《全称量词与存在量词》试题库

《全称量词与存在量词》试题库1一、选择题1.(2013·太原模拟)已知命题p:∀x∈R,x>sinx,则p的否定形式为()(A)∃x0∈R,x0<sinx0 (B)∃x0∈R,x0≤sinx0(C)∀x∈R,x≤sinx (D)∀x∈R,x<sinx2．命题“∃(x,y),x,y∈R,2x+3y+3<0”(A)∃(x,y),x,y∈R,2x+3y+3>0(B)∃(x,y),x,y∈R,2x+3y+3≥0(C)∀(x,y),x,y∈R,2x+3y+3≥0(D)∀(x,y),x,y∈R,2x+3y+3>03．(2013·东营模拟)已知命题p是真命题，命题q是假命题，那么下列命题中是假命题的是()4.(2013·菏泽模拟)命题“∀x∈[1,2],x2-a≤0”(A)a≥4 (B)a≤4(C)a≥5 (D)a≤55.已知命题p1:函数y=2x-2-x在R上为增函数,p2:函数y=2x+2-x在R上为减函数,则在命题q1:p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:(p1)∨p2和q4:p1∧(p2)中,真命题是()(A)q1,q3 (B)q2,q3(C)q1,q4 (D)q2,q46.(2013·邯郸模拟)给出以下命题:①∃x0∈R,sinx0+cosx0>1;②∀x∈R,x2-x+1>0;③“x>1”是“|x|>1”的充分不必要条件.其中正确命题的个数是()(A)0 (B)1 (C)2 (D)37.给出下列四个命题:①∀α∈R,sinα+cosα>-1;②∃α∈R,sinα+cosα=;③∀α∈R,sinαcosα≤;④∃α∈R,sinαcosα=.其中正确命题的序号是()(A)①② (B)①③(C)③④ (D)②④8.下列四个命题p1:∃x0∈(0,+∞),p2:∃x0∈(0,1),p3:∀x∈(0,+∞),()x>;p4:∀x∈(0,),()x<.其中的真命题是()(A)p1,p3 (B)p1,p4(C)p2,p3 (D)p2,p49.(2013·南昌模拟)下列说法中,不正确的是()(A)命题p:∀x∈R,sinx≤1,则p:∃x0∈R,sinx0>1(B)在△ABC中,“A>30°”是“sinA>”的必要不充分条件(C)命题p:点(,0)为函数f(x)=tan(2x+)的一个对称中心;命题q:如果|a|=1,|b|=2,<a,b>=120°,那么b在a方向上的投影为1,则(p)∨(q)为真命题(D)命题“在△ABC中,若sinA=sinB,则△ABC为等腰三角形”的否命题为真命题10.(能力挑战题)已知命题P:关于x的方程x2-ax+4=0有实根;命题Q:关于x的函数y=2x2+ax+4在[3,+∞)上是增函数.若P或Q是真命题,P且Q是假命题,则实数a的取值范围是()(A)(-12,-4]∪[4,+∞) (B)[-12,-4]∪[4,+∞)(C)(-∞,-12)∪(-4,4) (D)[-12,+∞)11.(能力挑战题)给出下列说法:①命题“若α=,则sinα=”的否命题是假命题;②命题p:∃x0∈R,使sinx0>1,则p:∀x∈R,sinx≤1;③“=+2kπ(k∈Z)”是“函数y=sin(2x+)为偶函数”的充要条件;④命题p:∃x0∈(0,),使sinx0+cosx0=,命题q:在△ABC中,若sinA>sinB,则A>B,那么命题(p)∧q为真命题.其中正确的个数是()(A)4(B)3(C)2(D)1二、填空题12.(2013·日照模拟)命题“”的否定是_______.13.命题p:若函数f(x)=sin(2x-)+1,则f(+x)=f(-x);命题q:函数g(x)=sin2x+1可能是奇函数.则复合命题“p或q”“p且q”“非q”中真命题的个数为.14.(2013·黄冈模拟)设p:∃x0∈(1,)使函数g(x0)=log2(tx02+2x0-2)有意义,若p为假命题,则t的取值范围为.15.命题“末位数字是0或5的整数能被5整除”的否定是；它的否命题是．三、解答题16.(能力挑战题)已知命题p:方程2x2+ax-a2=0在［-1，1］上有解；命题q:只有一个实数x0满足不等式x02+2ax0+2a≤0,若命题“p∨q”是假命题，求a的取值范围.答案解析1.【解析】选B.命题中“∀”与“∃”相对,则p:∃x0∈R,x0≤sinx0.2.【解析】选C.∃(x,y)的否定是∀(x,y)，2x+3y+3<0的否定是2x+3y+3≥0，故选C.3.【解析】选C.由复合命题中的“且”命题的判断方法可知，当p，q中有一个是假命题时，p∧q是假命题，故选C.4.【解析】选C.满足命题“∀x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的实数a即为不等式x2-a≤0在[1,2]上恒成立的a的取值范围,即a≥x2在[1,2]上恒成立,即a≥【误区警示】这类题把“条件”放在选项中,即选项中的条件推出题干的结论,但题干中的结论推不出选项中的条件.本题容易分不清这种关系而致误.5.【解析】选C.方法一:函数y=2x-2-x是一个增函数与一个减函数的差,故函数y=2x-2-x在R上为增函数,p1是真命题;而对p2:y′=2xln2-ln2=ln2×(2x-),当x∈[0,+∞)时,2x≥,又ln2>0,所以y′≥0,函数单调递增;同理得当x∈(-∞,0)时,函数单调递减,故p2是假命题.由此可知,q1真,q2假,q3假,q4真.方法二:p1是真命题同方法一;由于2x+2-x≥=2,故函数y=2x+2-x在R上存在最小值,故这个函数一定不是R上的单调函数,故p2是假命题.由此可知,q1真,q2假,q3假,q4真.6.【解析】选D.由于sinx+cosx=sin(x+)∈[-,],所以一定存在实数x0使得sinx0+cosx0>1,命题①正确;由于x2-x+1=(x-)2+>0对任意实数x恒成立,故命题②正确;当x>1时,|x|>1一定成立,反之结论不真,故命题③正确.7.【思路点拨】根据三角恒等变换公式首先化简三角函数式,使用三角函数的有界性,然后根据命题是特称命题还是全称命题进行判断.【解析】选C.由于sinα+cosα=sin(α+)∈[-,],故命题①②均是假命题;由于sinαcosα=sin2α∈[-,],∈[-,],所以命题③④都是真命题.【变式备选】下列命题中是真命题的是()(A)∃x0∈R,使得sinx0cosx0=(B)∃x0∈(-∞,0),>1(C)∀x∈R,x2≥x+1(D)∀x∈(0,),tanx>sinx【解析】选D.当x∈(0,)时,0<cosx<1,0<sinx<1,∴>sinx,即tanx>sinx.8.【思路点拨】根据全称命题为真的情况使用指数函数、对数函数的性质进行判断.全称命题为假的情况只要找出反例,对特称命题为真的判断,只要找出一个值使命题为真,特称命题为假的判断结合函数性质进行.【解析】选D.根据指数函数的性质,对∀x∈(0,+∞),()x>()x,故命题p1是假命题;由于,故对∀x∈(0,1),,故∃x0∈(0,1),,命题p2是真命题;当x∈(0,)时,()x<1,>1,故()x>不成立,命题p3是假命题;∀x∈(0,),()x<1,>1,故()x<恒成立,命题p4是真命题.故选D.9.【解析】选D.根据含有量词命题的否定方法,选项A中的结论正确;在△ABC中,sinA>时,30°<A<150°,可得A>30°,但A>30°时未必sinA>,如A=150°>30°,此时sinA=,故选项B中的结论正确;当x=时,2x+=,故点(,0)是函数f(x)=tan(2x+)的对称中心,命题p是真命题,向量b在a方向上的投影为|b|cos120°=-1,命题q是假命题,此时(p)∨(q)为真命题,选项C中的结论正确;已知命题的否命题是“在△ABC中,若sinA≠sinB,则△ABC不是等腰三角形”,命题是假命题,如A=90°,B=C=45°,选项D中的说法不正确.10.【思路点拨】问题等价于命题P和Q一真一假,分类求解a的取值范围后求其并集即可.【解析】选C.命题P为真等价于Δ=a2-16≥0,解得a≤-4或a≥4;命题Q为真等价于-≤3,a≥或Q是真命题,P且Q是假命题,则命题P和Q一真一假.当P真Q假时a<-12;当Q真P假时-4<a<4.故所求a的取值范围是(-∞,-12)∪(-4,4).11.【解析】选B.①中命题的否命题是“若α≠,则sinα≠”这个命题是假命题,如α=时,sinα=,故说法①正确;根据对含有量词的命题否定的方法,说法②正确;说法③中函数y=sin(2x+)为偶函数⇔sin(-2x+)=sin(2x+)⇔cossin2x=0对任意x恒成立⇔cos=0⇔=kπ+(k∈Z),所以y=sin(2x+)为偶函数的充要条件是=kπ+(k∈Z),说法③不正确;当x∈(0,)时,恒有sinx+cosx>1,故命题p为假命题,p为真命题,根据正弦定理sinA>sinB⇔2RsinA>2RsinB⇔a>b⇔A>B,命题q为真命题,故(p)∧q为真命题,说法④正确.12.【解析】∵∴答案:13.