2022年浙江高考数学压轴题答案详解及解题技巧(含模拟专练)

浙江高考数学试卷压轴真题解读9．已知，若对任意，则（

）A． B． C． D．【命题意图】本题考查绝对值不等式的解法，作为选择题，常常采用特值法，排除法等提高解题效率【答案】D【解析】由题意有：对任意的，有恒成立．设，，即的图像恒在的上方（可重合），如下图所示：由图可知，，，或，，故选：D．【解后反思】1.用零点分段法解绝对值不等式的步骤(1)求零点；(2)划区间、去绝对值符号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值.2.含绝对值的函数本质上是分段函数，绝对值不等式可利用分段函数的图象的几何直观性求解，体现了数形结合的思想.10．已知数列满足，则（

）A． B． C． D．【命题意图】本题考查递推数列，数列的单调性等知识，对化简变形能力要求较高，考查运算求解能力，逻辑推理能力【答案】B【解析】∵，易得，依次类推可得由题意，，即，∴，即，，，…，，累加可得，即，∴，即，,又，∴，，，…，，累加可得，∴，即，∴，即；综上：．故选：B．【解题技巧】1.由数列的递推关系求通项公式的常用方法(1)已知a1，且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an.(2)已知a1(a1≠0)，且eq\f(an,an－1)＝f(n)，可用“累乘法”求an.2.已知a1且an＋1＝pan＋q(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0).把原递推公式转化为an＋1－t＝p(an－t)，其中t＝eq\f(q,1－p)，再利用换元法转化为等比数列求解.16．已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是_________．【命题意图】本题考查双曲线的性质，考查数形结合思想及运算求解能力【答案】【解析】过且斜率为的直线，渐近线，联立，得，由，得而点在双曲线上，于是，解得：，所以离心率.故答案为：．【规律总结】求双曲线离心率或其取值范围的方法(1)求a，b，c的值，由eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．17．设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是_______．【命题意图】本题主要考查了平面向量数量积的运算和性质，考查了学生分析问题和转化问题的能力【答案】【解析】以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：则,，设,于是，因为，所以，故的取值范围是.故答案为：．【解后反思】1.以平面几何为载体的向量问题有两种基本解法：(1)基向量法：恰当选择基底，结合共线定理、平面向量的基本定理进行向量运算.(2)坐标法：如果图形比较规则，可建立平面坐标系，把有关点与向量用坐标表示，从而使问题得到解决.2.解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题.21．如图，已知椭圆．设A，B是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线分别交直线于C，D两点．(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值；(2)求的最小值．【命题意图】本题考查直线与椭圆的综合运用，涉及了两点间的距离公式，利用二次函数的性质求最值，弦长公式等基础知识点，考查逻辑推理能力，运算求解能力【解析】(1)设是椭圆上任意一点,,则

，当且仅当时取等号，故的最大值是.(2)设直线,直线方程与椭圆联立,可得,设，所以，因为直线与直线交于,则,同理可得,.则，当且仅当时取等号，故的最小值为.【方法总结】圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何方法，即通过利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．22．设函数．(1)求的单调区间；(2)已知，曲线上不同的三点处的切线都经过点．证明：（ⅰ）若，则；（ⅱ）若，则．（注：是自然对数的底数）【命题意图】本题考查函数的单调区间的求法，考查不等式的证明，考查导数的性质、函数的单调性、极值、零点、换元法、构造法等基础知识，考查运算求解能力【解析】(1)，当，；当，，故的减区间为，的增区间为.(2)（ⅰ）因为过有三条不同的切线，设切点为，故，故方程有3个不同的根，该方程可整理为，设，则，当或时，；当时，，故在上为减函数，在上为增函数，因为有3个不同的零点，故且，故且，整理得到：且，此时，设，则，故为上的减函数，故，故.（ⅱ）当时，同（ⅰ）中讨论可得：故在上为减函数，在上为增函数，不妨设，则，因为有3个不同的零点，故且，故且，整理得到：，因为，故，又，设，，则方程即为：即为，记则为有三个不同的根，设，，要证：，即证，即证：，即证：，即证：，而且，故，故，故即证：，即证：即证：，记，则，设，则即，故在上为增函数，故，所以，记，则，所以在为增函数，故，故即，故原不等式得证：【规律总结】1.待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”或“右减左”的函数，利用研究其单调性等相关函数性质证明不等式.2.某些不等式，直接构造不易求最值，可利用条件与不等式性质，适当放缩后，再构造函数进行证明.压轴模拟专练1．（2022·浙江·模拟预测）已知实数，，满足：对任意都成立，则（

）.A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，，，所以，当恒成立时，，则，，所以，，故选：D.2．（2022·浙江省新昌中学模拟预测）设，若的最大值是5，则的最大值是（

