2022年吉林省中考数学试卷

第19页（共19页）2022年吉林省中考数学试卷一、单项选择题（每小题2分，共12分）1．（2分）（2022•吉林）吉林松花石有“石中之宝”的美誉，用它制作的砚台叫松花砚，能与中国四大名砚媲美．如图是一款松花砚的示意图，其俯视图为（）A． B． C． D．【分析】由物体的正面示意图可得物体的俯视图为两同心圆．【解答】解：俯视图是从物体的上面向下面投射所得的视图，由松花砚的示意图可得其俯视图为C．故选：C．2．（2分）（2022•吉林）要使算式（﹣1）□3的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号为（）A．+ B．﹣ C．× D．÷【分析】分别把加、减、乘、除四个符号填入括号，计算出结果即可．【解答】解：当填入加号时：﹣1+3＝2；当填入减号时﹣1﹣3＝﹣4；当填入乘号时：﹣1×3＝﹣3；当填入除号时﹣1÷3＝﹣，∵2＞﹣＞﹣3＞﹣4，∴这个运算符号是加号．故选：A．3．（2分）（2022•吉林）y与2的差不大于0，用不等式表示为（）A．y﹣2＞0 B．y﹣2＜0 C．y﹣2≥0 D．y﹣2≤0【分析】不大于就是小于等于的意思，根据y与2的差不大于0，可列出不等式．【解答】解：根据题意得：y﹣2≤0．故选：D．4．（2分）（2022•吉林）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则a，b的大小关系为（）A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．无法确定【分析】由数轴上b在a的右侧可得b与a的大小关系．【解答】解：∵b＞0，a＜0，∴a＜b，故选：B．5．（2分）（2022•吉林）如图，如果∠1＝∠2，那么AB∥CD，其依据可以简单说成（）A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行【分析】由平行的判定求解．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），故选：D．6．（2分）（2022•吉林）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】由勾股定理求出AC的长度，再由点C在⊙A内且点B在⊙A外求解．【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝＝3，∵点C在⊙A内且点B在⊙A外，∴3＜r＜5，故选：C．二、填空题（每小题3分，共24分）7．（3分）（2022•吉林）﹣的相反数是．【分析】根据相反数的意义，相反数是只有符号不同的两个数，改变﹣前面的符号，即可得﹣的相反数．【解答】解：﹣的相反数是．故答案为：．8．（3分）（2022•吉林）计算：a•a2＝a3．【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即am•an＝am+n计算即可．【解答】解：a•a2＝a1+2＝a3．故答案为：a3．9．（3分）（2022•吉林）篮球队要购买10个篮球，每个篮球m元，一共需要10m元．（用含m的代数式表示）【分析】根据题意直接列出代数式即可．【解答】解：篮球队要买10个篮球，每个篮球m元，一共需要10m元，故答案为：10m．10．（3分）（2022•吉林）《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛酒x斛、1个小桶可以盛酒y斛．根据题意，可列方程组为．【分析】根据题意列出二元一次方程组即可．【解答】解：设1个大桶可以盛酒x斛、1个小桶可以盛酒y斛，由题意得：，故答案为：．11．（3分）（2022•吉林）第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图，这个图案绕着它的中心旋转角α（0°＜α＜360°）后能够与它本身重合，则角α可以为60（答案不唯一）．度．（写出一个即可）【分析】先求出正六边形的中心角，再根据旋转变换的性质解答即可．【解答】解：360°÷6＝60°，则这个图案绕着它的中心旋转60°后能够与它本身重合，故答案为：60（答案不唯一）．12．（3分）（2022•吉林）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），点B在y轴正半轴上，以点B为圆心，BA长为半径作弧，交x轴正半轴于点C，则点C的坐标为（2，0）．