【解析】代入易知命题p为真命题;g(0)=1≠0,故函数g(x)不是奇函数,命题q为假命题.所以“p或q”“非q”为真命题.答案:214.【解析】p为假命题,则p为真命题,不等式tx2+2x-2>0有属于(1,)的解,即t>有属于(1,)的解.又1<x<时,<<1,所以=2()2-∈[-,0).故t>-.答案:(-,+∞)【变式备选】命题“∃x0∈R,2x02-3ax0+9<0”为假命题,则实数a的取值范围是————.【解析】因为命题“∃x0∈R,2x02-3ax0+9<0”为假命题,所以“∀x∈R,2x2-3ax+9≥0”为真命题.∴Δ=9a2-4×2×9≤0,解得-2≤a≤2.答案:-2≤a≤215．【解析】如果把末位数字是0或5的整数集合记为M，则这个命题可以改写为“∀x∈M，x能被5整除”，因此这个命题的否定是“∃x0∈M，x0不能被5整除”，即“存在末位数字是0或5的整数不能被5整除”；这个命题的条件是“末位数是0或5的整数”，结论是“这样的数能被5整除”，故其否命题是“末位数字不是0且不是5的整数不能被5整除”．答案：存在末位数字是0或5的整数不能被5整除末位数字不是0且不是5的整数不能被5整除16.【解析】由2x2+ax-a2=0,得(2x-a)(x+a)=0,∴或x=-a,∴当命题p为真命题时,||≤1或|-a|≤1,∴|a|≤2.又“只有一个实数x0满足不等式x02+2ax0+2a≤0”即抛物线y=x2+2ax+2a与x轴只有一个交点,∴Δ=4a2-8a=0,∴a=0或a=2.∴当命题q为真命题时,a=0或a=2.∵命题“p∨q”为假命题，∴a>2或a<-2.即a的取值范围为a>2或a<-2.2(完成时间：15分钟)1.已知命题p：有的三角形是等边三角形，则()A．非p：有的三角形不是等边三角形B．非p：有的三角形是不等边三角形C．非p：所有的三角形都是等边三角形D．非p：所有的三角形都不是等边三角形2.若命题p：2n－1是奇数，q：2n＋1是偶数(n∈Z)，则下列说法中正确的是()A．p或q为真 B．p且q为真C．非p为真 D．非q为假3.(2014·福建)命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”A．∀x∈(0，＋∞)，x3＋x＜0B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0C．∃x0∈[0，＋∞)，xeq\o\al(3,0)＋x0＜0D．∃x0∈[0，＋∞)，xeq\o\al(3,0)＋x0≥0，q是两个简单命题，那么“p∧q是假命题”是“p∨q是假命题”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5.(2014·重庆)已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是()A．p∧qB．非p∧非qC．非p∧qD．p∧非q6.若命题“∃x∈R，有x2－mx－m<0”是假命题，则实数m7.分别指出下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“非p”形式的命题的真假．(1)p：6＜：6＝6；(2)p：梯形的对角线相等．q：梯形的对角线互相平分；(3)p：函数y＝x2＋x＋2的图像与x轴没有公共点．q：不等式x2＋x＋2＜0无解；(4)p：函数y＝cosx是周期函数．q：函数y＝cosx是奇函数．B级训练(完成时间：18分钟)1.[限时2分钟，达标是()否()]已知命题p：∃x∈R，使tanx＝1，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}，给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(非q)”是假命题；③命题“(非p)∨q”是真命题；④命题“(非p)∨(非q)”是假命题．其中正确的是()A．②③ B．①②④C．①③④D．①②③④2.[限时2分钟，达标是()否()]下列命题中的真命题是()A．∃x∈R，使得sinx＋cosx＝eq\f(3,2)B．∀x∈(0，＋∞)，ex>x＋1C．∃x∈(－∞，0)，2x<3xD．∀x∈(0，π)，sinx>cosx3.[限时3分钟，达标是()否()]给出如下四个命题：①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；②命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b③“∀x∈R，x2＋1≥1”的否定是“∃x∈R，x2＋1≤1④“x＞0”是“x＋eq\f(1,x)≥2”的充分必要条件．其中正确的命题个数是()A．4B．3C．2D．14.[限时3分钟，达标是()否()]给出如下几个结论：①命题“∃x∈R，cosx＋sinx＝2”的否定是“∃x∈R，cosx＋sinx≠2②命题“∃x∈R，cosx＋eq\f(1,sinx)≥2”的否定是“∀x∈R，cosx＋eq\f(1,sinx)<2”；③对于∀x∈(0，eq\f(π,2))，tanx＋eq\f(1,tanx)≥2；④∃x∈R，使sinx＋cosx＝eq\r(2).其中正确的为()A．③ B．③④C．②③④D．①②③④5.[限时3分钟，达标是()否()]下列结论：①若命题p：∃x∈R，tanx＝eq\f(\r(3),3)；命题q：∀x∈R，x2－x＋1>0.则命题“p∧(非q)”是假命题；②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是eq\f(a,b)＝－3；③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0其中正确结论的序号为①③.6.[限时5分钟，达标是()否()]已知c＞0，且c≠1，设p：函数y＝cx在R上单调递减；q：函数f(x)＝x2－2cx＋1在(eq\f(1,2)，＋∞)上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围．C级训练(完成时间：9分钟)1.[限时4分钟，达标是()否()]设命题p：非零向量a，b，|a|＝|b|是(a＋b)⊥(a－b)的充要条件；命题q：M为平面上一动点，A，B，C三点共线的充要条件是存在角α，使＝sin2α＋cos2α，则()A．p∧q为真命题B．p∨q为假命题C．(非p)∧q为假命题D．(非p)∨q为真命题2.[限时5分钟，达标是()否()]设集合A＝{(x，y)|(x－4)2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|(x－t)2＋(y－at＋2)2＝1}，如果命题“∃t∈R，A∩B≠∅”是真命题，则实数a的取值范围是__________________．第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词【A级训练】1．D解析：命题p：有的三角形是等边三角形，其中隐含着存在量词“有的”，所以对它的否定，应该改存在量词为全称量词“所有”，然后对结论进行否定，故有非p：所有的三角形都不是等边三角形，所以选D.2．A解析：由题设知：p真q假，故p或q为真命题．3．C解析：因为命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”是一个全称命题．所以其否定命题为：∃x0∈[0，＋∞)，xeq\o\al(3,0)＋x0＜0，故选C.4．B解析：若p∧q是假命题，则p，q可能都是假命题，也可能一真一假，所以p∨q可能是假命题，也可能是真命题，故条件不是充分的；若p∨q是假命题，则p，q都是假命题，所以p∧q是假命题，所以条件是必要的．5．D解析：根据指数函数的性质可知，对任意x∈R，总有2x＞0成立，即p为真命题；“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，即q为假命题，则p∧非6．[－4,0]解析：“∃x∈R，有x2－mx－m<0”是假命题，则“∀x∈R有x2－mx－m≥0”是真命题．即Δ＝m2＋4m≤0，所以－4≤7．解析：(1)因为p为假命题，q为真命题，所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，非p为真命题．(2)因为p为假命题，q为假命题，所以p∧q为假命题，p∨q为假命题，非p为真命题．(3)因为p为真命题，q为真命题，所以p∧q为真命题，p∨q为真命题，非p为假命题．(4)因为p为真命题，q为假命题，所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，非p为假命题．【B级训练】1．D解析：命题p：∃x∈R，使tanx＝1是真命题，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}也是真命题，所以①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(非q)”是假命题；③命题“(非p)∨q”是真命题；④命题“(非p)∨(非q)”是假命题．