借数学史之力解概念难点之疑

借数学史之力解概念难点之疑堂基于数学史的“弧度制”设计及感悟无锡市第六高级中学吴红宇 无锡市滨湖区教研中心王华民我们知道，数学概念是进行数学思维的基本单位，概念教学是数学教学的重要内容，必须十分重视.有的概念比较抽象、深奥，有的定义“像是帽子里跑出一只兔子”（波利亚语）很难想到，构成了学生学习的难点，而教师的一个重要作用就是帮助学生释疑解惑.高中数学新课标指出：“数学是人类文化的重要组成部分.数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展的趋势……”.今天教材中的数学概念并非凭空而来，大都有着各自产生的背景和发展演变的过程，其间凝聚着无数数学家们的心血和智慧.目前国内外对数学史与数学教育关系的研究成果不少，但由种种原因，能应用于日常教学的实效性案例不很多.以下透过一堂基于数学史的“弧度制”教学设计，谈谈笔者的一些感悟.【教材分析】弧度制是必修4第一章“三角函数”的第1节，在角概念推广后引入的，一般安排在高一上学期学习.应用弧度制，能使三角的有关计算大大简化；弧度的扇形模型体现了把线段与弧的度量单位统一的思想，它为理解“三角函数线”的概念做了很好的铺垫.用弧度来度量角，不仅数量简单，而且很易看清角与实数可建立一一对应的关系，为以后建立实数为自变量的三角函数扫清障碍，也是高等数学中三角函数的基础（自变量x一般都是弧度制）.本课的重点是弧度的概念和弧度制的意义，能正确地进行角度与弧度的换算.弧度的概念也是本课乃至本章的难点，有了角度制为何还要用弧度制？怎么想到用弧长与半径的比值来定义1弧度角，这是学生理解上的难点.笔者的设计理念在于，寻求古代研究三角的背景，适时渗透数学史，以缓解学生对于弧度制的认知困难.【设计片段】.回顾角度制问题1：1度角是如何定义的？生：规定周角的X为I度的角.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角360度制.师：通过上一节课，我们知道了古代巴比伦人是受“黄道12星座”和“春秋分日，太阳划过半个周天的轨迹，恰好等于180个太阳直径”的启发，把圆周定义为360份，每一份为1度.这是勤劳的古巴比伦人对天文学和几何学的重大贡献..为何要学习弧度制？问题2：用度作为角的单位是唯一的吗？你知道物体的质量有哪些单位？生：如鸡蛋、鱼肉论“斤”，钢铁产量用“吨”，中药以“克”计，金子用“盎司”计等.师：对于的角的度量单位也应视情况而不同，在军事上要求更精确的打击，需要单位更小一点；有的只需一个大致范围，可以粗略一点.今天我们一同来探索度量角的另一种单位.

问题3：你觉得还可以选择怎样的单位能度量一个角的大小？（让学生带着悬念）.数学史介绍与欣赏师：谈起三角的历史，不能不介绍一位十八世纪最伟大的数学家一一欧拉！3.1欣赏大数学家欧拉（教师投影）欧拉（EulerLeonhard，1707—1783）,瑞士数学家和自然科学家.出生于牧师家庭，自幼受父亲教育，13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位.欧拉的父亲希望他学习神学，但他最感兴趣的是数学.上大学时，欧拉就受到约翰•伯努利的特别指导，专心研究数学，获得巴黎科学院奖金.1727年到俄国的彼得堡科学院从事研究工作，1731年成为物理学教授.欧拉是18世纪的数学巨星，他在微积分、微分几何、几何、数论、变分学等领域均做出了巨大贡献.欧拉不仅是一位杰出的数学家，而且是一位理论联系实际的巨匠.他善于把数学应用到实际之中，为俄国政府解决了很多科学难题.如菲诺运河的改造方案等.欧拉对人类数学教育和科学普及作出了巨大贡献.他编写的《无穷小分析引论》、《微分法》等产生了深远的影响.欧拉用德、俄、英文发表过大量的通俗文章和中小学教科书.欧拉创立了许多新的简化符号（sin、cos、f（x）、e等）被人们普遍采用，青年学生是直接受益者.欧拉有坚忍不拔的毅力.欧拉期望晚年还能出版几部高质量的著作留给后人.因工作劳累，欧拉的左眼又失明了.但欧拉用口授、别人记录的方法坚持写作，1768年、1770年《积分学原理》第一卷、第三卷相继出版；他口述写成《代数学完整引论》，成为欧洲几代人的教科书.然而圣彼得堡一场大火秧及欧拉的住宅，欧拉的大量藏书及研究成果都化为灰烬.但双目失明的欧拉仍然凭着坚强的意志和惊人的毅力，由长子记录，完整口授出几十年前的笔记内容，又发表了论文400多篇及多部专著.1783年9月18日下午，欧拉一边和小孙女逗着玩，一边思考着计算天王星的轨迹，突然，他从椅子上滑下来，嘴里轻声说：“我死了”.一位科学巨匠就这样停止了生命.欧拉辉煌的成就和惊人的毅力都是数学史乃至自然科学史上首屈一指的，他赢得世人的极度推崇，大数学家高斯曾说“研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法”.3.2介绍欧拉等前辈的创新想法一弧度制概念的雏形弧度制的背景：相传印度著名数学家阿利耶毗陀（476?—550?）就把某定圆的周长分成21600等份，相应地定圆的直径为3438分（即取圆周率兀=3.142）,是从圆周长与半径的关系上着手研究角.18世纪初，RogerCotes已经完全认识到这种度量角的方式的自然性及便利性.到了1748年，数学家欧拉在《无穷小分析概论》第八章中就提出了弧度制的思想.他认为，如果把半径作为1个单位长度，那么半圆的长就是n，所对圆心角的正弦是0.同理，1圆周的弧长为-,4 2此时的正弦为1.从而确立了用n、-分别表示半圆及1圆弧所对的中心角.其24它的角也可依此类推.这一思想就是将弧长与角的度量单位统一起来.

