八年级数学上册等腰三角形思维拓展

第4讲等腰三角形考点・方法"破译.等腰三角形及其性质有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形，因此它的性质有:⑴等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角）；⑵等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即等腰三角形三线合一）.等腰三角形的判定证明一个三角形是等腰三角形的基本方法是：⑴从定义入手，证明一个三角形有两条边相等；⑵从角入手，证明一个三角形有两个角相等，依据是等腰三角形判定定理；等角对等边..构造等腰三角形的常用方法⑴角平分线+平行线=等腰三角形 ⑵角平分线+垂线（或高）=等腰三角形⑶线段中垂线构造等腰三角形 ⑷将2倍角转化为相等角构造等腰三角形经典・考题・赏析【例1】 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为40°,则这个等腰三角形的底角为.【解法指导】若问题中涉及到三角形的高，则要分别考虑三角形的高是在三角形的外,三角形内的情况.解：如图1,当一腰上的高在三角形内时，ZACD=40\：.ZA=^（f如图2,当一腰上的高在三角形外时，NACD=40°,NDAC=50°：.ZB=ZACB=25\故填65°或25°.【变式题组】01.（呼和浩特）在等腰4ABe中，AB=ACf一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）

A.7 B.U C.7或LLD.7或1002.（黄冈）在ZM8c中，AB^AC,AB的垂直平分线与4C所在的直线相交所得到锐角为50。,则/B=度.03.（襄樊）在/ABC中，A8=AC=12cm,BC=6cm,D为8c的中点，动点P从B点出发，以每秒1cm的速度沿B玲A玲C的方向运动.设运动时间为t,那么当t=秒时,过。、P两点的直线将/A8c的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍.【例2】如图，在ZMBC中，48二47,点。在47上，4D=BD=80求/A的度数.【解法指导】图中的等腰三角形多，可利用等腰三角形的性质，用方程的思想求角的度数.解：设/A=x,•:BD=AD, ZA=ZABD=x,，/BDC=N4+ZABD=2x,，NC=N8DC=2X,VAB^AC,AZC=ZABC=2x,•二在△ABC中，ZA+ZABC+ZACB=180°Ax+2x+2x=180°,x=36°,AZA=36G.【变式题组】01.如图，在/ABC中,AB=AC,BD=BC,AD=DE=EB,求NA的度数.02.如瓯在446C中,AB=AC,BC=BD=ED=EA,求NA的大小.【例3】已知坐标原点。和点A（2,-2）,6是坐标轴上的一点.若,AO6是等腰三角形，则这样的点8一共有（ ）个A94 &5 C.6 。.8【解法指导】/AO8是等腰三角形，但不能确定哪条边是等腰三角形的底，因而要分三种情况进行说明①人。=0瓦②04=48,③m=8。,又・・・B是坐标轴上的点.要考虑x轴与V轴两种情况.解：①如图1,当04是底边时，8在OA的中垂线上，又8在坐标轴上，因而B是3中垂线与坐标轴的交点；②如图2,当OA为腰时，若。为顶点，则8在以。为圆心，。4为半径的圆上，又8在坐标轴上，因而B是圆与坐标轴的交点；③如图3,当8为腰时，若A为顶点，则B在以A为圆心，。4为半径的圆上，又B在坐标轴上，因而B是圆与坐标轴的交点.故选【变式题组】01.（海南竞赛试题）在平面直角坐标系xOy内，已知4（3,—3）,点P是y轴上一点，则使/AOP为等腰三角形的点P共有（ ）XL2个8.3个C.4个 D.5个02.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（1,0）,点B的坐标是（0,避），点C在坐标平面内.若以48、C为顶点构成的三角形是等腰三角形，且底角为30度，则满足第4题图第4题图03.（南昌）如图，已知长方形纸片A8CD,点E是48的中点，点G是8C上一点，ZBEG>60°,现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片中的点H处，连接4H,则与28EG相等的角的个数为（）03.A.4B.A.4B.3C.2D.1（例4（例4题图）04.（济南）如图所示，矩形488中，AB=4,8c点E是折线段4一。一（7上的一个在点E运动的过程中，使动点（点E与点4不重合），点P是点A关于在点E运动的过程中，使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有（）A.2个8.3个C.4个。・5个【例4】（枣庄）两个全等的含30。，60。角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，£,4C三点在一条直线上，连结8D,取BD的中点M,连结ME,MC.试判断△EMC的形状，并说明理由.［解法指导】判断/MEC为等腰直角三角形，M为直角顶