【分析】由图象可得OB与圆的直径重合，由BO⊥AC及垂径定理求解．【解答】解：由图象可得OB与直径重合，∵BO⊥AC，∴OA＝OC，∵A（﹣2，0），∴C（2，0），故答案为：（2，0）．13．（3分）（2022•吉林）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且AF＝AC，连接EF．若AC＝10，则EF＝．【分析】由AF＝AC可得点F为AO中点，从而可得EF为△AOD的中位线，进而求解．【解答】解：在矩形ABCD中，AO＝OC＝AC，AC＝BD＝10，∵AF＝AC，∴AF＝AO，∴点F为AO中点，又∵点E为边AD的中点，∴EF为△AOD的中位线，∴EF＝OD＝BD＝．故答案为：．14．（3分）（2022•吉林）如图，在半径为1的⊙O上顺次取点A，B，C，D，E，连接AB，AE，OB，OC，OD，OE．若∠BAE＝65°，∠COD＝70°，则与的长度之和为（结果保留π）．【分析】由圆周角定理可得∠BOE的大小，从而可得∠BOC+∠DOE的大小，进而求解．【解答】解：∵∠BAE＝65°，∴∠BOE＝130°，∴∠BOC+∠DOE＝∠BOE﹣∠COD＝60°，∴+的长度＝×2π×1＝，故答案为：π．三、解答题（每小题5分，共20分）15．（5分）（2022•吉林）如图，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD．求证：BD＝CD．【分析】由AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD可证明△ABD≌△ACD，从而可得BD＝CD．【解答】证明：在△ABD与△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SAS），∴BD＝CD．16．（5分）（2022•吉林）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中A是关于m的多项式．请写出多项式A，并将该例题的解答过程补充完整．例：先去括号，再合并同类项：m（A）﹣6（m+1）．解：m（A）﹣6（m+1）＝m2+6m﹣6m﹣6＝m2﹣6．【分析】根据题意合并同类项即可．【解答】解：由题知，m（A）﹣6（m+1）＝m2+6m﹣6m﹣6＝m2﹣6，∵m2+6m＝m（m+6），∴A为：m+6，故答案为：m2﹣6．17．（5分）（2022•吉林）长白山国家级自然保护区、松花湖风景区和净月潭国家森林公园是吉林省著名的三个景区．甲、乙两人用抽卡片的方式决定一个自己要去的景区．他们准备了3张不透明的卡片，正面分别写上长白山、松花湖、净月潭．卡片除正面景区名称不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，甲先从中随机抽取一张卡片，记下景区名称后正面向下放回，洗匀后乙再从中随机抽取一张卡片．请用画树状图或列表的方法，求两人都决定去长白山的概率．【分析】根据题意作图得出概率即可．【解答】解：由题意作树状图如下：由图知，两人都决定去长白山的概率为．18．（5分）（2022•吉林）图①，图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点A，B，C均在格点上，请在给定的网格中按要求画四边形．（1）在图①中，找一格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形；（2）在图②中，找一格点E，使以点A，B，C，E为顶点的四边形是中心对称图形．【分析】（1）作点B关于直线AC的对称点D，四边形ABCD为筝形．（2）将点A向右平移1个单位，再向上平移1个单位可得点E，四边形ABCE为平行四边形．【解答】解：（1）作点B关于直线AC的对称点D，连接ABCD，四边形ABCD为筝形，符合题意．（2）将点A向右平移1个单位，再向上平移1个单位可得点E，连接ABCE，AE∥BC且AE＝BC，∴四边形ABCE为平行四边形，符合题意．四、解答题（每小题7分，共28分）19．（7分）（2022•吉林）刘芳和李婷进行跳绳比赛．已知刘芳每分钟比李婷多跳20个，刘芳跳135个所用的时间与李婷跳120个所用的时间相等．求李婷每分钟跳绳的个数．【分析】设李婷每分钟跳绳x个，则刘芳每分钟跳绳x+20个，根据时间相等列方程求解即可．