【高考数学】天津市西青区2022-2023学年专项突破模拟试卷（一模二模）含解析

【高考】模拟【高考数学】天津市西青区2022-2023学年专项突破模拟试卷（一模）第I卷（选一选）评卷人得分一、单选题1．已知集合，，，则（

）A． B． C． D．2．设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．函数的大致图象为A． B．C． D．4．某校1000名学生参加数学竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说确的是（

）A．频率分布直方图中a的值为0.012B．估计这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80C．估计这20名学生数学考试成绩的众数为80D．估计总体中成绩落在内的学生人数为1105．设，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．6．已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上，圆锥的母线长为3，侧面展开图的面积为，则球O的表面积等于（

）A． B． C． D．7．已知双曲线的两条渐近线与抛物线（）的准线分别相交于点A，B两点，O为坐标原点.若双曲线的离心率为2，的面积为，则（

）A．1 B．2 C．3 D．48．如图，在海岸线一侧有一休闲游乐场，游乐场的其中一部分边界为曲线段，该曲线段是函数（，，），的图像，图像的点为，曲线段上的入口D到海岸线的距离为千米，现准备从入口D修一条笔直的景观路到O，则景观路的长为（

）A．千米 B．千米 C．千米 D．3千米9．设，，若函数在内有4个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．第II卷（非选一选）评卷人得分二、填空题10．复数（i为虚数单位），则复数z的虚部为___________.11．在的展开式中，的系数是___________.（用数字作答）12．已知直线与圆O：相交于A，B两点（O为坐标原点），且为等腰直角三角形，则实数a的值为___________.13．已知，，且，则的最小值为__________.评卷人得分三、双空题14．天津市某学校组织学生进行知识竞赛，规则为：每位参赛学生都要回答3个问题，且这3个问题回答正确与否相互之间互不影响，若每答对1个问题，得1分；答错，得0分，按照得分多少排出名次，并分设为一、二、三等奖给予奖励.已知对给出的3个问题，学生甲答对的概率分别为，，，则学生甲恰好答对1个问题的概率为__________；在上述条件下，设随机变量X表示学生甲答对题目的个数，则X的数学期望为__________.15．如图，在菱形中，，，E，F分别为，上的点，，，若线段上存在一点M，使得，则__________，若点N为线段上一个动点，则的取值范围为__________.评卷人得分四、解答题16．在中，内角、、的对边分别为，，，．（1）求角的大小；（2）若，．求：（ⅰ）边长；（ⅱ）的值．17．如图，三棱柱中，平面，，，，以，为邻边作平行四边形，连接和.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）线段上是否存在点，使平面与平面垂直？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.18．已知点，分别是椭圆的左顶点和上顶点，为其右焦点，，且该椭圆的离心率为；（1）求椭圆的标准方程；（2）设点为椭圆上的一动点，且不与椭圆顶点重合，点为直线与轴的交点，线段的中垂线与轴交于点，若直线斜率为，直线的斜率为，且（为坐标原点），求直线的方程.19．已知等差数列中，，，数列满足，．（1）求，的通项公式；（2）记为数列的前项和，试比较与的大小；（3）任意，，求数列的前项和．20．已知函数，（），其中e是自然对数的底数.(1)当时，（ⅰ）求在点处的切线方程；（ⅱ）求的最小值；(2)讨论函数的零点个数；(3)若存在，使得成立，求a的取值范围【高考】模拟【高考】模拟答案：1．D先根据交集定义计算，再由并集定义求．【详解】由题知，，∴．