山东省淄博市第五中学2022-2023学年高三数学理下学期期末试题含解析

山东省淄博市第五中学2022-2023学年高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若向区域内投点，则该点落在由直线y=x与曲线围成区域内的概率为A. B. C. D.参考答案：B 由直线与曲线围成区域的面积为，从而所求概率为.故选B.2.关于的方程，给出下列四个命题：

①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；

②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；

③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；

④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根．

其中假命题的个数是

A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：B．本题考查换元法及方程根的讨论，要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力；据题意可令①，则方程化为②，作出函数的图象，结合函数的图象可知：（1）当t=0或t>1时方程①有2个不等的根；（2）当0<t<1时方程①有4个根；（3）当t=1时，方程①有3个根．故当t=0时，代入方程②，解得k=0此时方程②有两个不等根t=0或t=1,故此时原方程有5个根；当方程②有两个不等正根时，即此时方程②有两根且均小于1大于0，故相应的满足方程的解有8个，即原方程的解有8个；当时，方程②有两个相等正根t＝，相应的原方程的解有4个；故选B．3.在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．若．则角C等于A． B． C． D．参考答案：A4.参考答案：A5.已知一个三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的表面积为（

）A．

B．C．D．参考答案：D6.已知是定义在上的奇函数，且恒成立，当时，则的值为(

)

A.

B.

C．

D．参考答案：B7.已知函数在[0，2）上的最大值为a，在（2，4]上的最小值为b，则a+b=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2参考答案：D【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】由函数g（x）=在（﹣∞，2），（2，+∞）单调递减，函数h（x）=cos在[0，4]单调递减，可得函数在[0，2），（2，4]上单调性，即可求得a，b即可．【解答】解：函数g（x）=，函数g（x）是函数y=向右平移2个单位，向上平移1个单位，故函数g（x）在（﹣∞，2），（2，+∞）单调递减；对于函数h（x）=cos，由2k（k∈Z），得8k≤x≤8k+4，故函数h（x）在[0，4]单调递减．∴函数在[0，2）上单调递减，故其最大值为f（0）=a，∴a=1，函数在（2，4]上单调递减，其最小值为f（4）=b，∴b=1．所以a+b=2，故选D．8.在等差数列{an}中，a1=﹣2011，其前n项的和为Sn．若﹣=2，则S2011=（）A．﹣2010 B．2010 C．2011 D．﹣2011参考答案：D【考点】等差数列的前n项和．【分析】Sn是等差数列的前n项和，可得数列是首项为a1的等差数列，利用通项公式即可得出．【解答】解：∵Sn是等差数列的前n项和，∴数列是首项为a1的等差数列；由﹣=2，则该数列公差为1，∴=﹣2011+=﹣1，∴S2011=﹣2011．故选：D．9.如图，已知=，=，=3，用，表示，则等于（）A．+B．+C．+D．+参考答案：B10.已知函数f（x）=x3﹣x2﹣x+a的图象与x轴只有一个交点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣，+∞）B．（﹣，1）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）参考答案：D【分析】求出导数，求出单调区间，求出极值，曲线f（x）与x轴仅有一个交点，可转化成f（x）极大值＜0或f（x）极小值＞0即可．【解答】解：函数f（x）=x3﹣x2﹣x+a的导数为f′（x）=3x2﹣2x﹣1，当x＞1或x＜﹣时，f′（x）＞0，f（x）递增；当﹣＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减．即有f（1）为极小值，f（﹣）为极大值．∵f（x）在（﹣∞，﹣）上单调递增，∴当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；又f（x）在（1，+∞）单调递增，当x→+∞时，f（x）→+∞，∴当f（x）极大值＜0或f（x）极小值＞0时，曲线f（x）与x轴仅有一个交点．即a+＜0或a﹣1＞0，∴a∈（﹣∞，﹣）∪（1，+∞），故选：D．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数的单调性，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在中，，面积为,则=________.参考答案：略12.在中，角所对的边分别为且，则的外接圆的半径

参考答案：13.右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第行第列的数为（），则等于

，.参考答案：

由题意可知第一列首项为，公差，第二列的首项为，公差，所以，，所以第5行的公比为，所以。由题意知，，所以第行的公比为，所以14.（文）若是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角的大小为_______

(结果用反三角函数值表示)参考答案：因为是直线的一个方向向量，即直线的斜率，所以，所以，即直线的倾斜角为。15.若lga＋lgb＝0(a≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝－bx的图象关于________对称．参考答案：原点由lga＋lgb＝0?ab＝1?b＝，所以g(x)＝－a－x，故f(x)与g(x)关于原点对称．16.若的垂心恰好为抛物线的焦点，O为坐标原点，点A、B在此抛物线上，则此抛物线的方程是_______，面积是________。参考答案：、因为焦点为，所以抛物线的方程是。设，由抛物线的对称性可知，。又因为，得，解得（不妨取正值），从而可得。

17.定义在上的函数满足：(1)；（2）当时，，则集合中的最小元素是

.参考答案：6三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆的右焦点为，M点的坐标为，O为坐标原点，是等腰直角三角形.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）经过点作直线AB交椭圆C于A、B两点，求面积的最大值；（Ⅲ）是否存在直线l交椭圆于P、Q两点，使点F为的垂心（垂心：三角形三边高线的交点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.参考答案：（Ⅰ）由是等腰直角三角形，可得，故椭圆的方程为.