【解答】解：设李婷每分钟跳绳x个，则刘芳每分钟跳绳x+20个，根据题意列方程，得，即135x＝120（x+20），解得x＝160，经检验x＝160是原方程的解，答：李婷每分钟跳绳160个．20．（7分）（2022•吉林）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示．（1）求密度ρ关于体积V的函数解析式．（2）当V＝10m3时，求该气体的密度ρ．【分析】（1）通过待定系数法求解．（2）将V＝10代入函数解析式求解．【解答】解：（1）设ρ＝，将（4，2.5）代入ρ＝得2.5＝，解得k＝10，∴ρ＝．（2）将V＝10代入ρ＝得ρ＝1．∴该气体的密度为1kg/m3．21．（7分）（2022•吉林）动感单车是一种新型的运动器械．图①是一辆动感单车的实物图，图②是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC长为70cm，∠BCD的度数为58°．当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）【分析】由AB，BC的长度求出AC长度，然后根据sin∠BCD＝求解．【解答】解：∵AB＝34cm，BC＝70cm，∴AC＝AB+BC＝104cm，在Rt△ACE中，sin∠BCD＝，∴AE＝AC•sin∠BCD≈104×0.85≈88cm．答：点A到CD的距离AE的长度约88cm．22．（7分）（2022•吉林）为了解全国常住人口城镇化率的情况，张明查阅相关资料，整理数据并绘制统计图如下：（以上数据来源于《中华人民共和国2021年国民经济和社会发展统计公报》）注：城镇化率＝×100%．例如，城镇常住人口60.12万人，总人口100万人，则城镇化率为60.12%．回答下列问题：（1）2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率的中位数是62.71%．（2）2021年年末全国人口141260万人，2021年年末全国城镇常住人口为141260×64.72%万人．（只填算式，不计算结果）（3）下列推断较为合理的是①（填序号）．①2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率逐年上升，估计2022年年末全国常住人口城镇化率高于64.72%．②全国常住人口城镇化率2020年年末比2019年年末增加1.18%，2021年年末比2020年年末增加0.83%，全国常住人口城镇化率增加幅度减小，估计2022年年末全国常住人口城镇化率低于64.72%．【分析】（1）将2017﹣2021年年末的城镇化率从小到大排列，从而可得中位数．（2）根据城镇化率＝×100%可得2021年年末全国城镇常住人口为141260×64.72%（万人）．‘（3）由折线图可得全国常住人口城镇化率在逐年增加．【解答】解：（1）∵2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率分别为60.24%，61.50%，62.71%，63.89%，64.72%，∴中为数是62.71%，故答案为：62.71．（2）∵2021年年末城镇化率为64.72%，∴常住人口为141260×64.72%（万人），故答案为：141260×64.72%．（3）∵2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率逐年上升，∴估计2022年年末全国常住人口城镇化率高于64.72%．故答案为：①．五、解答题（每小题8分，共16分）23．（8分）（2022•吉林）李强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水，甲壶比乙壶加热速度快．在一段时间内，水温y（℃）与加热时间x（s）之间近似满足一次函数关系，根据记录的数据，画函数图象如下：（1）加热前水温是20℃．（2）求乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式．（3）当甲壶中水温刚达到80℃时，乙壶中水温是65℃．【分析】（1）由图象x＝0时y＝20求解．（2）通过待定系数法求解．（3）由图象可求出甲壶的加热速度，求出甲壶中水温达到80℃时的x，将其代入（2）中解析式求解．【解答】解：（1）由图象得x＝0时y＝20，∴加热前水温是20℃，故答案为：20．