差达到最高阶或者预订的阶。方法：（2）基于泰勒展开的待定系数法将其局部截断误差在泰勒展开使其局部截断误差达到最