山东省淄博市众城中学2022-2023学年高一数学理上学期期末试题含解析

山东省淄博市众城中学2022-2023学年高一数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知是奇函数,当时,当时=()A.

B.

C.

D.参考答案：D2.已知，其中，且，则向量和的夹角是（）A. B. C. D.参考答案：B试题分析：由题意知，所以，设与的夹角为，则，，故选B．考点：1、向量的概念；2、向量的数量积．3.已知是定义在上的偶函数，它在上递减，那么一定有

（

）A．

B．C．

D．

参考答案：B4.若角a的终边在直线y=-2x上，且sina>0，则值为(

)

A．

B．C．

D．-2参考答案：B5.若a=20.5，b=0.32.1，c=log5，d=log5，则(

)A．b＞a＞c＞d B．b＞a＞d＞c C．a＞b＞d＞c D．a＞b＞c＞d参考答案：C【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据指数函数和对数函数的性质判断取值范围进行求解即可．【解答】解：a=20.5∈（1，2），b=0.32.1∈（0，1），c=log5=＜0，d=log5=＜0，∵，∴＜＜0，即c＜d＜0，则a＞b＞d＞c，故选：C．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据指数函数和对数函数的性质判断a，b，c，d的符号和范围是解决本题的关键．6.的图象与坐标轴的所有交点中，距离原点最近的两个点为和，那么该函数图象的所有对称轴中，距离y轴最近的一条对称轴是（）A．x=﹣1 B． C．x=1 D．参考答案：A【考点】正弦函数的图象．【分析】求出函数的解析式，即可求出该函数图象的所有对称轴中，距离y轴最近的一条对称轴．【解答】解：由题意sin（）=0，0＜ω＜π，∴ω=，∴y=sin（x+），令x+=kπ+，可得x=3k﹣1（k∈Z），∴该函数图象的所有对称轴中，距离y轴最近的一条对称轴是x=﹣1，故选A．7.已知对任意不等式恒成立（其中，是自然对数的底数），则实数a的取值范围是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：A由得，令，则，在是增函数，在上是减函数，，.

8.函数f（x）=log3x﹣8+2x的零点一定位于区间(

)A．（5，6） B．（3，4） C．（2，3） D．（1，2）参考答案：B【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题．【分析】根据函数零点存在定理，若f（x）=log3x﹣8+2x若在区间（a，b）上存在零点，则f（a）?f（b）＜0，我们根据函数零点存在定理，对四个答案中的区间进行判断，即可得到答案．【解答】解：当x=3时，f（3）=log33﹣8+2×3=﹣1＜0当x=4时，f（4）=log34﹣8+2×4=log34＞0即f（3）?f（4）＜0又∵函数f（x）=log3x﹣8+2x为连续函数故函数f（x）=log3x﹣8+2x的零点一定位于区间（3，4）故选B【点评】本题考查的知识点是零点存在定理，我们求函数的零点通常有如下几种方法：①解方程；②利用零点存在定理；③利用函数的图象，其中当函数的解析式已知时（如本题），我们常采用零点存在定理．9.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且若，则△ABC的形状是（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形参考答案：C【分析】直接利用余弦定理的应用求出A的值，进一步利用正弦定理得到：b＝c，最后判断出三角形的形状．【详解】在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2＝a2+bc．则：，由于：0＜A＜π，故：A．由于：sinBsinC＝sin2A，利用正弦定理得：bc＝a2，所以：b2+c2﹣2bc＝0，故：b＝c，所以：△ABC为等边三角形．故选：C．【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．10.如图，一个质点从原点出发，在与x轴、y轴平行的方向按（0,0）→（0,1）→（1,1）→（1,0）→（2，0）→（2，1）→（2,2）→（1，2）…的规律向前移动，且每秒钟移动一个单位长度，那么到第2014秒时，这个质点所处位置的坐标是A．

B．

C．

D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001，0002，0003，…，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分成50个部分，如果第一部分编号为0001，0002，0003，…，0020，第一部分随机抽取一个号码为0015，则抽取的第10个号码为____________.参考答案：019512.已知a>1，则不等式a+的最小值为___________。参考答案：解析：a+=a-1++1≥1+2，当且仅当a-1=，即a=1+时等号成立。∴不等式a+的最小值为1+2。13.若定义域为R的偶函数在［0，＋∞）上是增函数，且，则不等式的解集是____________.参考答案：略14.若关于的方程.有一正一负两实数根，则实数的取值范围________________。参考答案：

解析：15.已知集合A=,B=,且A=B,则实数

参考答案：略16.已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为参考答案：32【考点】BA：茎叶图．【分析】根据中位数相同求出m的值，从而求出甲的平均数即可．【解答】解：由乙的数据是：21，32，34，36得中位数是33，故m=3，故=（27+33+36）=32，故答案为：32．17.碗里有花生馅汤圆2个、豆沙馅汤圆3个、芝麻馅汤圆4个，从中随机舀取一个品尝，不是豆沙馅的概率为