.循着欧拉的足迹探究，建构弧度制概念教师：我们不妨沿着大数学家欧拉的足迹，从他的研究成果出发进行探究.问题4：（1）如果半径为1个单位长度，那么半圆的长是万，弧长为万所对圆心角是多少度？（180°）；弧长为△所对圆心角是多少度?2（90°）；（2）你能计算出弧长为1所对圆心角是多少度吗？学生由比例关系，可得三二幽，所以x=（史0）.1x 九。问题5：如果半径为,，你能对上述成果进行推广码？学生同理可得类似结论：如果半径为r，那么半圆的弧长是nr，弧长为nr所对圆心角是180°，弧长为巴r所对圆心角是90°；弧长为r所对圆心角是（竺0）2 兀。心57.3°.也就是说，弧长等于半径r,它所对的圆心角为（竺0）心兀057.3°.弧度制定义一把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角.具体化：若弧长等于2倍半径长，则其圆心角为？若弧是一个半圆呢？圆心角a与弧长i的关系：|a=l,a的单位：弧度，用符号radr表示.几点说明：（1）角的大小与所取的半径没有关系.（2）以1弧度为度量角大小的单位，称为弧度制.弧度制与角度制两种方法在本质上没有差别，只不过是角度单位做了一次更换而已.⑶角度制与弧度制的互化：360度=2兀弧度，180度=n弧度，1度二—弧度，1弧度=（竺0）180 兀。ABA心57.3度.（4）角的概念推广以后，就可以在角的集合与实数集R之间建立了一一对应的关系：每一个角都对应唯一的实数；反过来，每一个实数也都对应唯一的角.4.4介绍“弧度”名称的由来ABA心57.3度.“弧度”的名称首次提出并出现在正式印刷物上是在1873年6月5日，该出版物是JamesThomason教授编著的一本数学考试问题集，首次使用了“弧度”一词，将“半径”（radius）的前四个字母与“角”值电。）的前两个字母合在一起，构成radian,并被广泛引用.我国学者曾把radian译成“光’（由“弧”与“径”两字的一部分拼成）.新中国成立以来，数学教科书中都把radian译作“弧度”，“弧度”的英文缩写为“rad”，读作弧度.现在人们习惯把弧度的单位省略.5.数学运用例1填写弧度、角度的换算表:角度制0°30°60°90°150°180°3

弧度制k2K3K5K3K2n例2在直角坐标系中表示出1rad、2rad、3rad、4rad、5rad、6rad终边的大致位置.例3(1)证明扇形的面积公式S=1r2a=ilr(其中a为扇形圆心角的弧度数，2 2a>0，l为扇形的弧长)，并与扇形角度制的面积公式相比，有什么感觉？(2)黄金扇之谜：要把一个半径为r的圆剪出一部分，作为一把扇子，把最好看的折扇叫做黄金扇.约定：只要剪出的扇形面积和剩余部分的面积比为黄金分割比0.618即可.同学们，你能通过计算、得出黄金扇的圆心角约为多少度吗？简解：(1)因1弧度的圆面积为巴2」r2，故a弧度的圆面积为2兀2S=r2a——1r.22它与角度制的扇形面积公式S=匕相比，形式要简洁得多！360(2)假设纸扇的圆心角为a，则剩余部分的圆心角为2k-a，则S:S=1r2a:1r2(2兀一a)—0.618,解得a—0.618(2k-a),1 2 2 2a。0.764冗。140，所以黄金扇的圆心角a约为140度.6.反思小结°1弧度的定义、弧度制(略)；弧度制的意义弧度制的意义就在于统一了度量弧与半径的单位，从而大大简化了有关公式及运算.(1)当下学习，采用弧度制，能为计算、表示带来很多便利，如扇形的弧长公式1=|水,扇形的面积为S-1次.用弧度制还可以很简便地求出弓形的面积.2(2)放眼未来，弧度制在高等数学中的优点就格外明显.