故选：D.本题考查集合交、并运算，掌握集合运算的定义是解题基础．2．B【分析】先解不等式，得出两个命题所表示的解的集合的关系，再分别判断命题的充分性和必要性是否成立.【详解】解不等式，得；解不等式，得.设集合，.充分性：因为集合不是集合的子集，故充分性不成立；必要性：因为成立，故必要性成立；综上可得“”是“”的必要不充分条件.故选：B3．D根据函数奇偶性排除A、C.当时排除B【详解】解：由可得所以函数为偶函数，排除A、C.因为时，，排除B.故选：D.4．B【分析】根据所有矩形的面积和为1求出，然后逐一判断即可.【详解】由可得，故A错误前三个矩形的面积和为，所以这20名学生数学考试成绩的第60百分位数为80，故B正确这20名学生数学考试成绩的众数为，故C错误这20名学生数学考试成绩落在内的学生人数为，则总体中成绩落在内的学生人数为，故D错误故选：B5．C【分析】对通过估计值可以直接比较；对于需要换底公式以及不等式的性质进行比较.【详解】，因为，所以；因为在R上单调递增，且，所以，即，所以；所以又，，因为因为在R上单调递增，且，所以，即，所以，又因为，所以，即，综上.故选：C.6．A【分析】由圆锥侧面面积求得圆锥的底面半径，作出圆锥的轴截面，其外接圆是球的大圆，由图形求得球半径，从而可得球表面积．【详解】设底面半径为，圆锥母线为，所以，所以，如图，是圆锥轴截面，外接圆是球的大圆，是圆锥底面的圆心，设球半径为，则，，所以，如图1，，即，解得，不符合题意，当为如图2时，即，解得，所以球表面积为．故选：A．方法点睛：本题考查求球的表面积，解题关键是求得球的半径．在球圆锥或圆柱、圆台问题中可以作出圆柱（圆锥，圆台）的轴截面，轴截面的外接圆为球的大圆，由此建立了球半径与圆柱（圆锥圆台）的量之间的关系．7．B【分析】由公式可得渐近线斜率，数形根据三角形面积列方程可得.【详解】如图，记抛物线的准线与x轴交于点D，由题知，，解得所以，因为，所以所以，解得故选：B8．C【分析】图像中的数据求出函数的解析式，由此可求的坐标，再求的长.【详解】由图像可得函数的值为2，周期所以，，又函数的图像点，所以，又，所以，所以，因为D到海岸线的距离为千米，可设的坐标为，所以，又，所以，所以景观路的长为（千米），故选：C.9．D【分析】由于不是函数的零点，则，令，将零点个数问题转化为函数与函数的交点个数问题，图象，即可得出实数的取值范围.【详解】很明显不是函数的零点令函数，则则令则函数的图象与在内有个交点函数的图象如图所示：由图可得.故选：D本题主要考查了根据函数的零点个数求参数的范围，属于中档题.10．##1.5【分析】根据复数的除法运算化简，再由虚部的定义求复数z的虚部.【详解】因为，所以复数z的虚部为，故答案为.11．60【分析】根据二项式定理写出展开项的通项公式，令x的指数为3即可求解.【详解】由二项式定理可得：，令，r=4，∴的系数=；故60.12．##或【分析】分析图中的几何关系，即点到直线的距离为1，利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】如图：因为是等于直角三角形，所以圆心（0,0）到直线的距离为，应用点到直线的距离公式得：；故.13．【分析】将目标式中4代换成，展开由基本不等式可得.【详解】因为所以当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为.故14．

##0.25

【分析】根据互斥和的概率计算公式求学生甲恰好答对1个问题的概率；题意确定可能取的值分别为，求出对应的概率，即可计算期望.【详解】设甲答对第个问题为，，由已知可得，，，学生甲恰好答对1个问题可以表示为，又互斥，且，，两两相互，所以，学生甲恰好答对1个问题的概率为，由题意，随机变量的可能取值分别为：；所以，，，，因此，.故；.15．

【分析】以菱形的对角线为在不在建立平面直角坐标系，通过坐标运算先求M坐标然后可得，再用坐标表示出，由二次函数性质可得所求范围.【详解】因为为菱形，所以，以BD、AC所在直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系，因为，，所以则，设因为，所以解得，所以又所以因为，所以当时，有最小值，当时，有值，所以的取值范围为故，16．（1）；