（Ⅱ）由构成三角形，所以不垂直轴.设过点的直线的方程为，的横坐标分别为，联立直线与椭圆的方程，消元可得，首先，有.同时，所以，

令，则，，令，则，（当且仅当时取等号）。又面积，所以面积的最大值为.

（Ⅲ）假设存在直线交椭圆于两点，且使点为的垂心，设，因为，，所以．

于是设直线的方程为，联立椭圆方程，消元可得．由，得，同时，且,由题意应有,其中，所以，,．解得或．

当时，不存在，故舍去．当时，所求直线存在，且直线的方程.

19.某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制.各等制划分标准为：85分及以上，记为A等；分数在内，记为B等，分数在内，记为C等；60分以上，记为D等.同时认定A，B，C为合格，D为不合格.已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照，，，，的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为C，D的所有数据茎叶图如图2所示.（1）求图1中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（2）在选取的样本中，从甲，乙两校C等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用X表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量X的分布列和数学期望.参考答案：（1）由题意，可知，∴.∴甲学校的合格率为，而乙学校的合格率为，∴甲、乙两校的合格率均为.（2）样本中甲校等级的学生人数为，而乙校等级的学生人数为.∴随机抽取人中，甲校学生人数的可能取值为，，，，∴，，，，∴的分布列为数学期望.20.

已知函数“的定义域为R”；命题q：“的值域为R”

（I）若命题p为真，求实数a的取值范围；

（I）若命题q为真，求实数a的取值范围；

（I）的什么条件？请说明理由。参考答案：解：（Ⅰ）命题为真，即的定义域是，等价于恒成立，

…2分等价于或

…3分解得或．∴实数的取值范围为，，．……………5分（Ⅱ）命题为真，即的值域是，等价于的值域，……………6分等价于或………………8分解得．∴实数的取值范围为，．…10分（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，：；：．而，∴是的必要而不充分的条件．……13分21.（12分）设函数.

(1)判断函数奇偶性；（2）证明：的导数；

(3)求函数在区间的最大值和最小值(结果用分式表示).参考答案：解析:（1）∵,,∴函数的定义域为实数R.

……1分又∵∴函数为奇函数.

……4分（2）的导数．

……6分由于，故．（当且仅当时，等号成立）．

……8分(3)由（2）可知函数在单调递增，所以在区间上也单调递增，故函数在处取得最大值，最大值为……10分在处取得最大值，最大值为

……12分

22.已知函数f（x）=x2﹣ax，g（x）=lnx．（1）；令F（x）=f（x）﹣g（x），求F（x）的单调区间；（2）设r（x）=f（x）+g（）对任意a∈（1，2），总存在x∈[，1]使不等式r（x）＞k（1﹣a2）成立，求实数k的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用．【分析】（1）求出F（x）的导数，解关于导函数的方程，从而求出函数的单调区间即可；（2）a∈（1，2）时，求出F（x）的导数，判断函数在（，+∞）时，F（x）是增函数，于是问题等价于：对任意的a∈（1，2），不等式ln+1﹣a+k（a2﹣1）＞0恒成立，再利用导函数研究不等式左边的最小值看是否符合要求，即可求实数m的取值范围．【解答】解：（1）F（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣ax﹣lnx，x＞0F′（x）=2x﹣a﹣=，令h（x）=2x2﹣ax﹣1，△=a2+8＞0，解h（x）=0得：x1=＜0（舍），x2=＞0，∴F（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；（2）r（x）=f（x）+g（）=x2﹣ax+ln，∴r′（x）=，∵a∈（1，2），∴＜，∴x∈（，+∞）时，F（x）是增函数，∴x∈[，1]，F（x）max=F（1）=1﹣a+ln，a∈（1，2），∵对任意的a∈（1，2），总存在x∈[，1]，使不等式F（x）＞k（1﹣a2）成立，∴对任意的a∈（1，2），不等式1﹣a+ln＞k（1﹣a2）成立．于是问题等价于：对任意的a∈（1，2），不等式ln+1﹣a+k（a2﹣1）＞0恒成立．记g（a）=ln+1﹣a+k（a2﹣1），（1＜a＜2）则g′（a）=（2ka﹣1+2k），当k=0时，g′（a）=＜0，∴g（a）在区间（1，2）上递