点，即想证/EMC=90。，而248。为等腰三角形，M是8D的中点，若连接AM则有/AMD=90。,因而只需证/DME=NAM。利用全等三角形即可.解：△EMC的形状是等腰直角三角形，理由如下：连接⑷/,由题意得：DE=AC,ZDAE-^ZBAC=90°.:.ZDAB=90°.又•：DM=MB,；.MA=、DB=DM,ZMAD=ZMAB^45°.2ZMDE=ZMAC=105°,ZDMA=90°.:./XEDM^/\CAM.;"DME=/AMC,EM=MC.又 =90。，:.ZEMA+ZAMC=90Q,CMA.EM.所以△ECM的形状是等腰直角三角形.【变式题组】01.如图，在等腰直角三角形48c中，P是斜边8c的中点，以P为直角顶点的两边分别与边A8、AC交于点£、F,当/EPF绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），/PE尸也始终是等腰三角形，请你说明理由.02.如图，在等腰三角形A8C中，ZACB=90°9。是BC的中点，DE_L4B垂足为E,过点B作8F〃4。交DE的延长线于点F,连接CF交4。于G.⑴求证：AD±CF;⑵连接AF,试判断/Ab的形状，并说明理由.AHAH03.如图，/ABC中，NACB=9O。，AC=BC,CO为中线.现将一直角三角板顶点放在点。上并绕点。旋转，若三角板的两直角边分别交AC、C8的延长线于点G、H.⑴试写出图中除AC=BC,OA=O8=OC外其他所有相等的线段；⑵请选一组你写出的相等线段给予证明，【例5】我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形.⑴请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；⑵如图，在△期。中，点D,E•分别在48,4c上，设CD既相交于点O,若/Z=60°,ZDCB=ZEBC=-ZA.请你写出图中一个与N2相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；⑶在△4C中，如果4是不等于60°的锐角，点。，£分别在NA2C上，且4DCB=/EBC='/A,探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论.【解法指导】证明两条线段相等时，若两条线段在同一三角形中，可证明它们所对的角相等.若两条线段在不同的三角形中，则证它们所在的两个三角形全等，若三角形不全等,即可通过构造全等三角形或等腰三角形解决问题.解：⑴如：平行四边形、等腰梯形等⑵答：与相等的角是N8O。（或NCOE）,四边形O8C£是等对边四边形；⑶答：此时存在等对边四边形，是四边形。BCE A证法一：如图1,作CG_L8E于G点，作BF_LCD交CD延长线于F点.•：ZDCB=ZEBC=lZA,BC为公共边，:.△BC04CBG,:.BF=CG,•/NBDF=ZABE+ZEBC+NDCB,ZBEC=NABE+NA,:.NBDF=NBEG可证ABOF也△C£G,：.BD=CE・・・四边形DBCE是等边四边形.证法二：如图2,以C为顶点作/FCB=ND8C,CF交8E于F点.,IZDCB=ZEBC=；ZA,BC为公共边，AABDC^ACFBr：.BD=CF,NBDC=/CFB,：.NADC:/CFE)丁NADC=/DCB+ZFBC+NAB&/FEC=NA+/ABE,:./ADC=/FE3:./FEL/CFE,：.cf=ce7：.bd=ce,

