（新课改地区）2021届高考数学一轮复习课件：第八章立体几何初步8.3空间中的平行关系

第三节空间中的平行关系【教材·知识梳理】1.直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与_________的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)

因为_________________，所以l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的_____与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)

因为_______________________，所以l∥b此平面内l∥a，a⊂α，l⊄α交线l∥α，l⊂β，α∩β=b2.平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条_________与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)

因为____________________________________，所以α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面_____，那么它们的_____平行

因为_____________________________，所以a∥b相交直线a∥β，b∥β，a∩b=P，a⊂α，b⊂α相交交线α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b【常用结论】1.两个平面平行，则其中任意一个平面内的直线与另一个平面平行.2.三种平行关系的转化：

线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想，解题中既要注意一般的转化规律，又要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向.

【知识点辨析】

(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α. (

)(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线. (

)(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行. (

)(4)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面. (

)(5)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面. (

)(6)平行于同一条直线的两个平面平行. (

)提示：(1)×.若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α或a⊂α.(2)×.一条直线与一个平面平行，那么它与平面内的直线可能平行，也可能是异面直线.(3)×.如果一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.(4)×.若平面外的一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面.(5)√.这两条直线没有公共点.(6)×.平行于同一条直线的两个平面平行或相交.【易错点索引】序号易错警示典题索引1证明线面平行时忽略该直线不在平面内致误考点一、T3考点二、T22利用线面平行的性质定理时不会找过该直线的平面考点二、T13证明面面平行时忽略两直线相交致误考点三、角度1【教材·基础自测】1.(必修2P44练习BT2改编)平面α∥平面β的一个充分条件是 (

)A.存在一条直线a,a∥α,a∥βB.存在一条直线a,a⊂α,a∥βC.存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥αD.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α【解析】选D.若α∩β=l,a∥l,a⊄α,a⊄β,则a∥α,a∥β,故排除A.若α∩β=l,a⊂α,a∥l,则a∥β,故排除B.若α∩β=l,a⊂α,a∥l,b⊂β,b∥l,则a∥β,b∥α,故排除C.2.(必修2P46练习AT1改编)下列命题中正确的是 (

)A.若a,b是两条直线,且a∥b,那么a平行于经过b的任何平面B.若直线a和平面α满足a∥α,那么a与α内的任何直线平行C.平行于同一条直线的两个平面平行D.若直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,b⊄α,则b∥α【解析】选D.A中,a可以在过b的平面内;B中,a与α内的直线可能异面;C中,两平面可相交;D中,由直线与平面平行的判定定理知,b∥α,正确.3.(必修2P44练习BT4改编)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点,则BD1与平面AEC的位置关系为________.

【解析】连接BD,设BD∩AC=O,连接EO,在△BDD1中,O为BD的中点,所以EO为△BDD1的中位线,则BD1∥EO,而BD1⊄平面ACE,EO⊂平面ACE,所以BD1∥平面ACE.答案:平行【思想方法】函数与方程思想在立体几何中的应用

【典例】如图所示,在四面体ABCD中,截面EFGH平行于对棱AB和CD,试问截面在什么位置时,其截面面积最大?【解析】因为AB∥平面EFGH,平面EFGH与平面ABC和平面ABD分别交于FG,EH.所以AB∥FG,AB∥EH,所以FG∥EH,同理可证EF∥GH,所以截面EFGH是平行四边形.设AB=a,CD=b,∠FGH=α(α即为异面直线AB和CD所成的角或其补角).又设FG=x,GH=y,则由平面几何知识可得两式相加得即y=(a-x),所以S▱EFGH=FG·GH·sinα=x·

·(a-x)·sinα=(a-x).因为x>0,a-x>0且x+(a-x)=a为定值,所以当且仅当x=a-x时,此时x=,y=.即当截面EFGH的顶点E、F、G、H为棱AD、AC、BC、BD的中点时截面面积最大.【思想方法指导】(1)立体几何中的最值或范围问题,常用函数思想来解决.(2)常见问题是求几何体截面面积或周长的最值或范围,动点的轨迹等,解题关键是通过对几何体中条件的分析和转化,设出未知量,建立函数关系式或轨迹方程.【迁移应用】如图所示,侧棱与底面垂直,且底面为正方形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,AB=1,M,N分别在AD1,BC上移动,始终保持MN∥平面DCC1D1,设BN=x,MN=y,则函数y=f(x)的图象大致是 (

)【解析】选C.过M作MQ∥DD1,交AD于点Q,连接QN.因为MQ⊄平面DCC1D1,DD1⊂平面DCC1D1,所以MQ∥平面DCC1D1.因为MN∥平面DCC1D1,MN∩MQ=M,所以平面MNQ∥平面DCC1D1.又平面ABCD与平面MNQ和DCC1D1分别交于QN和DC,