《1平方根与开平方》案例

《平方根与开平方》教学案例教学目标：1、掌握平方根与算术平方根的概念，能及时通过平方运算求一个非负数的平方根及算术平方根，理解平方与开放为互逆运算，学会用计算器求一个正数的平方根或平方根的近似值；2、培养学生观察、比较、分析、归纳的能力，渗透分类讨论和逐步逼近的思想；3、鼓励学生积极主动地参与整个教学活动，激发学生的求知欲望，培养学生用数学的目光看生活的能力；教学重难点：平方根与算术平方根的概念和性质，区别与联系；两个概念容易引起学生理解上的偏差和意义上的混淆；教学准备：多媒体课件、实物投影仪教学过程(需2课时完成)：教学过程教学内容教师活动学生活动设计说明一、温故知新，导入新课。复习巩固2．导入新课想一想，看谁最聪明：1）2的平方如何来表示？等于多少？2的平方可以写成；=4 2）抢答：11，12，13，14，15，16，17，18，19，20的平方分别为多少？21321图（2）是边长为3cm的正方形，它的面积是﹍9﹍图（1）是面积为16的正方形，它的边长为﹍4﹍cm。思考（2）：小丽家有一个方桌，桌面是一个面积为64平方分米的正方形，你能告诉大家这个正方形的桌面的边长是多少分米？64平方分米64平方分米设：这个正方形的边长为x分米。根据已知条件得：到底是哪一个呢？因为桌面的边长不可能为负数，所以边长为8分米；乘方运算逆运算4²=（16）（±4）²=16（-4）²=(16)（0）²=0（不存在）²=-4板书：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根（squareroot），求一个数a的平方根的运算叫做开平方，a叫做被开方数。如果x²=a,则a是X的平方，X是a的平方根；例：4²=16，那16是4的平方，4是16的平方根，16称为被开方数。请学生回答。请学生不用计算器抢答，并给予鼓励；请学生观察思考并填空。教师请学生回答，并与学生一起思考得出结论；这些问题都是“已知一个数的平方，求这个数”让学生填空，并让学生寻找规律；启发学生概括，教师同时纠正，得出平方根的概念；1.思考、回答：2.观察、回答学生思考，回答；学生思考，并尝试操作，解决问题。学生填空，并寻找规律。（一对相反数的平方为同一个数）（0的平方为0）（不存在一个数的平方为负数）1，巩固以前知识，为新知识作铺垫；力求营造一个热烈的课堂气氛，让学生很快进入状态，锻炼学生的计算能力，培养学生的数感；2，让学生体验数学与现实生活息息相关，数学原自于生活。提高学生学习数学的兴趣；3，学生各自发表自己的观点和看法，教师不直接给出结论，通过教师的启发，引导，再加上补充与完善，充分体现了学生在学习中的主体地位。二、围绕问题展开探索研究。1．平方根的性质。2．平方根的表示3．平方根与算术平方根的引入；4．平方根与算术平方根的区别5.用计算器来求一个数的平方根或平方根的约数。想一想，看谁最聪明：什么数的平方等于4？4的平方根是多少？什么数的平方等于25？25的平方根是多少？什么数的平方等于0？0的平方根是多少？思考：负数有没有平方根？为什么？归纳：我们发现：一个数有正、负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零，负数没有平方根；板书：正的平方根对于正数a负的平方根-即正数a的平方根表示为±例1：求100的平方根。解：因为（±10）²=100所以100的平方根为±10即注：不能写成±表示正数a的平方根；表示正数a的算术平方根；例2：用符号表示下列各数的平方根：=1\*GB3①2=2\*GB3②=3\*GB3③分析：2和都不是一个整数的平方，但是它们的平方跟是存在的，我们用来表示。