2．B解析：因为sinx＋cosx＝eq\r(2)sin(x＋eq\f(π,4))≤eq\r(2)＜eq\f(3,2)，故A错误；当x<0时，y＝2x的图像在y＝3x的图像上方，故C错误；因为x∈(0，eq\f(π,4))时有sinx<cosx，故D错误．所以选B.3．C解析：因为p、q有一个是假命题，“p且q”为假命题，所以①不正确；②命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b－1”，满足命题与否命题的概念，正确；③“∀x∈R，x2＋1≥1”的否定是“∃x∈R，x2＋1＜1”，不满足命题的否定，所以不正确；④“x＞0”是“x＋eq\f(1,x)≥2”的充分必要条件，x＞0⇒x＋eq\f(1,x)≥2，x＋eq\f(1,x)≥2⇒x＞0，所以④正确．正确命题的个数是2.4．C解析：根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，知①不正确，②正确；由基本不等式知③正确；由sinx＋cosx＝eq\r(2)sin(x＋eq\f(π,4))∈[－eq\r(2)，eq\r(2)]知④正确．5．①③解析：①中命题p为真命题，命题q为真命题，所以p∧(非q)为假命题，故①正确；②当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；③正确．所以正确结论的序号为①③.6．解析：因为函数y＝cx在R上单调递减，所以0＜c＜1，即p：0＜c＜1.因为c＞0且c≠1，所以非p：c＞1.又因为f(x)＝x2－2cx＋1在(eq\f(1,2)，＋∞)上为增函数，所以c≤eq\f(1,2)，即q：0＜c≤eq\f(1,2).因为c＞0且c≠1，所以非q：c＞eq\f(1,2)且c≠1.又因为“p或q”为真，“p且q”为假，所以p真q假或p假q真．①当p真q假时，{c|0＜c＜1}∩{c|c>eq\f(1,2)且c≠1}＝{c|eq\f(1,2)<c<1}；②当p假q真时，{c|c＞1}∩{c|0<c≤eq\f(1,2)}＝∅.综上所述，实数c的取值范围是{c|eq\f(1,2)<c<1}．【C级训练】1．C解析：由向量的几何意义以及菱形的性质可知p是真命题；由A、B、C三点共线的充要条件为＝t＋(1－t)，t∈R，而sin2α∈[0,1]，所以是必要不充分条件，故q是假命题．2．{a|0≤a≤eq\f(4,3)}解析：因为A＝{(x，y)|(x－4)2＋y2＝1}，表示平面坐标系中以M(4,0)为圆心，半径为1的圆，B＝{(x，y)|(x－t)2＋(y－at＋2)2＝1}，表示以N(t，at－2)为圆心，半径为1的圆，且其圆心N在直线ax－y－2＝0上，如图．如果命题“∃t∈R，A∩B≠∅”是真命题，即两圆有公共点，则圆心M到直线ax－y－2＝0的距离不大于2，即eq\f(|4a－2|,\r(a2＋1))≤2，解得0≤a≤eq\f(4,3).所以实数a的取值范围是{a|0≤a≤eq\f(4,3)}．3课时目标1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义.2.会判定全称命题和特称命题的真假.3.能正确的对含有一个量词的命题进行否定.4.知道全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．1．全称量词和全称命题(1)短语“______________”“____________”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“______”表示，常见的全称量词还有“对一切”“对每一个”“任给”“所有的”等．(2)含有______________的命题，叫做全称命题．(3)全称命题：“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为____________．2．存在量词和特称命题(1)短语“______________”“________________”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“________”表示，常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等．(2)含有______________的命题，叫做特称命题．(3)特称命题：“存在M中的一个x0，有p(x0)成立”，可用符号简记为____________．3．含有一个量词的命题的否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：____________；(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定綈p：____________.4．命题的否定与否命题命题的否定只否定________，否命题既否定______，又否定________．一、选择题1．下列语句不是全称命题的是()A．任何一个实数乘以零都等于零B．自然数都是正整数C．高二(一)班绝大多数同学是团员D．每一个向量都有大小2．下列命题是特称命题的是()A．偶函数的图象关于y轴对称B．正四棱柱都是平行六面体C．不相交的两条直线是平行直线D．存在实数大于等于33．下列是全称命题且是真命题的是()A．∀x∈R，x2>0B．∀x∈Q，x2∈QC．∃x0∈Z，xeq\o\al(2,0)>1D．∀x，y∈R，x2＋y2>04．下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是()A．斜三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x0，使xeq\o\al(2,0)>0C．任一无理数的平方必是无理数D．存在一个负数x0，使eq\f(1,x0)>25．已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则()A．綈p：∃x0∈R，sinx0≥1B．綈p：∀x∈R，sinx≥1C．綈p：∃x0∈R，sinx0>1D．綈p：∀x∈R，sinx>16．“存在整数m0，n0，使得meq\o\al(2,0)＝neq\o\al(2,0)＋2011”的否定是()A．任意整数m，n，使得m2＝n2＋2011B．存在整数m0，n0，使得meq\o\al(2,0)≠neq\o\al(2,0)＋2011C．任意整数m，n，使得m2≠n2＋2011D．以上都不对题号123456答案二、填空题7．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“∃”或“∀”可表述为________________．8．写出命题：“对任意实数m，关于x的方程x2＋x＋m＝0有实根”的否定为：____________________________________________________________________.9．下列四个命题：①∀x∈R，x2＋2x＋3>0；②若命题“p∧q”为真命题，则命题p、q都是真命题；③若p是綈q的充分而不必要条件，则綈p是q的必要而不充分条件．其中真命题的序号为________．(将符合条件的命题序号全填上)三、解答题10．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假．(1)若a>0，且a≠1，则对任意实数x，ax>0.(2)对任意实数x1，x2，若x1<x2，则tanx1<tanx2.(3)∃T0∈R，使|sin(x＋T0)|＝|sinx|.(4)∃x0∈R，使xeq\o\al(2,0)＋1<0.11．写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)有些质数是奇数；(2)所有二次函数的图象都开口向上；(3)∃x0∈Q，xeq\o\al(2,0)＝5；(4)不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根．能力提升12．命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是____________________________．13．给出两个命题：命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅，命题乙：函数y＝(2a2－a)x分别求出符合下列条件的实数a的范围．(1)甲、乙至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．1．