（2）（ⅰ）；（ii）．（1）利用正弦定理化简已知条件，求得的值，由此求得角的大小.（2）（ⅰ）已知两边和夹角，用余弦定理求得边；（ⅱ）由两角差的正弦公式求得的值.【详解】解：（1）由已知及正弦定理得，，，（2）（ⅰ）因为，，由余弦定理得，（ⅱ）由，因为为锐角，所以，，本题考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，还考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及两角差的正弦公式.17．（1）平面；（2）；（3）线段上不存在点，使平面与平面垂直.【详解】试题解析：（1）连结，三棱柱中且，由平行四边形得且且四边形为平行四边形，平，平面平面（2）由，四边形为平行四边形得，底面如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，，，设平面的法向量为，则即，令，则，直线与平面所成角的正弦值为.（3）设，，则设平面的法向量为，则，即令，则，，所以由（2）知：平面的法向量为假设平面与平面垂直，则，解得，线段上不存在点，使平面与平面垂直.考点：1.线面垂直；2.直线与平面所成的角；3.存在18．（1）（2）（1）依题意表示出，，根据，和离心率为，求出的值，即可求出椭圆方程.（2）设直线的斜率为，直线方程为，设，中点为，联立直线方程与椭圆方程，消去即可用含的式子表示、的坐标，即可表示出中垂线方程，求出的坐标，根据求出参数即可得解.【详解】解：（1）依题意知：，，，，，则，又，，椭圆的标准方程为.（2）由题意，设直线的斜率为，直线方程为所以，设，中点为，由消去得中垂线方程为：令得.，解得.直线的方程为，即本题考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆综合问题，属于中档题.19．（1），；（2）答案见解析；（3）【分析】（1）利用等差数列的通项公式求出首项和公差，即可求的通项公式，利用等比数列的定义即可求的通项公式；（2）利用等差数列的通项公式和求和公式求出与关于的表达式，作差后分类讨论得到与的大小关系；（3）先求出，利用错位相减法求得奇数项的和，利用裂项相消求和法求得偶数项的和，进而得到前项的和.【详解】（1）由题意可得:，解得:，故因为数列满足，，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，（2）由（1）知：，，所以所以，所以，所以当时，，当时，，当时，；（3）当为奇数时，，当为偶数时，对于任意正整数，有①，②，①②得，所以，以及，因此，所以，数列的前项和为.方法点睛：数列求和的方法①倒序相加法：如果一个数列的前项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可以用倒序相加法②错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可以用错位相减法来求；③裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；④分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；⑤并项求和法：一个数列的前项和可以两两求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解.20．(1)（ⅰ）；（ⅱ）(2)答案见解析(3)【分析】（1）由导数的几何意义得出切线方程；由导数得出单调性进而得出最值；（2）构造函数，由导数得出单调性并零点存在性定理进行求解；（3）由得出，令，构造函数，由导数(1)当时，，.（ⅰ），，∴切线方程为.（ⅱ），令，得，∴当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，∴.(2)∵（），令得，，当时，，无零点，当时，令，则，令，得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，∴，当，即时，，函数在上无零点，当，即时，，函数在上有零点，当，即时，，又，，∴函数在，上各有一个零点，综上，当时，函数在上无零点，当时，函数在上有零点，当时，函数在上有两个零点.(3)由得，，∴，即，令，则在上有解，令，当时，，不合题意；当时，则，令得，当时，单调递减，当时，单调递增，∴，∴，即，∴，即a的取值范围为.关键点睛：对于不等式的能成立问题，关键在于将其转化为最值问题，通过导数解出最值，进而解不等式得出参数的范围.【高考数学】天津市西青区2022-2023学年专项突破模拟试卷（二模）第I卷（选一选）评卷人得分一、单选题1．已知集合，则（

