第一次课矩阵初等变换

主讲教师理学院吕建聚E-mail:Tel性代数线性代数

教材《线性代数》江龙程林凤等高教出版社

主要参考书《线性代数学习指导》中国矿业大学出版社地点：教1-C300(答疑室)

时间：第2~12周（除第五周），周三7-8节课答疑安排考前安排集中答疑（时间另行通知，地点不变）成绩评定办法平时成绩30%+期末考试70%平时成绩包括：课堂点名+作业+课堂小测验+实验课实验课5分/100分，由实验老师评定小测验15分/100分，上课时随机进行，每缺一次，扣分不低于5分/100分，期望大家保证出勤点名、作业10分/100分，缺一次扣4分/100分第一章线性方程组1.1线性方程组

1.2矩阵及其初等变换

1.3线性方程组的矩阵解法

一、引例炼铁厂使用不同的含铁原料，不同原料含有铁（Fe）、二氧化硅（SiO2)、氧化钙（CaO)、硫（S),磷（P）、铝（AL2O3)、锌、镍、铜等多种元素，在冶炼之前进行配比中和，达到一定的成份要求。1.1线性方程组

原料信息原料原料成份信息%序号产地名称TFeSiO2CaOMgOAl2O3SPTiO21巴西巴粗57.055.020.410.242.480.010.050.062澳洲PB粉53.6690.410.242.480.020.070.073印度印粉54.466.85.890.170.0740.0744巴西卡粉652.5500.8210.020.050.065明达精粉654.381.010.330.0250.086本地精粉652.431.40.190.0227太平精粉652.961.024.581.710.360.010.078安徽安徽块5392.480.2040.1319马来块马来块53.3414.464.060.0510.020.05410阿里奇矿粉57.85.862.020.0360.06111马来矿马来粉46.0313.59005.230.0760.0970.08612澳洲扬迪粉57.855.591.440.080.0413澳洲火箭特粉57.055.022.550.0310.0414澳洲麦克粉61.3342.20.0370.08215澳洲纽曼粉62.864.072.370.0110.08216澳洲PB粉61.54.562.430.0170.087原料信息原料原料成份信息序号比例名称TFeSiO2CaOMgOAl2O3SPTiO21x1巴粗57.055.020.410.242.480.010.050.062x2PB粉53.6690.410.242.480.020.070.073x3印粉54.466.85.890.170.0740.0744中和要求5560.06如果仅使用前三种原料，中和效果见表格最下一行可以列方程组增加一个成分要求，增加一个约束增加一种原料方程组17个未知量，9个方程增加一个方程增加一个未知量这里大家也看到，方程的个数同未知数的个数并不要求相同，这点同中学阶段完全不同采用17种原料，8种成分均有要求的情况，列出的方程组是工程师在解决实际问题中经常遇到的，对方程组要解决两方面的问题：一是，方程组的求解问题二是，如果未知量非常多，方程个数也非常多，表达不方便，寻找复杂数学表达式的表达方法----矩阵这两个问题就构成了本课程的核心内容。n元线性方程组的一般形式:齐次线性方程组:非齐次线性方程组:线性方程组的解集:方程组解的全体二.基本概念(1)如何判别方程组无解？有唯一解？有无穷多解？(2)如何求方程组的通解？要解决的问题：例1.1解线性方程组

消元法是解方程组的基本方法简单的回忆一下加减消元法三解法例1.1解线性方程组

解

回代

加减消元法实质是对线性方程组进行三种同解变换

（1）交换任意两个方程的位置；（2）任一个方程的两边同乘一个非零的实数；（3）任一个方程的倍数加到另一个方程上

例1.2解方程组

解

观察线性方程组

实质是同一个方程，决定方程组的是方程的系数及常数项，系数和常数项可看做是一个数表一定义1.2矩阵及其初等变换思考题：四个1字可以构造多少个矩阵？强调：矩阵除了元素之外，重要的是数字的排列方式，也就是今后常说的矩阵的结构(1)1×1的矩阵就是一个数。

(2)行数与列数都等于n的矩阵A，称为n阶方阵或n阶矩阵。

(3)只有一行的矩阵称为行矩阵或n

维行向量。ai称为A的第i个分量。称为列矩阵或m

维列向量。(4)只有一列的矩阵【注】几种特殊矩阵(5)元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为O

。(6)矩阵(约定未写出元素全为零)称为单位矩阵。(7)矩阵称为对角矩阵。记作二两个矩阵相等设，如果则称A与B相等，记作A=B。问：与相等吗？强调矩阵相等：结构相同、对位元素相同(3)把矩阵的某一行乘上一个数加到另一行上，矩阵的三种初等行变换（习惯上行用r标示，列用C标示）(1)交换矩阵的某两行，记为(2)以不等于０的数乘矩阵的某一行，记为记为类似定义三种初等列变换以上六种变换统称为矩阵的初等变换三矩阵的初等变换矩阵的初等行变换举例。【注2】初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．初等列变换也有类似的结果…逆变换逆变换逆变换初等变换的作用？定义行阶梯形矩阵及行最简(阶梯)形矩阵(行最简形就是所谓的最简单的“代表”)书P9定义1.4行阶梯形矩阵行最简阶梯形矩阵（1）台阶左下方元素全为零；（2）每个台阶上只有一行；（3）每个台阶上第一个元素不为零。行阶梯形矩阵：行最简阶梯形(1)(2)(3)+(4)台阶上的第一个元素为1,且其所在列其它元素全为零。矩阵(2)称为行阶梯形矩阵，矩阵(4)称为行最简(阶梯)形矩阵下面矩阵也是行阶梯形矩阵下面矩阵是行最简阶梯形矩阵定义…定义…【定理1.1】

每个非零矩阵都可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵,进而化为行最简阶梯形矩阵.

例1【问题】如果可以利用初等列变换，矩阵B可以化简成的最简单形式是什么？加注：阶梯形不唯一，最简阶梯形唯一接例1形状为等价具有下列性质：如果矩阵B可以由矩阵A经过一系列行初等变换得到，则称A与B行等价，记为。如果矩阵B可以由矩阵A经过一系列初等列变换得到，则称A与B列等价，记为。（1）自反性

AA（2）对称性若AB，则B