判定一个命题是全称命题还是特称命题时，主要方法是看命题中是否含有全称量词或存在量词，要注意的是有些全称命题中并不含有全称量词，这时我们就要根据命题所涉及的意义去判断．2．要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立；但要判定一个全称命题是假命题，却只需找出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是我们常说的“举出一个反例”)．要判定一个特称命题为真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使得p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．3．全称命题的否定，其模式是固定的，即相应的全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词．具有性质p变为具有性质綈p.全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．答案知识梳理1．(1)对所有的对任意一个∀(2)全称量词(3)∀x∈M，p(x)2．(1)存在一个至少有一个∃(2)存在量词(3)∃x0∈M，p(x0)3．(1)∃x0∈M，綈p(x0)(2)∀x∈M，綈p(x)4．结论结论条件作业设计1．C[“高二(一)班绝大多数同学是团员”，即“高二(一)班有的同学不是团员”，是特称命题．]2．D[“存在”是存在量词．]3．B[A、B、D中命题均为全称命题，但A、D中命题是假命题．]4．B5．C[全称命题的否定是特称命题，应含存在量词．]6．C[特称命题的否定是全称命题，应含全称量词．]7．∃x0<0，使(1＋x0)(1－9x0)>08．存在实数m，关于x的方程x2＋x＋m＝0没有实根9．①②③10．解(1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题．(1)∵ax>0(a>0，a≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题．(2)存在x1＝0，x2＝π，x1<x2，但tan0＝tanπ，∴命题(2)是假命题．(3)y＝|sinx|是周期函数，π就是它的一个周期，∴命题(3)是真命题．(4)对任意x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋1>0，∴命题(4)是假命题．11．解(1)“有些质数是奇数”是特称命题，其否定为“所有质数都不是奇数”，假命题．(2)“所有二次函数的图像都开口向上”是全称命题，其否定为“有些二次函数的图象不是开口向上”，真命题．(3)“∃x0∈Q，xeq\o\al(2,0)＝5”是特称命题，其否定为“∀x∈Q，x2≠5”，真命题．(4)“不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根”是全称命题，其否定为“存在实数m，使得方程x2＋2x－m＝0没有实数根”，真命题．12．存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3解析全称命题的否定是特称命题，全称量词“任何”改为存在量词“存在”，并把结论否定．13．解甲命题为真时，Δ＝(a－1)2－4a2即a>eq\f(1,3)或a<－1.乙命题为真时，2a2－a>1，即a>1或a<－eq\f(1,2).(1)甲、乙至少有一个是真命题时，即上面两个范围取并集，∴a的取值范围是{a|a<－eq\f(1,2)或a>eq\f(1,3)}．(2)甲、乙有且只有一个是真命题，有两种情况：甲真乙假时，eq\f(1,3)<a≤1，甲假乙真时，－1≤a<－eq\f(1,2)，∴甲、乙中有且只有一个真命题时a的取值范围为{a|eq\f(1,3)<a≤1或－1≤a<－eq\f(1,2)}．41.(2010·山东日照质检)命题“∀x>0，x2＋x>0”的否定是()A．∃x>0，使得x2＋x>0B．∃x>0，x2＋x≤0C．∀x>0，都有x2＋x≤0D．∀x≤0，都有x2＋x>0答案B2．(2010·北京东城区期末)下列四个命题中的真命题为()A．∃x0∈Z,1<4x0<3B．∃x0∈Z,5x0＋1＝0C．∀x∈R，x2－1＝0D．∀x∈R，x2＋x＋2>0答案D3．(2010·福建高二质检)已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则()A．非p：∃x∈R，sinx≥1B．非p：∀x∈R，sinx≥1C．非p：∃x∈R，sinx>1D．非p：∀x∈R，sinx>1答案C4．命题“存在点P(x0，y0)，使xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)－1≤0成立”的否定是()A．不存在点P(x0，y0)，使xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)－1>0成立B．存在点P(x0，y0)，使xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)－1>0成立C．对任意的点P(x0，y0)，使x2＋y2－1>0成立D．对任意的点P(x0，y0)，使x2＋y2－1<0成立答案C5．给出下列四个命题：①p：∀x∈R，有x4>x2；②q：∃α∈R，使sin3α＝3sinα；③r：∃x∈R，使得|x＋1|≤1且x2>4；④s：∀φ∈R，函数y＝sin(2x＋φ)都不是偶函数．以上命题的否定为真命题的序号是()A．①②③ B．①③④C．②③ D．①③解析①x＝1时，x4＝x2，∴p是假命题，非p是真命题．②当α＝0时，sin(3×0)＝3sin0，∴q为真命题，非q为假命题．③由|x＋1|≤1，得－2≤x≤0，由x2>4，得x>2，或x<－2，命题r是假命题，非r为真命题．④当φ＝eq\f(π,2)时，函数y＝sin(2x＋eq\f(π,2))是偶函数，故s为真命题，非s为假命题．答案D6．已知命题p：∀x∈R，x2≥0，则非p：________.答案∃x∈R，x2<07．已知命题：“存在x∈[1,2]，使x2＋2x＋a≥0”为真命题，则a的取值范围是________．答案[－8，＋∞)8．(2010·福建莆田月考)下列命题是真命题的是________．①命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”；②若命题p：∃x∈R，x2＋x＋1＝0，则非p为∀x∈R，x2＋x＋1≠0；③全称命题“∀x∈R，x2是有理数”是真命题；④∃α，β∈R，使sin(α＋β)＝sinα＋sinβ.答案①②④9．写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p：∃x0，y0∈Z，使得eq\r(2)x0＋y0＝3；(2)q：∀x∈R，x2＋x－4>0.解(1)非p：∀x，y∈Z，eq\r(2)x＋y≠3，当x＝0，y＝3时，eq\r(2)x＋y＝3，因此非p是假命题．(2)非q：∃x∈R，x2＋x－4≤0，当x＝0时，x2＋x－4＝－4≤0，因此非q是真命题．10．(2010·湖南长沙月考)已知函数f(x)＝2x2－2ax＋b，f(－1)＝－8.对∀x∈R，都有f(x)≥f(－1)成立，记集合A＝{x|f(x)>0}，B＝{x||x－t|≤1}．(1)当t＝1时，求(eq\a\vs4\al(∁R)A)∪B；(2)设命题p：A∩B≠∅，若非p为真命题，求实数t的取值范围．解由题意(－1，－8)为二次函数的顶点，∴f(x)＝2(x＋1)2－8＝2(x2＋2x－3)．A＝{x|x<－3，或x>1}．(1)B＝{x||x－1|≤1}＝{x|0≤x≤2}．∴(eq\a\vs4\al(∁R)A)∪B＝{x|－3≤x≤1}∪{x|0≤x≤2}＝{x|－3≤x≤2}．(2)B＝{x|t－1≤x≤t＋1}．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t－1≥－3，,t＋1≤1，))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t≥－2，,t≤0.))∴实数t的取值范围是[－2,0].感悟高考(2010·安徽)命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________．解析特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词．答案对任意x∈R，都有x2＋2x＋5≠05一、选择题1．下列命题中，全称命题的个数为()①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形，它的四条边不相等．A．0 B．1C．2 D．3[答案]C[解析]①②是全称命题，③是特称命题．2．