2022年新高考全国Ⅱ卷数学压轴题答案详解及解题技巧(含模拟专练)

年全国统一高考数学试卷（新高考I卷）压轴题解读7．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．【命题意图】本题考查球的表面积求解，同时还涉及了正弦定理的运用，考查了运算求解能力，对空间想象能力要求较高【答案】A【解析】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．故选：A．8．已知函数的定义域为R，且，则（

）A． B． C．0 D．1【命题意图】本题考查抽象函数以及函数周期性的运用，考查运算求解能力【答案】A【解析】因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以一个周期内的．由于22除以6余4，所以．故选：A．12．若x，y满足，则（

）A． B．C． D．【命题意图】本题主要考查了三角代换求最值，考查了三角函数的性质，同时考查了学生分析问题，转化问题的能力【答案】BC【解析】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；因为变形可得，设，所以，因此，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．故选：BC．16．已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为___________．【命题意图】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力.【答案】【解析】令的中点为，因为，所以，设，，则，，所以，即所以，即，设直线，，，令得，令得，即，，所以，即，解得或（舍去），又，即，解得或（舍去），所以直线，即；故答案为：21．已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M在上；②；③．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【命题意图】本题考查了直线和双曲线的位置关系，考查了运算求解能力，转化与化归能力【解析】(1)右焦点为，∴,∵渐近线方程为，∴，∴，∴，∴，∴．∴C的方程为：；(2)由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零；若选①③推②，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符；总之，直线的斜率存在且不为零.设直线的斜率为,直线方程为,则条件①在上，等价于；两渐近线的方程合并为,联立消去y并化简整理得：设,线段中点为,则,设,则条件③等价于,移项并利用平方差公式整理得：，,即,即；由题意知直线的斜率为,直线的斜率为,∴由,∴,所以直线的斜率,直线,即,代入双曲线的方程,即中，得：,解得的横坐标：,同理：，∴∴,∴条件②等价于，综上所述：条件①在上，等价于；条件②等价于；条件③等价于；选①②推③:由①②解得：,∴③成立；选①③推②：由①③解得：，，∴，∴②成立；选②③推①：由②③解得：，，∴，∴，∴①成立.22．已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，，求a的取值范围；(3)设，证明：．【命题意图】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，考查了学生分析问题和转化问题的能力【解析】(1)当时，，则，当时，，当时，，故的减区间为，增区间为.(2)设，则，又，设，则，若，则，因为为连续不间断函数，故存在，使得，总有，故在为增函数，故，故在为增函数，故，与题设矛盾.若，则，下证：对任意，总有成立，证明：设，故，故在上为减函数，故即成立.由上述不等式有，故总成立，即在上为减函数，所以.当时，有，

所以在上为减函数，所以.综上，.(3)取，则，总有成立，令，则，故即对任意的恒成立.所以对任意的，有，整理得到：，故，故不等式成立.压轴题模拟一、单选题1．（2022·全国·模拟预测）中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，古代用它作为长方棱台（上、下底面均为矩形的棱台）的专用术语，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之，各以其广乘之，并，以高若深乘之，皆六而一．”即：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘，把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．现有一外接球的表面积为的“刍童”如图所示，记为四棱台，其上、下底面均为正方形，且，则该“刍童”的体积为（

）A．224 B．448 C．或448 D．或224【答案】C【解析】连接，交于点，连接，交于点，连接，则由球的几何性质可知，刍童外接球的球心必在直线上，由题意可得，，设球的半径为，由，得．连接，，在中，，即，得．在中，，即，得．当球心在线段上时，，则该刍童的体积；当球心在线段的延长线上时，，则该刍童的体积为．故选：C．2．（2022·江西·上高三中高三模拟）在圆锥中，是母线上靠近点的三等分点，，底面圆的半径为，圆锥的侧面积为，则下列说法错误的是（

）A．当时，从点到点绕圆锥侧面一周的最小长度为B．当时，过顶点和两母线的截面三角形的最大面积为C．当时，圆锥的外接球表面积为D．当时，棱长为的正四面体在圆锥内可以任意转动【答案】B【解析】依题意可知.对于ACD选项，当时，，圆锥的高为.以下分析ACD选项：侧面展开图的母线长为，圆心角为.此时圆锥侧面展开图如下图所示:所以，A选项正确.设圆锥的外接球的球心为，半径为，则，表面积为，C选项正确.棱长为的正四面体如下图所示，正方体的边长为，体对角线长为，所以棱长为的正四面体的外接球半径为.设内切圆的半径为，则，解得，所以棱长为的正四面体在圆锥内可以任意转动，D选项正确.对于B选项，，为钝角，所以过顶点和两母线的截面三角形的最大面积为，B选项错误.故选：B3．已知定义在上的函数，对任意的，都有，且，则下列说法正确的是（