.四边形DBCE是等边四边形.【变式题组】01.如图，在M8C中,ZB=2ZG4。为/84C的平分线.求证：AC=AB^-BD.02.（天津初赛试题）如图，在四边形488中，ZACB=ZBAD=105°,ZABC=^ADC=45°,若A8=2,求CO的长.03.如图，在A48C中，AB^AC,D在48上，F在4c延长线上，BD^CF.求证DE二EEB CB C【变式题组】01.（重庆）已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4,则这个等腰三角形顶角的度数为（）A.20° 8.120°C.20。或120°D.360°02.（云南）已知等腰三角形的两边分别为6和3,则此等腰三角形周长为（ ）49B.15C.15D.12或1503.（云南）如图，等腰A48c的周长为21,底边8c=5,48的垂直平分线DE交A8于点D,交AC于点E,则ASEC的周长为（ ）A.13B.14C.15D.1604.如图，C、£和8、0、F分别在NGAH的两边上，且A8=BC=CD=DE=EF,若NA=18。,

D.108°D.108°05.如图，R'BC中，CD是斜边4B上的高，角平分线AE交CD于H,EFL4B于F,则下列结论中不正确的是（ ）A.ZACD=ZBB.CH=CE=EFC.CH=HDD.AC=AF06.如图，M8c中，乙48c与/AC8的平分线交于点F,过点F作DE〃8c交A8于点。，交4c于点E那么下列结论：①A8DF和ACEF都是等腰三角形；®DE=BDA-CE;@AADEM周长等于48与AC的和；④BF=CF.其中正确的有（A.©©③B.©©③④ C,©@07.（武汉）如图，己知。是四边形ABCD内一点，OA=OB=OCf/A8C=/ADC=70。,贝叱DA。+NDCO的大小是（ ）A.70° 8.110°C.140°D.150°08.（滨州）己知等腰心8c的周长为10,若设腰长为X,则x的取值范围是.09.如图所示，在AABC中，已知4B=4C,NA=36。，8c=2,BO是AABC的角平分线，则AD=AD=.（威海）如图，AB=AC78。=8&若N4=40。，则/A80的度数是..（乌鲁木齐）在一次数学课上，王老师在黑板上画出图6,并写下了四个等式：①AB=DC,②BE=CE,③NB=NC,@ZBAE=ZCDE.要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出△应是等腰三角形.请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由.（写出一种即可）已知：求证：△血＞求证：△血＞是等腰三角形.证明:.（泰安）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B,C,E在同一条直线上，连结DC.（1请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）;（2片正明：DCLBE..（包头）如图，已知△Z3C中，月3=力。=10厘米，3c=8厘米，点。为44的中点.⑴如果点P在线段8c上以3厘米/秒的速度由8点向C点运动，同时，点Q在线段C4上由C点向A点运动.①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，ABPD与ACQP是否全等，请说明理由：②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△8PZ）与△CQP全等？⑵若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点6同时出发，都逆时针沿△45C三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△//（7的哪条边上相遇？角三角板DEF的直角顶点。放在4。的中点上（直角三角板的短直角边为。石，长直角边为OR）,将直角三角板。及'绕。点按逆时针方向旋转.⑴在图1中，DE交4B于M,DF交BC于N.①证明二ZW；②在这一旋转过程中，直角三角板。EF与△48C的重叠部分为四边形请说明四边形的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；⑵继续旋转至如图2的位置,延长NB交DE于M,延长交D产于N,DM=DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；⑶继续旋转至如图3的位置，延长FD交BC于N,延长ED交力B于M,DM=DN是否仍然成立？请写出结论，不用证明.01.如图，N84C与NCBE的平分线相交于点P,BE=BC」PB与CE交于点H,PG〃AD交BC于F,交于G,于F,交于G,下列结论：①以=GP;②5“届5必》="：48；③BP垂直平分CE：④FP=FC;其中正确的判断有（ ）D.只有①②③④02.如图，点A是5x5网格图形中的一个网格图形中的一个格点（小正方形的顶点），图中每个小正方形的边长为1，以A为其中的一个顶点，面积等于2.5的格点等腰直角三角形（三角形的三个顶点都是格点）的个数是（ ）A.1Q个B.12个C14个D.16个03.如图，在A4BC中，AB=8C,A4N=NAN8AA4=N/VAC,则NM4C=.04.如图，AA\B夕分别是NEAB、ND8c的平分线，若4T