下列特称命题中真命题的个数是()①∃x∈R，x≤0；②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；③∃x∈{x|x是整数}，x2是整数．A．0 B．1C．2 D．3[答案]D[解析]①②③都是真命题．3．以下量词“所有”“任何”“一切”“有的”“有些”“有一个”“至少”中是存在量词的有()A．2个 B．3个C．4个 D．5个[答案]C[解析]“有的”“有些”“有一个”“至少”都是存在量词．4．下列命题：①至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立②对任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立③对任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立④存在x使得x2＋2x＋1＝0成立其中是全称命题的有()A．1个 B．2个C．3个 D．0个[答案]B[解析]②③含有全称量词，所以是全称命题．5．下列命题中，真命题是()A．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数B．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数C．∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数D．∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数[答案]A[解析]显然当m＝0时，f(x)＝x2为偶函数，故选A．6．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是()A．存在一个角α，使得tan(90°－α)＝tanαB．存在实数x0，使得sinx0＝eq\f(π,2)C．对一切α，sin(180°－α)＝sinαD．sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ[答案]A[解析]∵α＝45°时，tan(90°－45°)＝tan45°，∴A为真命题，且为特称命题，故选A．B中对∀x∈R，有sinx≤1<eq\f(π,2)；C、D都是全称命题．二、填空题7．(2015·北京四中质量检测)已知函数f(x)＝x2＋mx＋1，若命题“∃x0>0，f(x0)<0”为真，则m的取值范围是__________________.[答案](－∞，－2)[解析]由条件知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(m,2)>0，,m2－4>0，))∴m<－2.8．下列命题中真命题为_______________，假命题为________________.①末位是0的整数，可以被2整除；②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；③有的实数是无限不循环小数；④有些三角形不是等腰三角形；⑤所有的菱形都是正方形[答案]①②③④⑤9．四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∃x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为__________________.[答案]0[解析]x2－3x＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，∴①为假命题．当且仅当x＝±eq\r(2)时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题，对∀x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题，4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④为假命题．∴①②③④均为假命题．三、解答题10.判断下列命题是否为全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假．(1)对任意实数α，有sin2α＋cos2α＝1；(2)存在一条直线，其斜率不存在；(3)对所有的实数a、b，方程ax＋b＝0都有唯一解；(4)存在实数x0，使得eq\f(1,x\o\al(2,0)－x0＋1)＝2.[解析](1)是全称命题，用符号表示为“∀α∈R，sin2x＋cos2α＝1”，是真命题．(2)是特称命题，用符号表示为“∃直线l，l的斜率不存在”，是真命题．(3)是全称命题，用符号表示为“∀a、b∈R，方程ax＋b＝0都有唯一解”，是假命题．(4)是特称命题，用符号表示为“∃x0∈R，eq\f(1,x\o\al(2,0)－x0＋1)＝2”，是假命题．一、选择题1．下列命题为特称命题的是()A．偶函数的图象关于y轴对称B．正四棱柱都是平行六面体C．不相交的两条直线是平行直线D．存在大于等于3的实数[答案]D[解析]选项A，B，C是全称命题，选项D含有存在量词．故选D．2．下列命题是真命题的是()A．∀x∈R，(x－eq\r(2))2>0 B．∀x∈Q，x2>0C．∃x0∈Z,3x0＝812 D．∃x0∈R,3xeq\o\al(2,0)－4＝6x0[答案]D[解析]A中当x＝eq\r(2)时不成立，B中由于0∈Q，故B不正确，C中满足3x0＝812的x0不是整数，故只有D正确．3．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是()A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使eq\f(1,x)>2[答案]B[解析]A，C为全称命题；对于B，当x＝0时，x2＝0≤0，正确；对于D，显然错误．4．下列命题中，真命题是()A．∃x0∈R，ex0≤0B．∀x∈R,2x>x2C．a＋b＝0的充要条件是eq\f(a,b)＝－1D．a>1，b>1是ab>1的充分条件[答案]D二、填空题5．下列特称命题是真命题的序号是_______________.①有些不相似的三角形面积相等；②存在一实数x0，使xeq\o\al(2,0)＋x0＋1<0；③存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大；④有一个实数的倒数是它本身．[答案]①③④[解析]①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似；②中对任意x∈R，x2＋x＋1＝(x＋eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)>0，所以不存在实数x0，使xeq\o\al(2,0)＋x0＋1<0，故②为假命题；③中当实数a大于0时，结论成立，为真命题；④中如1的倒数是它本身，为真命题，故选①③④.6．给出下列语句：①所有的偶数都是素数；②有些二次函数的图像不过坐标原点；③|x－1|<2；④对任意的实数x>5，都有x>3.其中是全称命题的是________________.(填序号)[答案]①④[解析]②是特称命题；③不是命题．三、解答题7．指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假：(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)，都对应一点P；(2)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数；(3)每一条线段的长度都能用正有理数表示；(4)存在一个实数，使等式x2＋x＋8＝0成立．[解析](1)全称命题，真命题；(2)特称命题，真命题；(3)全称命题，假命题；(4)特称命题，假命题．8．判断下列命题的真假：(1)任给x∈Q，eq\f(1,3)x2＋eq\f(1,2)x＋1是有理数；(2)存在α、β∈R，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ；(3)存在x、y∈Z,3x－2y＝10；(4)任给a、b∈R，方程ax＋b＝0恰有一个解．[解析](1)∵x∈Q，∴eq\f(1,3)x2与eq\f(1,2)x均为有理数，从而eq\f(1,3)x2＋eq\f(1,2)x＋1是有理数，∴(1)真；(2)当α＝0，β＝eq\f(π,3)时，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立，∴(2)真；(3)当x＝4，y＝1时，3x－2y＝10，∴(3)真；(4)当a＝0，b＝1时，0x＋1＝0无解，∴(4)假．6一、选择题1．(2012年辽宁鞍山五模)命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0C．