其中=3\*GB3③由平方根的意义：，那么例3：求下列各数的平方根：1）42）3）4)解：1）2）3）4）所以例4：填空我们发现：我们得到：当“”出来的都是大于等于零的数。正数的正的平方根和零的平方根统称为算术平方根。（1）9的算术平方根是__3_，9的平方根是_±3__.（2）5的算术平方根是___.（3）我们说表示的平方根，所以=±那么的正平方根。即(4)±2=0-104观察右图观察右图,每个小正方形的边长均为1,我们可以得到小正方形的面积为1.(1)图中阴影正方形的面积是多少?它的边长是多少?（2）估计的值在哪两个常数之间？探索：因为1²=1，2²=4，而1<2<4,所以1<<2利用计算器，我们依次计算,,……的平方的值。我们发现：从开始，每次增加,类似刚才的计算比较，你能发现什么规律么？运用计算器，我们能够得到我们发现这是一个无限不循环小数，我们只能求近似值，类似地，请大家求的近似值。我们知道：对于任意给定的一个正数a，都可以用计算器来求得它的正平方根，或者求正平方根的近似值。例5：利用计算器求值（近似值保留4位小数）=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④=5\*GB3⑤=6\*GB3⑥解：=1\*GB3①≈=2\*GB3②≈=3\*GB3③=21=4\*GB3④≈=5\*GB3⑤≈=6\*GB3⑥=254教师引导学生回答；教师启发学生回答。负数没有平方跟。任何数的平方都为正数。教师讲授，注重书写方法强调根据平方根的意义，可以用平方来检验一个数的平方根，不要遗漏。教师强调平方根的表示方法，指出任何一个正数都有两个平方根。请学生回答，教师纠正，板书；请学生填空并思考，得出什么结论？一个数平方的正平方根为这个数的本身；负平方根为这个数的相反数；根据意义，请学生填空。教师请学生回答请学生用计算器实验，教师巡视教师与学生共同讨论得出结论；教师启发学生回答，并板书；1）因为2²=4（-2）²=4，所以4的平方根为±22）±3)0²=0,0的相反数为0，所以0的平方根为0学生思考并回答。学生填空学生思考学生讨论学生思考回答学生填空并思考；（一对互为相反数的平方为同一个数）（任何一个数开出来以后都是正数）根据算术平方根和平方根意义的理解填空。学生思考并回答；学生分组实验，讨论，探索，并记录数据进行分析；制成表格。学生用计算器计算；学生练习。4，对新知识的巩固；为后面的思考作铺垫。5，对平方跟的意义强调。6，平方根的表示方法。7，用一道例题更直观的体现平方根的意义和表示方法；尝试反馈，巩固开平方运算；8，通过例题进一步巩固开平方与平方根的意义；直观地反映了数与符号的关系，为下面讲授平方根与算术平方跟的区别打下伏笔；9，通过学生自主学习与协作交流，掌握平方根与算术平方根之间的区别和联系，使学生的知识和能力得到进一步的巩固与提高。10，通过图形，形象直观地让学生感受到平方根的近似值是如何估计出来的，为求平方根的估计值建立了模型；在探索过程中渗透了“逐步逼近”的数学思想方法；通过用计算器求值及近似值计算，提高学生的运算能力和动手能力；体验现代科技产品迅速、精确的功能，激发学习知识的兴趣三、知识的巩固与拓展。练习1:判断下列各数有没有平方根？为什么？1）2）03）4)5)-646)7)8)练习2:说明下列各数的平方根和算术平方根；如果没有，请说明理由。81，-81，0，，-7²练习3：练一练：求下列各数的平方根的近似值（保留3位小数）=1\*GB3①8=2\*GB3②108=3\*GB3③=4\*GB3④1．教师投影练习1，请学生口答。其中=8\*GB3⑧需要讨论，=+1=+1≥1，为正数。教师巡视，投影学生作业，进行点评。1.判断、回答：①有，±4②有，0。③没有，小于0。④没有，小于0。=5\*GB3⑤没有，小于0。