）A． B．C．或 D．2．欧拉公式（其中i是虚数单位，e是自然对数的底数）是数学中的一个神奇公式．根据欧拉公式，复数在复平面上所对应的点在（

）A．象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（

）A． B．C． D．4．若实数x，y满足约束条件，则的值是（

）A． B．2 C．4 D．65．已知平面，，直线满足，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．等差数列的前n项和为，，则（

）A．10 B．11 C．12 D．137．函数的图象可能是（

）A． B．C． D．8．四面体中，，则二面角的平面角的余弦值为（

）A． B． C． D．9．椭圆的左右焦点为为椭圆上一点，直线分别交椭圆于M，N两点，则当直线的斜率为时，（

）A．2 B．3 C．4 D．510．用表示不超过实数x的整数．数列满足：，则的末两位数是（

）A．93 B．53 C．33 D．13第II卷（非选一选）评卷人得分二、双空题11．双曲线的渐近线方程为___________，离心率为___________．12．已知函数则______；若，则______.13．若，则_______，_______．14．甲乙两袋装有大小相同的红球和黑球，甲袋有2个红球2个黑球，乙袋有2个红球3个黑球，现从两袋中各取2个球，则取到4个红球的概率是________，取到红球的个数的数学期望是_________．评卷人得分三、填空题15．函数，，，则______________．16．已知正数，则的值为_________．17．已知平面向量，，，，则的取值范围是__________．评卷人得分四、解答题18．在中，D的边的中点，．(1)求角C；(2)求面积的取值范围．19．如图，四棱锥的底面是梯形，，，E为线段中点．(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值．20．数列的前n项和为，数列满足，且数列的前n项和为．(1)求，并求数列的通项公式；(2)抽去数列中点第1项，第4项，第7项，…，第项，余下的项顺序不变，组成一个新数列，数列的前n项和为，求证：．21．已知椭圆与抛物线有一个相同的焦点，椭圆的长轴长为．(1)记椭圆于抛物线的公共弦为，求；(2)P为抛物线上一点，为椭圆的左焦点，直线交椭圆于A，B两点，直线与抛物线交于P，Q两点，求的值．22．已知函数．(1)若，求实数m的取值范围并证明：；(2)是否存在实数t，使得恒成立，且仅有解？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．答案：1．B【分析】根据集合交集的定义进行求解即可.【详解】因为集合，所以，故选：B．2．A【分析】由复数的几何意义判断.【详解】由欧拉公式，在复平面内对应点在象限．故选：A．3．D【分析】判断出几何体的结构，从而计算出几何体的体积.【详解】由三视图可知，几何体是如下图所示三棱锥，故体积为.故选：D4．D【分析】作出可行域，画直线并平移，求出点坐标，代入可得的值.【详解】可行域为如图阴影部分区域，作直线并平移，当直线过时，取值，由，得，取到．故选：D．5．A【分析】根据原命题和逆命题的真假可判断两者之间的条件关系.【详解】设，若，则过内一点作的垂线，垂足为，因为，，，故，因为，故，而，，故.故命题“若，则”为真命题.如图，在正方体中，平面平面，平面平面，但与平面不垂直.故命题“若，则”为假命题.故“”是“”的充分不必要条件.故选：A.充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若则”是真命题，“若则”是假命题，则是的充分不必要条件；若“若则”是真命题，“若则”是真命题，则是的充分必要条件；若“若则”是假命题，“若则”是真命题，则是的必要不充分条件；若“若则”是假命题，“若则”是假命题，则是的既不充分也不必要条件.6．B【分析】根据等差数列的通项的性质和前项和公式求解.【详解】因为，又，所以，所以，故选：B．7．D【分析】根据函数的奇偶性和零点，值法进行判断即可.【详解】设，显然且因为，所以该函数是奇函数，又因为，所以函数没有零点，排除B、C，当时，，故选：D．8．C【分析】作出二面角的平面角，利用余弦定理解三角形即可求出二面角的余弦值.【详解】过点A作交于点M，过点M作交于点N，如图，则是二面角的平面角，设，则，在和中，由余弦定理，，所以，故选：C9．D【分析】写出直线的方程，与椭圆联立求出点的坐标，同理可得点坐标，通过计算直线的斜率即可得结果.【详解】由已知得，所以直线的方程为：（其中），与椭圆方程联立得，由韦达定理，所以，故；类似得，，所以，故选：D．10．A【分析】设，得出与的关系式，再令发现呈现周期性，进而可得结果.【详解】记，则有，故可得均为整数，且，再令，则有，且，所以，故的末两位数为93．故选：A．11．