存在x∈R，x3－x2＋1>0D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0解析：全称命题的否定是特称命题．答案：C2．给出两个命题：p：|x|＝x的充要条件是x为正实数；q：奇函数的图像一定关于原点对称，则下列命题是假命题的是 ()A．p∧q B．p∨qC．非p∧q D．非p∨q解析：p假q真，故选A.答案：A3．(2012年北京东城二模)下列命题中，真命题是 ()A．∀x∈R，－x2－1<0 B．∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋x0＝－1C．∀x∈R，x2－x＋eq\f(1,4)>0 D．∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2x0＋2<0解析：本题考查对特称命题与全称命题真假的判断．要判定一个全称命题为真，必须对限定集合M中的每一个x验证p(x)成立，要判定一个全称命题为假，只需举出一个反例即可；存在性命题的真假判定要在限定集合M中，能找到一个x＝x0，使q(x0)成立即可，否则这一命题为假．对于A选项：∀x∈R，－x2－1<0恒成立，A正确；对于B选项：∵x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0恒成立，∴不存在x0∈R，使xeq\o\al(2,0)＋x0＝－1，B错误；对于C选项：∵x2－x＋eq\f(1,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2，存在x0＝eq\f(1,2)，使xeq\o\al(2,0)－x0＋eq\f(1,4)＝0，C错误；对于D选项：y＝x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>1，D错误．答案：A4．(2012年山西四校联考)已知命题p：∃x∈R，x2＋1<2x；命题q：若mx2－mx－1<0恒成立，则－4<m<0，那么 ()A．“非p”是假命题 B．q是真命题C．“p或q”为假命题 D．“p且q”为真命题解析：因为x2＋1<2x，即x2－2x＋1<0，也即(x－1)2<0，所以命题p为假；若mx2－mx－1<0恒成立，则须m＝0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0，,Δ＝m2＋4m<0，))则－4<m≤0，所以命题q为假，故选C.答案：C5．(2012年安徽安庆月考)下列有关命题的说法正确的是 ()A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要而不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“∀x∈R，均有x2＋x＋1<0”D．命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为真命题解析：对于A，注意到一个命题的否命题是将其题设与结论分别进行否定所形成的新命题，命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题是“若x2≠1，则x≠1”，因此A不正确．对于B，当x＝－1时，x2－5x－6＝0，因此“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分条件，B不正确．对于C，命题“∃x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0”，因此C不正确．对于D，由于命题“若x＝y，则sinx＝siny”是真命题，因此其逆否命题也是真命题(注：互为逆否的两个命题的真假性一致)，D正确．综上所述，选D.答案：D6．(2012年河北正定中学高三第2次月考)“非空集合M不是P的子集”的充要条件是 ()A．∀x∈M，x∉PB．∀x∈P，x∈MC．∃x1∈M，x1∈P又∃x2∈M，x2∉PD．∃x0∈M，x0∉P解析：由子集的定义可知∀x∈M，x∈P，故其否定为答案D.答案：D二、填空题7．“若a∉M或a∉P，则a∉M∩P”的逆否命题是________．解析：命题“若p则q”的逆否命题是“若非q则非p”，本题中“a∉M或a∉P”的否定是“a∈M且a∈P”．答案：若a∈M∩P，则a∈M且a∈P8．(2012年扬州月考)若命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”是假命题，则实数a的取值范围是________．解析：命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”是假命题，则“∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0”是真命题，所以Δ＝(a－1)2－4≤0，解得－1≤a≤3.答案：[－1,3]9．已知下列命题：①命题“∃x∈R，x2＋1>3x”的否定是“∀x∈R，x2＋1<3x”；②已知p，q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“(非p)∧(非q)为真命题”；③“a>2”是“a>5”的充分不必要条件；④“若xy＝0，则x＝0且y＝0”的逆否命题为真命题．其中所有真命题的序号是________．解析：命题“∃x∈R，x2＋1>3x”的否定是“∀x∈R，x2＋1≤3x”，故①错；“p∨q”为假命题说明p假q假，则(非p)∧(非q)为真命题，故②正确；a>5⇒a>2，但a>2⇒/a>5，故“a>2”是“a>5”的必要不充分条件，故③错；因为“若xy＝0，则x＝0或y＝0”，所以原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错．答案：②三、解答题10．写出下列命题的否定，并判断真假．(1)∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)－4＝0；(2)∀T＝2kπ(k∈Z)，sin(x＋T)＝sinx；(3)集合A是集合A∪B或A∩B的子集；(4)a，b是异面直线，∃A∈a，B∈b，使AB⊥a，AB⊥b.解：它们的否定及其真假分别为：(1)∀x∈R，x2－4≠0(假命题)．(2)∃T0＝2kπ(k∈Z)，sin(x＋T0)≠sinx(假命题)．(3)存在集合A既不是集合A∪B的子集，也不是A∩B的子集(假命题)．(4)a，b是异面直线，∀A∈a，B∈b，有AB既不垂直于a，也不垂直于b(假命题)．11．已知c>0，且c≠1，设p：函数y＝cx在R上递减；q：函数f(x)＝x2－2cx－1在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围．解：若p为真，则0<c<1；若q为真，则二次函数的对称轴x＝c在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))的左侧，即c≤eq\f(1,2).因为“p且q”为假，“p或q”为真，所以“p真q假”或“p假q真”，当“p真q假”时，c的取值范围为{c|eq\f(1,2)<c<1}；当“p假q真”时，c无解．所以实数c的取值范围为{c|eq\f(1,2)<c<1}．12．(2012年湖南湘西联考)已知命题p：方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解：命题q：只有一个实数x0满足不等式xeq\o\al(2,0)＋2ax0＋2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．解：由2x2＋ax－a2＝0得(2x－a)(x＋a)＝0，∴x＝eq\f(a,2)或x＝－a，∴当命题p为真命题时，|eq\f(a,2)|≤1或|－a|≤1，∴|a|≤2.又“只有一个实数x0满足xeq\o\al(2,0)＋2ax0＋2a≤0”，即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或∴当命题q为真命题时，a＝0或a＝2.∴命题“p或q”为真命题时，|a|≤2.∵命题“p或q”为假命题，∴a>2或a<－2，即a的取值范围为{a|a>2或a<－2}．[热点预测]13．下列说法错误的是 ()A．如果命题“非p”与命题“p∨q”都是真命题，那么命题q一定是真命题B．命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”C．若命题：p：∃x∈R，x2－x＋1<0，则非p：∀x∈R，x2－x＋1≥0D．“sinθ＝eq\f(1,2)”是“θ＝30°”的充分不必要条件解析：A、B、C显然正确，D中，由“θ＝30°⇒sinθ＝eq\f(1,2)”，但由“sinθ＝eq\f(1,2)”不能得出“θ＝30°”，故选D.