=6\*GB3⑥有，±10=7\*GB3⑦当a=0时=8\*GB3⑧有。回答±9，9无平方根0，0±7，7无平方根3．学生练习1还有≈还有-≈练习由易到难的编排关注所有学生。练习1、2是对基础知识的巩固，练习1中的7）8）小题需要讨论研究，让学有余力的学生能在这样的练习中体验数学学习的乐趣。练习3让学生利用计算器求平方根的近似值，其中要求学生保留小数，运用四舍五入的知识，还要考虑平方根呢有两个值不能漏掉，这里考察学生综合运用能力。四、课堂小结与评价本节课上同学们的表现都不错，特别是第几组表现尤为突出，发言非常积极。那本节课上同学们都有哪些收获呢？鼓励学生畅所欲言。学生思考，发言。让学生有足够的时间总结本节课的所学所悟理清思路。五、布置作业1，练习册2，补充作业：=1\*GB3①思考，一个证书a的两个平方根的和为多少？积为多少？=2\*GB3②=______________=3\*GB3③的整数部分是多少？小数部分可表示为多少？培养学生观察、分析、归纳能力。对学有余力的学生实施分层教学。教学设计说明与反思：在学习这一节内容以前，学生已经学习了有理数、有理数的乘方、字母表示数、无理数等知识，这些知识为过渡到本节起着铺垫作用。本节主要学习平方根和算术平方根的概念和性质，在运算方面，引入了开放运算，是代数运算得以完善，次节内容是对前面所学知识的深化和发展，也是今后学习二次根式的预备知识。所以本节内容处于非常重要的地位，起着承前启后的作用。本节课的重点是平方跟与算术平方根的概念和性质，因为平方跟与算术平方根始终贯穿着本章，正确理解这两个概念是学好本章的关键；本节课的难点是平方根与算术平方根的区别和联系，因为平方跟与算术平方根这两个概念容易引起学生理解上的偏差和意义上的混淆，如果处理不当，会影响学生后面的学习。对学生而言，开平方运算和平方根不易理解的最大原因是：它不同于其它任何一种已经学过的数学运算.目前为止，学生学过的五种运算都有唯一的运算法则和运算结果，对不同的数不需要讨论运用不同的运算方法；但求一个数的平方根时，首先要根据已知数的正负性选择不同的运算性质，而且每种数有不同的运算结果：正数的平方根有两个，且互为相反数，而0的平方根只有一个：0；负数没有平方根.因此在教学时，应该让学生充分理解平方运算和开平方运算的互逆关系，根据平方运算结果的非负性自然地理解并接受平方根的意义和运算性质.建议这里的教学可以多花一点时间，多举一些实例进行说明.在生活中，开平方运算不如其他运算运用广泛，对学生而言比较抽象而陌生，因此，体验开平方运算的实际意义和背景就非常必要了.本节课设计用与课本类似的实际问题引入新课，意在于此.但在课后学生出现的最大问题是：求正数的平方根时往往漏掉负的一个，本人认为与课堂引入问题的结果只保留了正的一个有部分关系.因此，建议在课堂引入时，可以采用纯数学问题：“如果一个数的平方等于64，这个数是多少？”在平方根概念中隐含了分类讨论数学思想，在教学中应该加以渗透，从而培养思维的严密性，在课堂练习时也可以适当补充类似的问题，加深对概念的理解.要理解公式“=∣a∣”和“（±）2=a”超出了学生的思维发展水平，因此我在教学时的处理方式是：（1）用大量的具体数字的运算结果推出结论并加深印象，这是设问题拓展的原因，意在通过一正一负两种问题的反复比较，让学生产生≥0的印象，然后归纳出“=∣a∣”.（2）通过对“的意义和计算结果”的讨论，达到对“无意义”的理解，从而总结出“（±）2=a”成立的前提条件是：“a≥0”.二期课改的理念是面向所有学生，使人人都能获得必须的数学知识与技能，满足多样化学习的需要。本节课以学生发展为本，让学生亲身参与教学活动进行探索，以自己的体验获取知识与技能，设计很多活动激发学生的学习兴趣，积极投入地参与