全等三角形问题中常见的几种辅助线的作法

..全等三角形问题中常见的辅助线的作法<有答案>总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形,构造二条边之间的相等,构造二个角之间的相等1.等腰三角形"三线合一"法：遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用"三线合一"的性质解题2.倍长中线：倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用"截长法"或"补短法"：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长,6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度,可以从角一边上一点向角的另一边作垂线,目的是构成30-60-90的特殊直角三角形,然后计算边的长度与角的度数,这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。8.计算数值法：遇到等腰直角三角形,正方形时,或30-60-90的特殊直角三角形,或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数,这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角,从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形,构造二条边之间的相等,二个角之间的相等。遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用"三线合一"的性质解题,思维模式是全等变换中的"对折"法构造全等三角形．遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的"旋转"法构造全等三角形．遇到角平分线在三种添辅助线的方法,〔1可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的"对折",所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．〔2可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交,形成一对全等三角形。〔3可以在该角的两边上,距离角的顶点相等长度的位置上截取二点,然后从这两点再向角平分线上的某点作边线,构造一对全等三角形。过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的"平移"或"翻转折叠"截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．已知某线段的垂直平分线,那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线,出一对全等三角形。特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答．一、倍长中线〔线段造全等例1、〔"希望杯"试题已知,如图△ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是_________.例2、如图,△ABC中,E、F分别在AB、AC上,DE⊥DF,D是中点,试比较BE+CF与EF的大小.例3、如图,△ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中点,求证：AD平分∠BAE.应用：1、〔09崇文二模以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt,连接DE,M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．〔1如图①当为直角三角形时,AM与DE的位置关系是,线段AM与DE的数量关系是；〔2将图①中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转<0<<90>后,如图②所示,〔1问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．二、截长补短1、如图,中,AB=2AC,AD平分,且AD=BD,求证：CD⊥AC2、如图,AD∥BC,EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA,CD过点E,求证;AB＝AD+BC。3、如图,已知在内,,,P,Q分别在BC,CA上,并且AP,BQ分别是,的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP4、如图,在四边形ABCD中,BC＞BA,AD＝CD,BD平分,求证：5、如图在△ABC中,AB＞AC,∠1＝∠2,P为AD上任意一点,求证;AB-AC＞PB-PC应用：三、平移变换例1AD为△ABC的角平分线,直线MN⊥AD于A.E为MN上一点,△ABC周长记为,△EBC周长记为.求证＞.例2如图,在△ABC的边上取两点D、E,且BD=CE,求证：AB+AC>AD+AE.四、借助角平分线造全等1、如图,已知在△ABC中,∠B=60°,△ABC的角平分线AD,CE相交于点O,求证：OE=OD2、如图,△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.〔1说明BE=CF的理由；〔2如果AB=,AC=,求AE、BE的长.