2020高考数学复习=专题05导数与函数不等式恒成立、有解(存在性)-用思维导图突破导数压轴题

2020高考最后冲刺必刷2020高考最后冲刺必刷坚持就是胜利!坚持就是胜利!用思维导图突破解导数压轴题专题5导数与不等式恒成立、有解（存在性）问题函数不等式恒成立问题或不等式有解 （存在性）等问题相联系来命题是近年高考常见题型之一，涉及导数知识可能会含有参数讨论。恒成立问题常通过构造函数y=f（x）,转换为求y=f（x）在某个区间最值问题，这就需要确定y=f（x）导数的符号，为此，往往需要再次构造函数（以 y=f（x）导函数中某个不能确定符号的代数式作为新构造函数的解析式） ，有时还需要分类讨论，分类讨论的标准一般用分析法求出，但解答时却用综合法书写 （所以，不少情况下看不懂答案，即不知道分类标准怎么来的）。有解（存在性）问题常转化为不等式 ？?（??衿？?（?？有解，先求出不等式两边两个函数的最值（值域），根据具体条件确定最值之间的大小关系（或确定值域的包含关系）式（组）求出相关变量的范围。如果含有双参数，可以把一个参数看作常数转化为一元变量求解。此类问题解答思维导图如下：其一双参可视一常量构造函数明方向分类求导是难点综分结合最理想苴一/、 K有解不等恒成立一式转化看两边各自判断大和小相关方法要熟练其一双参可视一常量构造函数明方向分类求导是难点综分结合最理想苴一/、 K有解不等恒成立一式转化看两边各自判断大和小相关方法要熟练含双参的不等式恒成立、有解（存在性）视其中一参数为常数转化单变量不等式、有解对恒成立问题：针对具体情况构造函数并求导、判断单调区间（有时可能需要多次构造函数），以求最值，有时要分类讨论（难点），分类标准用分析法，书写用综合法对存在性：针对具体问题构造不等式??（??衿？？（？?,根据要求分别求两边的最值（值域），然后确定最值之间的大小关系（值域的包含关系）1,以?我1,以?我主元引例已知实数a0,设函数f(x尸alnxJX_1,x0.3 (1)当a—时，求函数f(x)的单调区间；4(2)对任意x[],)均有f(x)—,求a的取值范围.e 2a'注：e2.71828…为自然对数的底数.思路点拨第(1)求得f'x,判断其符号有多种方法。 第(2)直接构造关于x的函数或参变分离正面求解a的取值范围比较困难。因此通过对 x的赋值来缩小a的范围，x1可以得到简洁的结果，求解比较容易， f(i)品1，解得0a匕2。即可将问题可转化为：当2a 40a42时，f(x)alnx工厂x虫对x」是否恒成立？4 2ae2视a为主元，构造二次函数=2Inx■+2/TTT•a-v1.t,证明g(a)&0视a为主元，构造“飘带”函数和“对勾”函数泛？ ????=??????整+E?a1,证明？？(?？<0构造函数？？？1彳=22???-告1-??????用不等式性1质证明???79>0记,•। . .■ 1其中，m=1(骑士？飞5),证明g』ni)20凑用基本不等式证明耳")=口加工+而工-近<0let满分解答⑴当4时，3, ——x-lnx，x1,函数的定乂域为 0, ,且:434x2.x13x12x4x、x1x34x34x7x13jx12x'因此函数的单调递增区间是3,，单调递减区间是 0,3.(2)(由于5种解法都给出太长，以下只给出一种解法,其余解法请见《挑战高考压轴题？高中数学》，华东师大出版社2020.9),24当0a立时，f(x)4x2a,等价于-xa21nx2^/2，设g⑴t2,x2t2ln⑴当x则g(t)2lnx,2.2,贝Ug(x)…g(2、2)记p(x)xlnx,xP(x)2.xx1 ,2xx1(x1)[1x(2x21)]列表讨论:x、.x1(x1)(.x1.2x)p(x)廊⑴0,g(t)g(2,2)2P(x)?0(ii)当x2.xlnx(x1)2x令q(x)2、xInx(x1),x11 …、右，则p(x)廊⑴0,g(t)g(2,2)2P(x)?0(ii)当x2.xlnx(x1)2x令q(x)2、xInx(x1),x11 …、右，则q(x)Inx2、,x10, 11 ,… ,、 1故q(x)在—,-上单倜递增， q(x)q-e7 7…・、/曰 1 2、7 1由(|)仔q- p—7 7 7q(x)0,g(t)g，1x27q(x)函°，1由(i)(ii)知对任意x—,et[2亚，),g(t)0,即对任意x1~2e均有f(x)'xo2ax171(一,1)71(1,+°0)P'(x)一0+P(x)1p(7)单调递减极小值p(1)单调递增,一一c2综上所述，所求的的取值范围是 0,——.综上所述，所求的4注“？x,使得f(x)>g(x) ”与x使得f(x)>g(x)”的辨析(1)?x,使得f(x)>g(x),只需h(x)min=[f(x)-g(x)]min>0.如图①.

