【2020南京六校联考】江苏省南京市六校联合体2020届高三下学期5月联考试题数学Word版含答案_第1页
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Dxyz.(i以D为坐标原点，DA的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系分)Dxyz.(i则A1(2,0,4),M(1,我，2),Ci(-1,73,4),E(0,立0),AiM=(—1,串,—2),CiE=(1,0,—4),cos〈AiM,CiE〉AiM.Ccos〈AiM,CiE〉所以，异面直线AiM与CiE所成角的余弦值为7684.（4分）N(i,0,2),AiA=(0,0,-4),AiM=(—i,g—2),AiN=(-i,0,—2),MN=(0,一品0).mAiM=0,设m=(x,y,z)为平面AiMA的法向量，则一m•AiA=0,x+J3y—2z=0,所以 可取m=(V3,i,0).(6分)4z=0,nMN=0,设n=(p,q,r)为平面AiMN的法向量，则一n•AiN=0,^J3q=0,所以 可取n=(2,0,—i).(8分)p-2r=0,于是cos〈m,n>所以二面角AMAiN的正弦值为邛.。。分）

Cn+1Cn+2Cn+3 Cn+n23.解：(1)因为an=m+-2一+—22-+—23—+…+—2^'所以a2=m+3=4,所以m=1,此时ai=2.（2分）（2）猜想：an=2n.证明如下：（3分）①当n=1时，由上知结论成立；（4分）②假设n=k时结论成立，C1+1Ck+2Ck+3 Ck+kbck+1+k+1―2k+1-则有ak=1+.+下-+亍+…+亍=ck+1+k+1―2k+1-… C1+1+1C2+1+2Ck+1+3则n=k+1时，ak+1=1+ 2 +―22~+―2~+…+由cn"=cn+」cn得C11+1+Ck+1C2+2+C1+2C3+3+C2+3 Ck+k+Ck+1Ck+1+k+1ak+1=1+ 2 1 2 1 23 …2k 1 2rl-廿C0+1C1+2Ck+3 Ck；1Ck+1+k+1=2k+—+-2^+-2^++~2^+ 2k+1,1 Ck+2Ck+3 Ck+kCk+1+k+1ak+1=2k+2(Ck+1+-2T+-^+…+2-r+—2^)CL1n C1+2Ck+3=2k+2(Ck+1+-2^+7-+…+Ck+1+kT।—2k1~+Ck+1+k+Ck+1+k2^ )•(7分)k+1Ck+1+k=(2k+1)!k!(k+1)!(2k+1)!(k+1)

(k+1)k!(k+1)!1， 、 ， 、2(2k+1)!(2k+2)(k+1)!(k+1)!Ck+1+k+1,1n Ck+2Ck+3 Ck+1+k-1Ck+1+kCk+1+k+1=2k+2(CP+1+-2=+-^+--+ 2k1+~^+2kh),故n=k

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