【分析】求出、、的值，可求得该双曲线的渐近线方程与离心率.【详解】由可知，得，渐近线方程为，离心率为，故；.12．

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【分析】根据函数的解析式，先求出，再将该值代入对应的函数式，求得；因为当时，，则由函数值为可知，，故，则，再解方程得出的值.【详解】由该分段函数的解析式可得：则；由函数解析式可知，当时，，则由知，且，所以，则，解得.故；.13．

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-62【分析】令，将原问题转化为二项式的展开式的相关问题，二项式展开式和系数和的性质求解.【详解】令，则，原式可以转化成，则为前面的系数，所以，所以，令，可得，令，可得，所以，故．14．

##1.8【分析】根据古典概型概率公式求取到4个红球的概率，再求出随机变量取到红球的个数的分布列并由期望公式求其期望值.【详解】甲袋有2个红球2个黑球，乙袋有2个红球3个黑球，共4个红球，所以取到4个红球的概率是，设取到红球个数为，的可能取值为0，1，2，3，4，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，则取到红球的个数的数学期望是，故．15．【分析】利用辅助角公式化简可得，的范围可得的范围，进而确定的值，由，利用两角和差余弦公式可求得结果.【详解】，，，又，，，，，.故答案为.16．【分析】将分母变为，分别利用基本不等式即可求得值.【详解】（当且仅当，时取等号），的值为.故答案为.17．【分析】把向量用建系的思想在坐标系中表示出来，然后利用向量的关系把变形整理得，分别通过三点共线和椭圆定义来确定范围即可.【详解】设，的夹角为，，，，.如图，由题可设，，，其中O为原点，C在单位圆上，记，假设存在一点，使得则有，又，解得.所以存在点，使得.，且直线的方程为，即，圆心到直线的距离为1.所以与圆相切，所以当,,三点共线时，取得最小值为，如图，在位置时，因为，，且，由椭圆定义可知，此时在以，为焦点的椭圆上，当在其他位置时，在椭圆内部，所以的值为，即的值为..故．本题轨迹问题与椭圆的定义，用建系的思想解决向量的问题.18．(1)(2)【分析】(1)根据内角和公式和二倍角余弦公式化简求角C；(2)由余弦定理可得的关系，基本不等式求的值，根据三角形面积公式求面积的取值范围．(1)因为，所以所以，故，又；所以.(2)在中，由余弦定理可得因为，，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以，又，当且仅当时等号成立，所以面积．19．(1)证明见解析；(2).【分析】（1）取中点F，连接交于点O，连接，利用线线垂直证明面即可；（2）解析1：几何法，先根据线面垂直的性质证明面面，再作，证明B到面距离等于，进而求得线面夹角的正弦值；解析2：向量法，以为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，求面的法向量，进而求得线面角的正弦值即可(1)取中点F，连接交于点O，连接，由，且梯形，有且，故平行四边形，又，故为菱形，所以为的中点，故.又因为，故，因为，面，故面，又面，故．(2)解析1：几何法在中，，故，因为，故，由，即，即，故面，又，故面，面，故面面，作，面面，面，故面，在中，，因为，故B到面距离等于，设与平面所成角为，，故，故与平面所成角的正弦值为．解析2：向量法在中，，故，因为，故，由，即，即，故面，以为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，故，故，设面的法向量为，则，令，故，所以，故