(2)?x,使得f(x)>g(x),只需h(x)max=[f(x)—g(x)]max>0.如图②.a 1例2已知函数f(x)-alnx(a0),g(x)x-.x x(1)求f(x)的单调区间；(2)当a0时，若存在xo[1,e],使得fx°gxo成立，求实数a的取值范围思路点拨第(2)题作函数?(??=??-????????+1?只要？(？?在[1,??止的最小值小于0,又^?(??求导后判断单调性，根据单调性求最小值。满分解答,,. ’aa1xf(x)的定义域为(0, ),f(x) —— a^xxx所以，当a0时，fx0,fx在(0,)上递减；」_.一-一 当a0时，fx0,所以，fx在(0,)上递增.(2)在1,e(2)在1,e上存在一点x0使f(x0)g(R)成立，即函数h(x)-alnxx-x x在1,e上•的最小值小于0。因为h(x)aa因为h(x)aa, 1— l -2 2xxx(x1)x1+a2x①当1+ae,即ae1时,hx在1,e上单调递减，所以hx①当1+ae,即ae1时,hx在1,e上单调递减，所以hx在1,e上的最②当1a1,即a0时，Qa0,得a2 2e1八e1,Qe1e10,不合乎题意;e1,ae21③当11ae,即0ae1时，hx的最小值为h1a,所以Q0ln(a1)1,0aln(1a)a,故h(1a)2aaln(1a)2,此时h(1a)0不成立.一, ,…『 e21综上所述，a的取值范围是a> .e1注(1)这是较为常见的一类恒成立问题，运用数形结合的思想可知，当 X0>O时，总有f(X0)匐(X0),即f(X0)—g(X0)>0(注意不是f(X)min>g(X)max),可以转化为当X>0时，h(x)=f(x)-g(x)>0恒成立问题.(2)存在x>0,使得f(x)河(x),即至少有一个X0>0,满足f(x。)一g(x。)不是负数，可以转化为当x>0时，h(x)=f(x)—g(x)的函数值至少有一个是非负数.例3设函数f(x)acos2x(a1)(cosx1),其中a0,记|f(x)|的最大值为A.(1)求f(x);(2)求A；(3)证明|f(x)|2A.思路点拨(1)直接可求f(x)；(2)分a1,0a1两种情况，结合三角函数的有界性求出TOC\o"1-5"\h\zc/ 11A,但须注意当0a1时还须进一步分为0a-,-a1两种情况求解；(出)首先55.一.一 一.. ’ 11 …由(I)得到|f(x)|2a|a1|,然后分a1,0a-,-a1三种情况证明55,一1一.一一 _'试题解析：(1)f(x)2asin2x(a1)sinx., (2)当a1时，|f(x)||asin2x(a1)(cosx1)|a2(a1)3a2f(0),解得A3a2.当0a1时，将f(x)变形为f(x)2acos2x(a1)cosx1.令g(t)2at2(a1)t1,则A是|g(t)|在［1,1］上的最大.值，g(1)a,

1ag(1)3a2,且当t——时，g(t)取得极小值，极小4a厂 yij6^.TOC\o"1-5"\h\z4a8a 8a/1a, 1 1令1 1,解得a一(舍去)，a-.4a 3 5'解(1)fx2asin2xa1sinx.(2)当a1(2)当a1时,|f(x)||acos2x(a1)(cosx1)|a2a13a2f0.因此A3 2.2当0a1时，将fx变形为fx2acosxa1cosx1.令gt 2at2 a1t1,则A是gt在1,1上的最大值，g1a,3a2,且当t4a3a2,且当t4a时,gt取得极小值，极小值为4a4aTOC\o"1-5"\h\z, 2 2a 1 d a2 6a1 18a 8a令1L~a1,解得a4a1 1 ~—且a一,所以a3 5(i)当0a15时,1,1内无极值点，g1(ii)a1时，在同一坐标中画(ii)a1时，在同一坐标中画g1||g1I，所以A23a.