答案：D71．下列语句不是全称命题的是()A．模相等的向量是相等向量B．共线向量所在直线共线C．在平面向量中，有些向量是共线向量D．每一个向量都有大小解析：选C.根据全称命题的定义以及所含的量词可知，A、B、D为全称命题C，为特称命题．2．下列命题是特称命题的是()A．偶函数的图象关于y轴对称B．正四棱柱都是平行六面体C．不相交的两条直线是平行直线D．存在实数大于等于3解析：选D.由特称命题的定义以及含有的量词可知A、B、C是全称命题，D是特称命题．3．下列命题是真命题的是()A．∀x∈R，(x－eq\r(2))2>0B．∀x∈Q，x2>0C．∃x0∈Z,3x0＝812D．∃x0∈R,3xeq\o\al(2,0)－4＝6x0解析：选中当x＝eq\r(2)时不等式不成立，故不是真命题．B中当x＝0时，不等式不成立，故不是真命题．C中x0＝eq\f(812,3)∉Z，故也不是真命题．D中3xeq\o\al(2,0)－6x0－4＝0中Δ＝(－6)2＋12×4>0，方程有解，故是真命题．4．“∀x∈R，使3x>2”的否定是()A．∀x∈R，使3x<2B．∀x∈R，使3x≤2C．∃x0∈R，使3x0<2D．∃x0∈R，使3x0≤2解析：选D.由全称命题的否定是特称命题知选D.5．(2012·高考安徽卷)命题“存在实数x，使x>1”的否定是()A．对任意实数x，都有x>1B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤1解析：选C.特称命题的否定是全称命题，故选C.6．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“∃”或“∀”可表述为________．答案：∃x0<0，使得(1＋x0)(1－9x0)>07．用符号语言写出命题“∀a∈R，ax>0”的否定为________．解析：全称命题的否定写成特称命题．答案：∃a0∈R，aeq\o\al(x,0)≤08．命题“∃x∈R，x2＋ax＋1<0”为真命题，则实数a的取值范围是________．解析：若∃x∈R，x2＋ax＋1<0，则a2－4>0，即a<－2或a>2.答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)9．判断下列命题的真假．(1)∀x∈R，都有x2－x＋1>eq\f(1,2).(2)∃α，β，使cos(α－β)＝cosα－cosβ.(3)∀x，y∈N，都有x－y∈N.(4)∃x0，y0∈Z，使得eq\r(2)x0＋y0＝3.解：(1)真命题．∵x2－x＋1－eq\f(1,2)＝x2－x＋eq\f(1,2)＝(x－eq\f(1,2))2＋eq\f(1,4)≥eq\f(1,4)>0.∴x2－x＋1>eq\f(1,2)恒成立．(2)真命题．例如α＝eq\f(π,4)，β＝eq\f(π,2)，符合题意．(3)假命题．例如x＝1，y＝5，x－y＝－4∉N.(4)真命题．例如x0＝0，y0＝3符合题意．10．分别写出下列含有一个量词的命题的否定，并判断它们的真假：(1)所有矩形的对角线都相等；(2)有些实数的绝对值不是正数．解：(1)“所有矩形的对角线都相等”是全称命题，它是真命题．命题的否定为“有的矩形的对角线不相等”，这是特称命题，且是假命题．(2)“有些实数的绝对值不是正数”是特称命题，它是真命题．命题的否定为“任意实数的绝对值都是正数”，这是全称命题，且是假命题．1．(2012·高考辽宁卷)已知命题p：∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则綈p是()A．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0B．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0C．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0D．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0解析：选C.全称命题p：∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0的否定为：綈p：∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))·(x2－x1)<0.2．f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，∀x∈[－1,2]，∃x0∈[－1,2]，使f(x0)＝g(x1)，则a的取值范围是________．解析：由于函数g(x)在定义域[－1,2]内是任意取值的，且必存在x0∈[－1,2]使得g(x1)＝f(x0)，因此问题等价于函数g(x)的值域是函数f(x)值域的子集．函数f(x)的值域是[－1,3]，函数g(x)的值域是[2－a,2＋2a]，则有2－a≥－1且2＋2a≤3，即a≤eq\f(1,2)，又a>0，故a的取值范围是(0，eq\f(1,2)]．答案：(0，eq\f(1,2)]3．写出下列命题的否定，并判断真假．(1)p：一切分数都是有理数；(2)q：直线l垂直于平面α，则对任意l′⊂α，l⊥l′；(3)r：若an＝－2n＋10，则存在n∈N，使Sn<0.(Sn是{an}的前n项和)解：(1)綈p：存在一个分数不是有理数，假命题．(2)綈q：直线l垂直于平面α，则∃l′⊂α，l与l′不垂直，假命题．(3)綈r：若an＝－2n＋10，则∀n∈N，有Sn≥0，假命题．4．关于x的函数y＝x2－(a＋1)x＋2a对于任意a∈[－1,1]的值都有y>0，求实数x解：设f(a)＝x2－(a＋1)x＋2a，则有f(a)＝(2－x)a＋x2－x，a∈[－1,1]，∵a∈[－1,1]时，y＝f(a)>0恒成立，则(1)当x＝2时，f(a)＝2>0显然成立；(2)当x≠2时，由f(a)>0在a∈[－1,1]上恒成立，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1>0,f1>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2>0,x2－2x＋2>0，))解之得x>eq\r(2)或x<－eq\r(2).综上可得：x>eq\r(2)或x<－eq\r(2).81．将a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2改写成全称命题是()A．存在a，b∈R，使a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2B．存在a＜0，b＞0，使a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2C．存在a＞0，b＞0，有a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2D．所有a，b∈R，有a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2解析：选D.根据全称命题的一般形式为“所有x，有p(x)”．故全称命题是对所有a，b∈R，有a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.2．下列四个命题中的真命题为()A．∀x∈R，x2－1＝0B．∃x∈Z,3x－1＝0C．∀x∈R，x2＋1＞0D．∃x∈Z,1＜4x＜3解析：选C.若x2－1＝0，则x±1，A错误；若3x－1＝0，则x＝eq\f(1,3)∉Z，B错误；若1＜4x＜3，则eq\f(1,4)＜x＜eq\f(3,4)，D错误；x2＋1≥1＞0恒成立，故选C.3．下列特称命题是假命题的是()A．存在x∈Q，使2x－x3＝0B．存在x∈R，使x2＋x＋1＝0C．有的素数是偶数D．有的有理数没有倒数解析：选B.对于任意的x∈R，x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)＞0恒成立．4．(2012·高考辽宁卷)已知命题p：∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则﹁p是()A．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0B．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0C．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0D．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0解析：选C.命题p是一个全称命题，其否定为特称命题，﹁p：∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)＜0，故选C.5．