）A． B． C．2 D．4【答案】D【解析】当时，，所以是可能的，故B、C错误；将点分别代入，得，又，因为的最大值为5，所以恒成立，即，解得，当时，，无解，故A错误，D正确.故选：D.3．（2022·浙江·三模）设数列满足，记数列的前n项的和为，则（

）A． B．存在，使C． D．数列不具有单调性【答案】C【解析】由于，则，又由，则与同号．又由，则，可得，所以数列单调递增，故B、D错误；又因为，由数列单调递增，且，所以，所以，累加得，所以，故A错误；由可得，因为，所以，故C正确．故选：C．4．（2022·浙江·效实中学模拟预测）已知数列满足，，其中是自然对数的底数，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】∵（当时等号成立），∴，当时，，即，则，，整理得，即，即，，，，将个不等式相加得，即，，令，则，当时，，当时，，则在上单调递增，在上单调递减，即在出取得最大值，，所以（当时等号成立），当时，（当时等号成立），即当时，，，，，，即，同理利用累加法可得，即，所以，则，故选：.5．（2015·浙江·二模（文））已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上任意一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是______．【答案】【解析】设，则，由双曲线的定义知，，∴，∴，当且仅当，即时，等号成立，∴当的最小值为时，，，此时，解得，又，∴，6．（2022·浙江·金华市曙光学校模拟预测）过双曲线的左焦点的直线，在第一象限交双曲线的渐近线于点，与圆相切于点.若，则离心率的值为________.【答案】【解析】设双曲线的右焦点为，在中，是的一个外角，设，，则，因为直线与圆相切于点，所以,在中，，所以，因为，所以，所以在直角中，，在直角中，，因为，所以，因为为直线的倾斜角，直线为双曲线的渐近线，所以,所以，所以，所以，所以离心率为，7．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）如图，已知点O，A，B，C（顺时针排列）在半径为2的圆E上，将顺时针旋转，得到，则的最大值为_________．【答案】16【解析】如图，作于G，于H，由题可得，∴．当且仅当且时等号成立，8．（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，依次为边的四等分点，，，依次为边的四等分点，若，，则__________．【答案】【解析】因为四边形是平行四边形，所以，，所以，，，所以，所以，设，，则，又，，所以.9．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）已知椭圆与抛物线有一个相同的焦点，椭圆的长轴长为．(1)记椭圆于抛物线的公共弦为，求；(2)P为抛物线上一点，为椭圆的左焦点，直线交椭圆于A，B两点，直线与抛物线交于P，Q两点，求的最大值．【解析】(1)根据题意得：，∴抛物线方程：，椭圆方程：联立抛物线与椭圆：，整理得：（舍）∴∴(2)设联立与椭圆：，整理得：所以弦长公式：联立与抛物线：，整理得：所以弦长公式：联立与，∴P在抛物线上：，整理得：，即∴∴的最大值为，当时取到最大值．10．（2022·浙江·海宁中学模拟预测）设椭圆的左右焦点分别为是该椭圆C的右顶点和上顶点，且，若该椭圆的离心率为(1)求椭圆C的标准方程；(2)直线l与椭圆C交于两点，且与x轴交于点若直线与直线的倾斜角互补，求的面积的最大值.【解析】(1)由题可得，，所以

因为椭圆的离心率为所以，结合椭圆中可知，所以椭圆C的标准方程为(2)，设因为直线与直线的倾斜角互补，所以可知，即，化简得设直线，将代入上式，整理可得且由消元化简可得，所以，代入上式由，解得所以因为点到直线PQ的距离，且所以令，则所以，.当且仅当，时取等号.所以的面积的最大值为11．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知函数的图像记为曲线．(1)过点作曲线的切线，这样的切线有且仅有两条．（ⅰ）求的值；（ⅱ）若点在曲线上，对任意的，求证：．(2)若对恒成立，求的最大值．【解析】(1)（ⅰ）∵，∴设切点为，则所以切线方程为，将点代入得可化为设∵，令令即，解得或；令即，解得；所以函数在上单调递减，在上单调递增.∴的极值点0和，∵过点作曲线的切线．这样的切线有且仅有两条∴或，∴或；所以的值为或.（ⅱ）因为点在曲线上，所以，当时，左边令函数，∵.当时，函数在上单调递增，当即时，由得;由得;∴函数在上单调递减，在上单调递增∴；当时，左边令函数∵，由得;由得;当时，即时，函数在上单调递减，当时，函数在上单调递减，在上单调递增令函数设在上单调递增∴即证.(2)由得对恒成立，显然．若，则，若，则，设函数，令即，解得；令即，解得；所以函数在上单调递减，在上单调递增∴设，∵令，即，解得；令，即，解得；∴函数在上单调递增，在上单调递减.∴，即的最大值为，此时12．（2022·浙江·效实中学模拟预测）设函数，其中.(1)若，讨论的单调性；(2)若，设为的极值点.（i）求取值范围：