高教五版高数(经济类)二阶常系数线性微分方程随堂讲义

30一月20231第三节二阶常系数线性微分方程

第八章一、线性微分方程解的结构四、小结与思考练习二、二阶常系数齐次线性微分方程的求解

三、二阶常系数非齐次线性微分方程求解

30一月20232一、二阶线性微分方程举例当重力与弹性力抵消时,物体处于平衡状态,例1

质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解:阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.设时刻

t

物位移为x(t).(1)自由振动情况.弹性恢复力物体所受的力有:(虎克定律)成正比,方向相反.建立位移满足的微分方程.30一月20233据牛顿第二定律得阻力即这就是在有阻尼的情况下，描述物体自由振动的方程。(2)强迫振动情况.若物体在运动过程中还受铅直外力则得强迫振动方程:30一月20234

可以看出，自由振动和强迫振动的微分方程都是二阶微分方程而且未知函数及其各阶导数都是一次幂的，我们把这种方程称为二阶线性微分方程。其一般形式可表示为n

阶线性微分方程的一般形式为时,称为非齐次的方程时,称为齐次的方程.30一月20235证毕二、线性微分方程解的结构是二阶线性齐次方程的两个解,也是该方程的解.证:代入方程左边,得(叠加原理)

定理130一月20236不一定是所给二阶方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解并不是通解但是则为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与线性无关概念.说明:30一月20237是定义在区间I

上的

n个函数,使得则称这

n个函数在I

上线性相关,否则称为线性无关.例如，在(,)上都有故它们在任何区间I

上都线性相关;又如，若在某区间

I

上则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为0,可见在任何区间

I

上都线性无关.若存在不全为0

的常数定义30一月20238线性相关存在不全为0的使(无妨设线性无关常数思考:中有一个恒为0,则必线性相关(证明略)线性无关两个函数在区间I

上线性相关与线性无关的充要条件:30一月20239是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解,则数)是该方程的通解.例如,方程有特解且常数,故方程的通解为推论是

n

阶齐次方程的n

个线性无关解,则方程的通解为定理230一月202310是二阶非齐次方程的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,则是非齐次方程的通解.证:

将代入方程①左端,得②①定理330一月202311是非齐次方程的解,又Y

中含有两个独立任意常数,例如,

方程有特解对应齐次方程有通解因此该方程的通解为证毕因而②也是通解.30一月202312分别是方程的特解,是方程的特解.(非齐次方程之解的叠加原理)定理3,定理4均可推广到n

阶线性非齐次方程.定理430一月202313例如，是对应齐次方程的n

个线性无关特解,给定n

阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解30一月202314设函数都是二阶非齐次线性方程定理5的解,则必为原方程对应齐次线性方程的特解。提示：设三、非齐次线性方程与其对应齐次方程解的关系30一月202315内容小结1.二阶线性微分方程的概念2.二阶线性微分方程的解的结构3.非齐次线性方程其对应齐次方程解的关系30一月202316思考练习则该方程的通解是().1.设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程的解,是任意常数,提示:都是对应齐次方程的解且线性无关.(反证法可证)30一月2023172.常系数齐次线性微分方程

第八章(Constantcoefficienthomogeneouslineardifferentialequation)一、常系数齐次线性微分方程定义二、常系数齐次线性方程解法三、小结与思考练习30一月202318一、常系数齐次线性微分方程定义二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式n阶常系数线性微分方程的标准形式30一月202319二、二阶常系数齐次线性方程解法基本思路:求解常系数线性齐次微分方程求特征方程(代数方程)之根转化30一月202320和它的导数只差常数因子,代入①得称②为微分方程①的特征方程,1.当时,②有两个相异实根方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为(r

为待定常数),①所以令①的解为②则微分其根称为特征根.二阶常系数齐次线性微分方程:30一月202321时,

特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另一特解(u(x)待定)代入方程得:是特征方程的重根取u=x,则得因此原方程的通解为2.当30一月202322时,

特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解:

利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:因此原方程的通解为3.当30一月202323特征方程:特征根通解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.小结：30一月202324的通解.解:

特征方程特征根:因此原方程的通解为解:

特征方程因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为例1特征根30一月202325解:所给微分方程的特征方程为它有一对共轭虚根故所求通解为30一月202326这是二阶常系数齐次线性方程.易求解.30一月202327内容小结特征根:(1)当时,通解为(2)当时,通解为(3)当时,通解为可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解.课后练习习题8－31-230一月202328思考练习1.求方程的通解.答案:通解为通解为通解为30一月2023293.常系数非齐次线性微分方程

第八章(Constantcoefficientnon-homogeneouslineardifferentialequation)一、三、小结与思考练习二、30一月202330二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据

f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.①—待定系数法30一月202331一、为实数,为m

次多项式.设特解为其中为待定多项式,代入原方程,得(1)若不是特征方程的根,则取从而得到特解形式为Q(x)为

m次待定系数多项式30一月202332(2)若是特征方程的单根

,为m

次多项式,故特解形式为(3)若是特征方程的重根

,是m

次多项式,故特解形式为小结对方程①,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.即即当是特征方程的k重根时,可设特解30一月202333的一个特解.解:

本题而特征方程为不是特征方程的根.设所求特解为代入方程:比较系数,得于是所求特解为例530一月202334先求对应齐次方程的通解，其特征方程是

30一月202335从而所求方