弧度制孕育出重要极限；利用弧度制得不等式sinx4Vtanx，导出了导数、微分、积分等一系列完美的公式；在高等数学中，如不特别说明，有关三角函数的自变量c一律认为是以弧度为其单位.7.布置作业(1)课外写作：通过读欧拉的成长史，结合对弧度制的探索，你有何感想、体会？请记载下来(约500字).(2)课外阅读：关于n的一则趣闻(略).其它(略).【教学感悟】通篇设计以问题及探究为主线，以数学史融入为抓手，借力数学史，帮助学生理解知识，突破弧度制难点，在思维等方面得到发展.具体地，有以下几点感悟：.以史引趣、激情，介绍欧拉事迹，激发学生兴趣、树立学习榜样众所周知，兴趣是最好的老师，如何使“冰冷的美丽”(概念难点)转化为学生“火热的思考”？实践证明，利用数学史的历史性特点以及丰富多彩的趣闻轶事，将课程内容进行多样化展示，可以达此目标.本课介绍了数学巨星欧拉的成长史、奋斗史及弧度制的演变史，其一，利用学生对人物和故事的兴趣引发探究的兴趣，而探究的过程则可能使这种表层短暂的兴趣转化为较持久的对数学学习的兴趣；其二，让学生了解到欧拉不仅有很高的天赋和勤奋，还有乐于为人类服务的精神和坚忍不拔的毅力，尤其是大数学家的创新精神和丰硕成果，对于部分“尖子生”极具吸引力，对于喜欢追星族的现代学生，可望成为他们学习的楷模、仿效的样榜，产生正能量.其三，让学生了解人类文明的进程，对真理不断追求，能激发学习热情，产生积极向上的情态，这也是理想信念教育在数学学科渗透的难得素材..以史解疑、促思，循着欧拉足迹探究，培养学生思维能力和创新意识学生的认知起点是角度制，以此“固着点”，进行类比学习，有益于学习的迁移.在复习“1度角的定义”后，回顾古代巴比伦人受到什么启发定义的，是为学习弧度制在形式上和思路上做好铺垫；提出“用'度'作为角的单位是唯一的吗？”的问题，是让学生理解：“质量”单位的不唯一，“角”的度量单位也可能不唯一，并意识到学习弧度制是源于实际问题的需要，以增强学习的自觉性.提出问题3是为引发学生思考，让其带着疑惑、带着期盼学习新知，教师顺势介绍弧度制的背景，使学生的学习更投入、更有效.这样，在问题中融入数学史，能自然地解开学生“为何要学习弧度制”之结.对于弧度制的探索，从古代数学前辈阿利耶毗陀、RogerCotes到欧拉，经过几代数学家千年的不懈努力，达成了“将弧长与角的度量单位统一起来”的共识.教师通过弧度制产生背景的介绍，消除学生对“1弧度角”定义的陌生感.之后让学生循着大数学家的足迹探究，问题4是把欧拉的研究成果明确化、再追问，它是由数学史引发思考、获得灵感而进行的探究；问题5是对问题4的引申推广，从特殊化（半径为1）到一般化（半径为r），得出“半径为r，弧长为r所对圆心角的度数”结论，这样定义“1弧度”角，则水到渠成.可见，循着欧拉足迹探究，是帮助学生理解“1弧度角”的定义，突破弧度制难点的关键，这种破解难点的思路很自然.而且，探究过程已经得出弧度制与角度制的换算关系.因材施教，如果是面对层次较高的班级或一些“尖子生”，需要给他们提供更多发现创造的机会，可以把问题4和5合并为问题4：欧拉的创新想法对你有什么启示？能否从圆弧长与半径的比值，来定义一种新的角？让学生自我探究、合作讨论，他们可以类比“1度角”的定义，得出“1弧度角”的新的定义.因此，弧度制概念的建构实质上是基于数学史的探究性学习，它接近或还原数学发现和发展的过程，遵循科学研究的一般规律，符合学生的认知特点.其实，数学史上有大量的中外数学问题的原型，体现民族文化特色和思维特点的数学研究方法和重要结论.用好数学史，可以帮助学生回归、溯源、思考原始问题，从而促进学生思考.这对于培养学生的思