（2）设乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式为y＝kx+b，将（0，20），（160，80）代入y＝kx+b得，解得，∴y＝x+20．（3）甲水壶的加热速度为（60﹣20）÷80＝℃/s，∴甲水壶中温度为80℃时，加热时间为（80﹣20）÷＝120s，将x＝120代入y＝x+20得y＝65，故答案为：65．24．（8分）（2022•吉林）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．【作业】如图①，直线l1∥l2，△ABC与△DBC的面积相等吗？为什么？解：相等．理由如下：设l1与l2之间的距离为h，则S△ABC＝BC•h，S△DBC＝BC•h．∴S△ABC＝S△DBC．【探究】（1）如图②，当点D在l1，l2之间时，设点A，D到直线l2的距离分别为h，h′，则＝．证明：∵S△ABC＝BC•h．（2）如图③，当点D在l1，l2之间时，连接AD并延长交l2于点M，则＝．证明：过点A作AE⊥BM，垂足为E，过点D作DF⊥BM，垂足为F，则∠AEM＝∠DFM＝90°．∴AE∥DF．∴△AEM∽△DFM．∴＝．由【探究】（1）可知＝，∴＝．（3）如图④，当点D在l2下方时，连接AD交l2于点E．若点A，E，D所对应的刻度值分别为5，1.5，0，则的值为．【分析】（1）由S△ABC＝BC•h，S△DBC＝BC•h′即可证明．（2）由AE∥DF可得△AEM∽△DFM，再由相似三角形的性质可得＝，然后结合【探究】（1）结论可得＝．（3）作DK∥AC交l2于点K，由【探究】（1）（2）可得＝，进而求解．【解答】（1）证明：∵S△ABC＝BC•h，S△DBC＝BC•h′，∴＝．（2）证明：过点A作AE⊥BM，垂足为E，过点D作DF⊥BM，垂足为F，则∠AEM＝∠DFM＝90°．∵AE∥DF，∴△AEM∽△DFM，∴＝，由【探究】（1）可知＝，∴＝．故答案为：DF，△DFM，．（3）作DK∥AC交l2于点K，∵DK∥AC，∴△ACE∽△DKE，∵DE＝1.5，AE＝5﹣1.5＝3.5，∴＝＝，由【探究】（2）可得＝＝．故答案为：．六、解答题（每小题10分，共20分）25．（10分）（2022•吉林）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿边AB向终点B匀速运动．以PA为一边作∠APQ＝120°，另一边PQ与折线AC﹣CB相交于点Q，以PQ为边作菱形PQMN，点N在线段PB上．设点P的运动时间为x（s），菱形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为y（cm2）．（1）当点Q在边AC上时，PQ的长为2xcm．（用含x的代数式表示）（2）当点M落在边BC上时，求x的值．（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．【分析】（1）作PE⊥AC于点E，由含30°角的直角三角形可得AE的长度，再由等腰三角形的性质可得PQ的长度．（2）作出点M落在边BC上的图象，由AP+PN+NB＝AB求解．（3）分类讨论0≤x≤1，1＜t≤，＜x≤3并作出图象求解．【解答】解：（1）∵∠A＝30°，∠APQ＝120°，∴∠AQP＝30°，∴PQ＝AP＝2x．故答案为：2x．（2）如图，∵∠APQ＝120°，∴∠MNB＝∠PQB＝60°，∵∠B＝60°，∴△MNB为等边三角形，∴AP＝PQ＝PN＝MN＝NB，即AP+PN+NB＝3AP＝AB，∴3×2x＝6，解得x＝1．（3）当0≤x≤1时，作QF⊥AB于点F，∵∠A＝30°，AQ＝2x，∴QF＝AQ＝x，∵PN＝PQ＝AP＝2x，∴y＝PN•QF＝2x•x＝2x2．当1＜x≤时，QM，NM交BC于点H，K，∵AB＝6cm，∠A＝30°，∴AC＝AB＝3cm，∴CQ＝AC﹣AQ＝3﹣2x，∴QH＝CQ＝（3﹣2x）＝6﹣4x，∴HM＝QM﹣QH＝2x﹣（6﹣4x）＝6x﹣6，∵△HKM为等边三角形，∴S△HKM＝HM2＝9x2﹣18x+9，∴y＝2x2﹣（9x2﹣18x+9）＝﹣7x2+18x﹣9．当＜x≤3时，重叠图形△PQM为等边三角形，PQ＝PB＝AB﹣AP＝6﹣2x，∴y＝PB2＝（6﹣2x）2＝x2﹣6x+9．综上所述，y＝．26．（10分）（2022•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）经过点A（1，0），点B（0，3）．点P在此抛物线上，其横坐标为m．（1）求此抛物