）A．是以2为周期的偶函数 B．是以2为周期的奇函数C．是以4为周期的偶函数 D．是以4为周期的奇函数【答案】D【解析】即①，令①中，则，则，又因为，所以，所以②，令②中，所以，所以，所以的周期为.因为，所以，所以为奇函数.故选：D.4．（2021·江苏·高一单元测试）已知函数的定义域是，且满足，，如果对于，都有，不等式的解集为

（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于，令则，即，则，由于，则，即有，由于对于，都有，则在上递减，不等式即为．则原不等式即为，即有，即有，即解集为．故选：D．二、多选题5．（2022·海南·海口一中高一期中）已知，且，则（

）A． B．C．≤0 D．【答案】ACD【解析】A选项，∵，∴，∴，A正确B选项，当时，，B错误；C选项，，C正确；D选项，，D正确.故选：ACD6．（2022·湖北十堰·高一阶段练习）已知，则（

）A．的最大值为B．的最小值为4C．的最小值为D．的最小值为16【答案】BCD【解析】由得：，因为，所以，所以，由基本不等式可得：当且仅当时，等号成立，此时，解得：或，因为，所以舍去，故的最大值为2，A错误；由得：，因为，所以，所以，由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，即，解得：或，因为，所以舍去，故的最小值为4，B正确；由变形为，则，由基本不等式得：，当且仅当时等号成立，此时，令，则由，解得：或（舍去）所以的最小值为，C正确；由可得：，从而当且仅当时，即，等号成立，故最小值为16.故选：BCD，三、填空题7．（2022·河北·石家庄市第二十二中学高三阶段练习）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，若是线段的中点，则椭圆的方程为__．【答案】【解析】根据题意，抛物线的焦点为，则椭圆的焦点在轴上，且，可以设该椭圆的标准方程为：，则，①设点坐标为，，点坐标为，，有②，③，②③可得：④，又由直线的斜率为，则，的中点的坐标为，则、，代入④中，可得，又由，则，，故要求椭圆的标准方程为：；故答案为：．8．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校高三期末（理））以原点为对称中心的椭圆C1，C2焦点分别在x轴，y轴，离心率分别为e1，e2，直线l交C1，C2所得的弦中点分别为，若，则直线l的斜率为__________．【答案】±1．【解析】设椭圆，椭圆，设直线l与C1的交点为，直线l的斜率为，则，∴，即，∴，同理可得，又，∴，，又，∴，即，∴，.故答案为：.四、解答题9．（2022重庆市育才中学高三模拟）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.(1)求椭圆方程；(2)已知为坐标原点，为椭圆上非顶点的不同两点，且直线不过原点，不垂直于坐标轴.在下面两个条件中任选一个作为已知：①直线与直线斜率之积为定值；②的面积为定值，证明：存在常数，使得，且点在椭圆上，并求出的值.注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.【解析】(1)依题意,解得，.椭圆方程为.(2)设直线，由得，，，，若选①：，.整理得.由得，，因为点在椭圆上，所以，.若选②：，整理得，，，.由得，因为点在椭圆上，所以，.10．（2020·江苏苏州·高三阶段练习）已知椭圆的左､右顶点分别为，点该椭圆上，且该椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合.（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率，求证：_____________.在以下三个结论中选择一个填在横线处进行证明.①直线与的交点在定直线上；②；③.【解析】⑴因为抛物线的焦点为.所以椭圆的右焦点用又点在该椭圆上，所以又，所以椭圆的标准方程为（2）选①设联立得：法一：直线的交点的横坐标为所以直线AM与BN的交点在定直线上法二：要证直线与的交点在定直线上，即，即证即证，即证，即证即证因为所以直线与的交点在定直线上.选②设，联立得：所以法一：法二：所以因为也同号，所以法三：要证，即证，即证即证，即证因为所以法四：由得得同理因为为三点共线，所以即因为同号，所以选③设，联立得：所以所以.11．（2022·四川省成都市新都一中高三模拟）已知函数．(1)若函数在处取得极值，求实数的值，并求函数的极值；(2)①若当时，恒成立，求实数的取值范围；②证明：当时，．【解析】(1)，又在处取得极值，，解得：，，则，当时，；当时，；在，上单调递增；在上单调递减，的极大值为；极小值为；综上所述：；极大值为，极小值为.(2)①，令，则；（i）.当，即时，恒成立，，则在上单调递增，又，恒成立，满足题意；（ii）.当，即或时，令，解得：，；当时，，在上恒成立，则在上单调递增，又，恒成立，满足题意；当时，，又，，；当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，则当时，，不合题意；综上所述：实数的取值范围为.②由①知：当时，在上恒成立，