若存在x0∈R，使axeq\o\al(2,0)＋2x0＋a＜0，则实数a的取值范围是()A．a＜1 B．a≤1C．－1＜a＜1 D．－1＜a≤1解析：选A.当a≤0时，显然存在x0∈R，使axeq\o\al(2,0)＋2x0＋a＜0.当a＞0时，需满足Δ＝4－4a2＞0，得－1＜a＜1，故0＜a＜1，综上所述，实数a的取值范围是a＜1.6．命题“对任意一个实数x，x2＋2x＋1都不小于零”用“∃”或“∀”符号表示为________．答案：∀x∈R，x2＋2x＋1≥07．下列命题，是全称命题的是________；是特称命题的是________．①正方形的四条边相等；②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．解析：①③是全称命题，②④是特称命题．答案：①③②④8．(2013·临汾质检)若∀x∈R，f(x)＝(a2－1)x是单调减函数，则a的取值范围是__________．解析：依题意有：0<a2－1<1⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－1>0,a2－1<1))⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<－1或a>1,－\r(2)<a<\r(2)))⇔－eq\r(2)<a<－1或1<a<eq\r(2).答案：(－eq\r(2)，－1)∪(1，eq\r(2))9．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并用量词符号“∀”、“∃”表示．(1)两个有理数之间，都有一个无理数；(2)有一个凸n边形，外角和等于180°；(3)存在一个三棱锥，使得它的每个侧面都是直角三角形．解：(1)全称命题：∀两个有理数之间，都有一个无理数．(2)特称命题：∃一个凸n边形，它的外角和等于180°.(3)特称命题：∃一个三棱锥，它的每个侧面都是直角三角形．10．若命题“∀x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a”是真命题，求实数a的取值范围．解：x2－2ax＋2≥a，即x2－2ax＋2－a≥0，令f(x)＝x2－2ax＋2－a，所以全称命题转化为∀x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥0恒成立，所以Δ≤0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4a2－42－a＞0,a＜－1,f－1≥0))，即－2≤a≤1或－3≤a＜－2.所以－3≤a≤1.综上，所求实数a的取值范围是[－3,1]．1．对下列命题的否定说法错误的是()A．p：能被2整除的数是偶数；﹁p：存在一个能被2整除的数不是偶数B．p：有些矩形是正方形；﹁p：所有的矩形都不是正方形C．p：有的三角形为正三角形；﹁p所有的三角形不都是正三角形D．p：∃x∈R，x2＋x＋2≤0；﹁p：∀x∈R，x2＋x＋2＞0解析：选C.“有的三角形为正三角形”为特称命题，其否定为全称命题；所有的三角形都不是正三角形，故选项C错误．2．设命题p：对一切x∈R，都有x2＋ax＋2＜0，若﹁p为真，则实数a的取值范围是________．解析：﹁p为真，又﹁p：∃x∈R，x2＋ax＋2≥0，而函数f(x)＝x2＋ax＋2开口向上，所以a∈R.答案：a∈R3．写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p：不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；(2)r：等圆的面积相等，周长相等；(3)s：对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.解：(1)这一命题可以表述为p：“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根”，其否定形式是﹁p：“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根”．注意到当Δ＝1＋4m＜0时，即m＜－eq\f(1,4)时，一元二次方程没有实数根，所以﹁p是真命题．(2)这一命题的否定形式是﹁r：“存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等”，由平面几何知识知﹁r是一个假命题．(3)这一命题的否定形式是﹁s：“存在α∈R，有sin2α＋cos2α≠1”．由于命题s是真命题，所以﹁s是假命题．4．已知函数f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在实数m0，使不等式m0＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成立，并说明理由．(2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)＞0成立，求实数m的取值范围．解：(1)不等式m0＋f(x)＞0可化为m0＞－f(x)，即m0＞－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m0＞－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m0＞－4即可．故存在实数m0使不等式m0＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成立，此时需m0＞－4.(2)不等式m－f(x)＞0可化为m＞f(x)，若存在一个实数x0使不等式m＞f(x0)成立，只需m＞f(x0)min.又f(x0)＝(x0－1)2＋4，所以f(x0)min＝4，所以m＞4.所以所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．9一、选择题（每小题５分，共20分）１．下列说法中，正确的个数是（）①存在一个实数，使；②所有的质数都是奇数；③斜率相等的两条直线都平行；④至少存在一个正整数，能被５和７整除。Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４２．下列命题中，是正确的全称命题的是（）Ａ．对任意的，都有；Ｂ．菱形的两条对角线相等；Ｃ．；Ｄ．对数函数在定义域上是单调函数。３．下列命题的否定不正确的是（）Ａ．存在偶数是７的倍数；Ｂ．在平面内存在一个三角形的内角和大于；Ｃ．所有一元二次方程在区间［－1，1］内都有近似解；Ｄ．存在两个向量的和的模小于这两个向量的模。4．命题；命题，下列结论正确地为（）Ａ．为真Ｂ．为真Ｃ．为假Ｄ．为真二、填空题（每小题4分，共16分）5．写出命题“每个函数都有奇偶性”的否定。6．全称命题的否定是。7．命题“存在实数，使得”，用符号表示为；此命题的否定是（用符号表示），是命题（添“真”或“假”）。8．给出下列4个命题：①；②矩形都不是梯形；③；④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1。其中全称命题是。三、解答题：（26分）9．（10分）已知二次函数，若在区间[0，1]内至少存在一个实数，使，则实数的取值范围是。10．（16分）判断下列命题的真假，并说明理由：（1），都有；（2），使；（3），都有；（4），使。四、一题多解题：（10分）11．写出命题“所有等比数列的前项和是（是公比）”的否定，并判断原命题否定的真假。五、学科综合题：（16分）12．写出下列各命题的否命题和命题的否定：（1），若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则是等比数列。六、推理论述题：（12分）13．设Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓ四人分比获得１——４等奖，已知：（１）若Ｐ得一等奖，则Ｑ得四等奖；（２）若Ｑ得三等奖，则Ｐ得四等奖；（３）Ｐ所得奖的等级高于Ｒ；（４）若Ｓ未得一等奖，则Ｐ得二等奖；（５）若Ｑ得二等奖，则Ｒ不是四等奖；（６）若Ｑ得一等奖，则Ｒ得二等奖。问Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓ分别获得几等奖？基础训练题答案一、选择题１．Ｃ点拨：①方程无实根；②２时质数，但不是奇数；③④正确。２．Ｄ点拨：Ａ中含有全称量词“任意”，因为；是假命题，Ｂ，Ｄ在叙述上没有全称量词，实际上是指“所有的”，菱形的对角线不相等；Ｃ是特称命题。3．A点拨：写出原命题的否定，注意对所含量词的否定。4．A点拨：原命题中都含有全称量词，即对所有的实数都有……。由此可以看出命题为假，命题为真，所以为真，为假。二、填空题5