应用：1、如图①,OP是∠MON的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题：〔1如图②,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；<第23题图>OPAMNEB<第23题图>OPAMNEBCDFACEFBD图①图②图③五、旋转例1正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF的度数.例2D为等腰斜边AB的中点,DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。当绕点D转动时,求证DE=DF。若AB=2,求四边形DECF的面积。例3如图,是边长为3的等边三角形,是等腰三角形,且,以D为顶点做一个角,使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN,则的周长为；应用：1、已知四边形中,,,,,,绕点旋转,它的两边分别交〔或它们的延长线于．当绕点旋转到时〔如图1,易证．当绕点旋转到时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立？若成立,请给予证明；若不成立,线段,又有怎样的数量关系？请写出你的猜想,不需证明．〔图〔图1〔图2〔图32、〔西城09年一模已知:PA=,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.<1>如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;<2>当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小.3、在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,D为外一点,且,,BD=DC.探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时,BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系．图1图2图3〔=1\*ROMANI如图1,当点M、N边AB、AC上,且DM=DN时,BM、NC、MN之间的数量关系是；此时；〔=2\*ROMANII如图2,点M、N边AB、AC上,且当DMDN时,猜想〔=1\*ROMANI问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；〔=3\*ROMANIII如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时,若AN=,则Q=〔用、L表示．参考答案与提示一、倍长中线〔线段造全等例1、〔"希望杯"试题已知,如图△ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是_________.解：延长AD至E使AE＝2AD,连BE,由三角形性质知AB-BE<2AD<AB+BE故AD的取值范围是1<AD<4例2、如图,△ABC中,E、F分别在AB、AC上,DE⊥DF,D是中点,试比较BE+CF与EF的大小.解：<倍长中线,等腰三角形"三线合一"法>延长FD至G使FG＝2EF,连BG,EG,显然BG＝FC,在△EFG中,注意到DE⊥DF,由等腰三角形的三线合一知EG＝EF在△BEG中,由三角形性质知EG<BG+BE故：EF<BE+FC例3、如图,△ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中点,求证：AD平分∠BAE.解：延长AE至G使AG＝2AE,连BG,DG,显然DG＝AC,∠GDC=∠ACD由于DC=AC,故∠ADC=∠DAC在△ADB与△ADG中,BD＝AC=DG,AD＝AD,∠ADB=∠ADC+∠ACD=∠ADC+∠GDC＝∠ADG故△ADB≌△ADG,故有∠BAD=∠DAG,即AD平分∠BAE应用：1、〔09崇文二模以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt,连接DE,M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．〔1如图①当为直角三角形时,AM与DE的位置关系是,线段AM与DE的数量关系是；〔2将图①中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转<0<<90>后,如图②所示,〔1问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．二、截长补短1、如图,中,AB=2AC,AD平分,且AD=BD,求证：CD⊥AC解：〔截长法在AB上取中点F,连FD△ADB是等腰三角形,F是底AB中点,由三线合一知DF⊥AB,故∠AFD＝90°△ADF≌△ADC〔SAS∠ACD＝∠AFD＝90°即：CD⊥AC2、如图,AD∥BC,EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA,CD过点E,求证;AB＝AD+BC解：〔截长法在AB上取点F,使AF＝AD,连FE△ADE≌△AFE〔SAS∠ADE＝∠AFE,∠ADE+∠BCE＝180°∠AFE+∠BFE＝180°故∠ECB＝∠EFB△FBE≌△CBE〔AAS故有BF＝BC从而;AB＝AD+BC3、如图,已知在△ABC内,,,P,Q分别在BC,CA上,并且AP,BQ分别是,的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP解：〔补短法,计算数值法延长AB至D,使BD＝BP,连DP在等腰△BPD中,可得∠BDP＝40°从而∠BDP＝40°＝∠ACP△ADP≌△ACP〔ASA故AD＝AC又∠QBC＝40°＝∠QCB故BQ＝QCBD＝BP从而BQ+AQ=AB+BP4、如图,在四边形ABCD中,BC＞BA,AD＝CD,BD平分,求证：解：〔补短法延长BA至F,使BF＝BC,连FD△BDF≌△BDC〔SAS故∠DFB＝∠DCB,FD＝DC又AD＝CD故在等腰△BFD中∠DFB＝∠DAF故有∠BAD+∠BCD＝180°5、如图在△ABC中,AB＞AC,∠1＝∠2,P为AD上任意一点,求证;AB-AC＞PB-PC解：〔补短法延长AC至F,使AF＝AB,连PD△ABP≌△AFP〔SAS故BP＝PF由三角形性质知PB－PC＝PF－PC<CF＝AF－AC＝AB－AC应用：三、平移变换例1AD为△ABC的角平分线,直线MN⊥AD于A.E为MN上一点,△ABC周长记为,△EBC周长记为.求证＞.解：〔镜面反射法延长BA至F,使AF＝AC,连FEAD为△ABC的角平分线,MN⊥AD知∠FAE＝∠CAE故有△FAE≌△CAE〔SAS故EF＝CE在△BEF中有：BE+EF>BF=BA+AF=BA+AC从而PB=BE+CE+BC>BF+BC=BA+AC+BC=PA例2如图,在△ABC的边上取两点D、E,且BD=CE,求证：AB+AC>AD+AE.证明：取BC中点M,连AM并延长至N,使MN=AM,连BN,DN.∵BD=CE,∴DM=EM,∴△DMN≌△EMA<SAS>,∴DN=AE,同理BN=CA.延长ND交AB于P,则BN+BP>PN,DP+PA>AD,相加得BN+BP+DP+PA>PN+AD,各减去DP,得BN+AB>DN+AD,∴AB+AC>AD+AE。四、借助角平分线造全等1、如图,已知在△ABC中,∠B=60°,△ABC的角平分线AD,CE相交于点O,求证：OE=OD,DC+AE=AC证明<角平分线在三种添辅助线,计算数值法>∠B=60度,则∠BAC+∠BCA=120度;AD,CE均为角平分线,则∠OAC+∠OCA=60度=∠AOE=∠COD;∠AOC=120度.在AC上截取线段AF=AE,连接OF.又AO=AO;∠OAE=∠OAF.则⊿OAE≌ΔOAF<SAS>,OE=OF;AE=AF;∠AOF=∠AOE=60度.则∠COF=∠AOC-∠AOF=60度=∠COD;又CO=CO;∠OCD=∠OCF.故⊿OCD≌ΔOCF<SAS>,OD=OF;CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.2、如图,△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.〔1说明BE=CF的理由；〔2如果AB=,AC=,求AE、BE的长.解：<垂直平分线联结线段两端>连接BD,DCDG垂直平分BC,故BD＝DC由于AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,故有ED＝DF故RT△DBE≌RT△DFC〔HL故有BE＝CF。AB+AC＝2AEAE＝〔a+b/2BE=<a-b>/2应用：1、如图①,OP是∠MON的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题：〔1如图②,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；<第23题图>OPAMNEB<第23题图>OPAMNEBCDFACEFBD图①图②图③五、旋转例1正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF的度数.证明：将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度,至三角形ABG则GE=GB+BE=DF+BE=EF又AE=AE,AF=AG,所以三角形AEF全等于AEG所以∠EAF=∠GAE=∠BAE+∠GAB=∠BAE+∠DAF又∠EAF+∠BAE+∠DAF=90所以∠EAF=45度例2D为等腰斜边AB的中点,DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。<1>当绕点D转动时,求证DE=DF。<2>若AB=2,求四边形DECF的面积。解：<计算数值法>〔1连接DC,D为等腰斜边AB的中点,故有CD⊥AB,CD＝DACD平分∠BCA＝90°,∠ECD＝∠DCA＝45°由于DM⊥DN,有∠EDN＝90°由于CD⊥AB,有∠CDA＝90°从而∠CDE＝∠FDA＝故有△CDE≌△ADF〔ASA故有DE=DF〔2S△ABC=2,S四DECF=S△ACD=1例3如图,是边长为3的等边三角形,是等腰三角形,且,以D为顶点做一个角,使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN,则的周长为；解：<图形补全法,"截长法"或"补短法",计算数值法>AC的延长线与BD的延长线交于点F,在线段CF上取点E,使CE＝BM∵△ABC为等边三角形,△BCD为等腰三角形,且∠BDC=120°,

∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°,

∠DCE=180°-∠ACD=180°-∠ABD=90°,

又∵BM=CE,BD=CD,

∴△CDE≌△BDM,

∴∠CDE=∠BDM,DE=DM,

∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°,

∵在△DMN和△DEN中,

DM=DE∠MDN=∠EDN=60°

DN=DN∴△DMN≌△DEN,

∴MN=NE∵在△DMA和△DEF中,

DM=DE∠MDA=60