2022年全国乙卷理科高考数学压轴题答案详解及解题技巧(含模拟专练)

年全国统一高考数学试卷（理科）（乙卷）压轴真题解读11．双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C的两支交于M，N两点，且，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【命题意图】本题主要考查双曲线的性质，圆的性质，考查转化思想与数形结合思想，考查运算求解能力【答案】C【解析】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，所以，因为，所以在双曲线的右支，所以，，，设，，由，即，则，，，在中，，由正弦定理得，所以，又，所以，即，所以双曲线的离心率故选：C【方法归纳】求双曲线离心率或其取值范围的方法(1)求a，b，c的值，由eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解.12．已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（

）A． B． C． D．【命题意图】本题主要考查了函数的奇偶性、对称性和周期性【答案】D【解析】因为的图像关于直线对称，所以，因为，所以，即，因为，所以，代入得，即，所以，.因为，所以，即，所以.因为，所以，又因为，联立得，，所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，所以因为，所以.所以.故选：D【易错提醒】函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.16．已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．【命题意图】本题主要考查利用导函数研究函数极值点存在大小关系时，导函数图像的问题【答案】【解析】，因为分别是函数的极小值点和极大值点，所以函数在和上递减，在上递增，所以当时，，当时，，若时，当时，，则此时，与前面矛盾，故不符合题意，若时，则方程的两个根为，即方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，∵,∴函数的图象是单调递减的指数函数，又∵,∴的图象由指数函数向下关于轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的倍得到，如图所示：设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，则切线的斜率为，故切线方程为，则有，解得，则切线的斜率为，因为函数与函数的图象有两个不同的交点，所以，解得，又，所以，综上所述，的范围为.【规律总结】1.已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.2.导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.20．已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．(1)求E的方程；(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．【命题意图】本题考查了直线与椭圆的综合应用【解析】(1)设椭圆E的方程为，过，则，解得，，所以椭圆E的方程为：.(2)，所以，①若过点的直线斜率不存在，直线.代入，可得，，代入AB方程，可得，由得到.求得HN方程：，过点.②若过点的直线斜率存在，设.联立得，可得，，且联立可得可求得此时，将，代入整理得，将代入，得显然成立，综上，可得直线HN过定点21．已知函数(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．【命题意图】本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，零点问题，考查分类讨论思想及运算求解能力【解析】(1)的定义域为当时,,所以切点为,所以切线斜率为2所以曲线在点处的切线方程为(2)设若,当,即所以在上单调递增,故在上没有零点,不合题意若,当,则所以在上单调递增所以,即所以在上单调递增,故在上没有零点,不合题意若(1)当,则,所以在上单调递增所以存在,使得,即当单调递减当单调递增所以当当所以在上有唯一零点又没有零点,即在上有唯一零点(2)当设所以在单调递增所以存在,使得当单调递减当单调递增,又所以存在,使得,即当单调递增,当单调递减有而,所以当所以在上有唯一零点,上无零点即在上有唯一零点所以,符合题意所以若在区间各恰有一个零点,求的取值范围为【解后反思】(1)涉及函数的零点(方程的根)问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求得参数的取值范围．(2)解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法．压轴模拟专练1．（2022山东滕州一中高三模拟）已知双曲线()的左､右焦点分别为为双曲线上的一点，为的内心，且，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如下图示，延长到且，延长到且，所以，即，故是△的重心，即，又，所以，而是的内心，则，由，则，故，即.故选：D2．（2022天津南开中学高三模拟）已知双曲线与椭圆．过椭圆上一点作椭圆的切线l，l与x轴交于M点，l与双曲线C的两条渐近线分别交于N、Q，且N为MQ的中点，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意得：渐近线方程为，设切线方程为，联立得：，由得：，解得：，所以切线方程为，令得：，所以，联立与，解得：，联立与，解得：，因为N为MQ的中点，所以，解得：，所以离心率为故选：A3．（2022成都七中高三模拟）若函数满足，且当时，，则（

）A． B．10 C．4 D．2【答案】B【解析】由，得，∴函数是周期函数，且4是它的一个周期，又当时，，∴；故选：B.4．（2022安徽六中高三模拟）已知直线与函数图象交于不同三点M，N，P，且，则实数k的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为函数为奇函数，且在上为增函数，所以函数关于点对称，且在上为增函数，设点P的坐标为，且M，N关于P对称，设，，解得或4，不妨设，所以，所以实数k的值为．故选：D．5．（2022山师大附中高三模拟）设是函数的两个极值点，若，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】,因为是函数的两个极值点，且，所以是方一元二次方程的两个实根，且，所以，即，解得.故答案为：6．（2022山东潍坊一中高三模拟）已知三次函数的两个极值点，均为正数，，且不等式对于所有的都恒成立，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】令，由题可知，，令，，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，∴，∴，故答案为：.7．（2022湖南长沙长郡中学高三模拟）生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆C的焦点在y轴上，中心在坐标原点，从下焦点射出的光线经过椭圆镜面反射到上焦点，这束光线的总长度为4，且反射点与焦点构成的三角形面积最大值为，已知椭圆的离心率e.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若从椭圆C中心O出发的两束光线OM、ON，分别穿过椭圆上的A、B点后射到直线上的M、N两点，若AB连线过椭圆的上焦点，试问，直线BM与直线AN能交于一定点吗？若能，求出此定点：若不能，请说明理由.【解析】(1)由已知可设椭圆方程为，则，，又所以，故椭圆C的标准方程为(2)设AB方程为，由，得，设，则..由对称性知，若定点存在，则直线BM与直线AN交于y轴上的定点，由.是，则直线BM方程为，令，则又，则，所以，直线BM过定点（0，），同理直线AN也过定点.则点（0，）即为所求点.8．（2022江苏金陵中学高三模拟）已知抛物线上的点到其焦点的距离为.(1)求抛物线的方程；(2)点在抛物线上，直线与抛物线交于、两点，点与点关于轴对称，直线分别与直线、交于点、（为坐标原点），且.求证：直线过定点.【解析】(1)由点在抛物线上可得，，解得.由抛物线的定义可得，整理得，解得或（舍去）.故抛物线的方程为.(2)由在抛物线上可得，解得，所以，则直线的方程为.易知且、均不为，易知，因为，，，所以，直线的斜率存在且大于，设直线的方程为，联立得化为，则，且，，由直线的方程为，得.易知直线的方程为，故.由，则为的中点，所以，，即，即，所以，，化为，则得，所以直线的方程为，故直线过定点.9．（2022东北育才中学高三模拟）已知(1)若，讨论函数的单调性；(2)有两个不同的零点，，若恒成立，求的范围．【解析】(1)定义域为ⅰ）即时，，或ⅱ）即时，，恒成立ⅲ）即，，或综上：时，，单调递减；、，单调递增时，，单调递增时，，单调递减；、，单调递增(2)，由题，则，设∴∴恒成立，∴∴恒成立设，∴恒成立ⅰ）时，，∴，∴在上单调递增∴恒成立，∴合题ⅱ），，∴，∴在上单调递增时，，∴在上单调递减∴，，不满足恒成立综上：10．（2022大连二十四中学高三模拟）已知函数．(1)当时，求函数的单调区间；(2)若在上单调递增，求a的取值范围；(3)当时，确定函数零点的个数.【解析】(1)当时，，，令有，故当和时，，单