．参考答案：。

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）已知函数f（x）=，（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性；（Ⅱ）求函数f（x）的值域．参考答案：考点： 函数奇偶性的判断；函数的值域．专题： 计算题；函数的性质及应用．分析： （I）求出函数的定义域，再计算f（﹣x），与f（x）比较，即可判断奇偶性；（Ⅱ）令t=3x，则t＞0，转化为t的函数，运用分离变量，结合不等式的性质，即可得到所求值域．解答： （I）f（x）的定义域为R，∵，∴f（x）是奇函数；（Ⅱ）令t=3x，则t＞0，∴，∵t＞0，∴t2+1＞1，，即，∴函数f（x）的值域为（﹣1，1）．点评： 本题考查函数的奇偶性的判断和值域的求法，考查定义法和指数函数的值域的应用，考查运算能力，属于基础题．19.（本小题满分12分）如图，椭圆的顶点为，焦点为，.（Ⅰ）求椭圆C的方程；(Ⅱ)设n为过原点的直线，是与n垂直相交于P点，与椭圆相交于A,B两点的直线，.是否存在上述直线使成立？若存在，求出直线的方程；并说出；若不存在，请说明理由.参考答案：解:(Ⅰ)由知a2+b2=7,

①由知a=2c,

②又b2=a2-c2

③由①，②，③解得a2=4，b2=3，故椭圆C的方程为

…4分(Ⅱ)设A、B两点的坐标分别为，假设使成立的直线l存在，(i)当l不垂直于x轴时，设l的方程为，由l与n垂直相交于P点且得，即.

……………………5分由得

…………………6分将代入椭圆方程，得，由求根公式可得④

⑤

…………7分

将④，⑤代入上式并化简得

⑥将代入⑥并化简得，矛盾.即此时直线不存在.

…………9分（ii）当垂直于轴时，满足的直线的方程为，则A,B两点的坐标为或当时，当时，

∴此时直线也不存在.

…11分综上可知，使成立的直线不存在.

…12分20.已知函数．（1）求的最小正周期和单调增区间；（2）设，求的值域．学科

参考答案：解：（1）∵学科

单调增区间为

（2）∵，，

又，，

的值域为．

略21.如图，△ABC中，O是BC的中点，AB=AC，AO=2OC=2．将△BAO沿AO折起，使B点与图中B'点重合．（Ⅰ）求证：AO⊥平面B′OC；（Ⅱ）当三棱锥B'﹣AOC的体积取最大时，求二面角A﹣B′C﹣O的余弦值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问在线段B′A上是否存在一点P，使CP与平面B′OA所成的角的正弦值为？证明你的结论．参考答案：【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定；MI：直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）证明AO⊥OB'，AO⊥OC，然后利用直线与平面垂直的判定定理证明AO⊥平面B'OC．（Ⅱ）在平面B'OC内，作B'D⊥OC于点D，判断当D与O重合时，三棱锥B'﹣AOC的体积最大，解法一：过O点作OH⊥B'C于点H，连AH，说明∠AHO即为二面角A﹣B'C﹣O的平面角，然后就三角形即可得到结果．解法二：依题意得OA、OC、OB'两两垂直，分别以射线OA、OC、OB'为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，求出平面B'OC的法向量为，求出平面AB'C的法向量为，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值．（Ⅲ）解法一：存在，且为线段AB'的中点，证明设，求出，以及平面B'OA的法向量，利用空间向量的距离公式求解即可．解法二：连接OP，因为CO⊥平面B'OA，得到∠OPC为CP与面B'OA所成的角，通过就三角形即可求出即P为AB'的中点．【解答】解：（Ⅰ）∵AB=AC且O是BC中点，∴AO⊥BC即AO⊥OB'，AO⊥OC，又∵OB'∩OC=O，∴AO⊥平面B'OC…（Ⅱ）在平面B'OC内，作B'D⊥OC于点D，则由（Ⅰ）可知B'D⊥OA又OC∩OA=O，∴B'D⊥平面OAC，即B'D是三棱锥B'﹣AOC的高，又B'D≤B'O，所以当D与O重合时，三棱锥B'﹣AOC的体积最大，…解法一：过O点作OH⊥B'C于点H，连AH，由（Ⅰ）知AO⊥平面B'OC，又B'C?平面B'OC，∴B'C⊥AO∵AO∩OH=O，∴B'C⊥平面AOH，∴B'C⊥AH，∴∠AHO即为二面角A﹣B'C﹣O的平面角．…，∴，∴，故二面角A﹣B1C﹣O的余弦值为…解法二：依题意得OA、OC、OB'两两垂直，分别以射线OA、OC、OB'为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，设平面B'OC的法向量为，可得设平面