出函数yx,y3x2,2x6x1-1 -y 在一，上的图象.8x5由上图，我们得到如下结论当a26a1时，A 8accc 123a,0a5综上,a26a11综上, ,一a8a53a2,a1(3)由(1)得fx2asin2x1sinx2aa1.1rTOC\o"1-5"\h\z当0a—时，f x 1 a24a 2 2 3a 2A；51 a 1 3当— 1时，A a — — 1,所以 f x1a2A；5 8 8a 4当a)1时，fx3a116a42A.所以fx2A；综上所述有fx2A.1x例4已知函数fx1ax1Inx1,gxxe.(1)求gx在区间0,e上的值域；(2)是否存在实数a,对任意给定的x0 0,e,在1,e存在两个不同的xii1,2使得fxi gx0,若存在，求出a的范围，若不存在，说出理由.思路点拨第(2)问等价转化的基本思想是：函数 g(x)的任意一个函数值都与函数 f(x)的某两个函数值相等，即f(x)的值域都在g(x)的值域中.满分解答xg'x1xe,x0,1时，g'x0,gx单倜递增，x1,e

1e时，g'x0,gx单倜递减，g0 0,g1 1,geee0,gx在0,e上值域为0,1.1(2)由已知得f(x)1a一，且x1,e,x当a0时，f'x0,fx在1,e上单调递增，不合题意.1.当a1—时，f'x0,fx在1,e上单调递减，不合题意.eTOC\o"1-5"\h\z1 -、- 1当0a1一时，f(x)0得x0——.e 1a, 1当x(1,——)时「乂0,fx单调递减,1a， ，1 ， ，1 、，一当x( ,e)时，f'x1a0,fx单调递增，，fminx由(1)知gx在0,e上值域为0,1,而f11,所以对任意x0由(1)知gx在0,e上值域为0,1,而f11,所以对任意x00,e,在区间1,e上总有两个不同的xii1,2，使得fxfe1当且仅当1f——1a1ae1 1 1,即0'aln1a1020,1h'a…1 , ,,10,1-，h'a0,ha单调递减，，hah1-e e0.ha0无解.综上，满足条件的a不存在.注“若 x1 D, x2 D2,,使得f x〔 =g x2 ”与“xDn x2 D2,使得fXi=gX2”的辨析Xi Di, X2 D2,使得f x1 =g x2等价于函数f(x)在Di上的值域A与g(x)在D2上的值域B的交集不是空集，即AABw?,如图③.其等价转化的目标是两个函数有相等的函数值.图③ 用@x1D1,x2D2,使得fx1=gx2等价于函数f(x)在Di上的值域A是g(x)在D2上的值域B的子集，即A?B,如图④.其等价转化的目标是函数 y=f(x)的值域都在函数y=g(x)的值域之中.说明：图③，图④中的条形图表示函数在相应定义域上的值域在 y轴上的投影.一..(xi)(iInx)例5已知函数f(x) 3m,g(x)mxInx(mR).x(i)求函数g(x)的单调区间与极值.(2)当m0时，是否存在xi,x2 i,2,使得f(xi)g(x2)成立？若存在，求实数m的取值范围，若不存在，请说明理由 .思路点拨第(2)问从形的角度看，问题的本质就是函数 f(x)图象的最低点低于g(x)图象的最高点.因此题设中？?？,？？e??使得？???)>????)成立可转化为？?(??)ax>??(??min,进而求出参数??满分解答i(i)g(x)m-(x0),x, ，、i当m0时，g(x)m—0恒成立，即函数g(x)的单调增区间为(0,+),无单调减区间，所以不存在极值., 「 ，、 1八，一1一 1 . ,、C,当m0时，令g(x)m—0,得x—，当0x—时，g(x)0,当无单调减区间，所以不存在极值., 「 ，、 1八，一1一 1 . ,、C,当m0时，令g(x)m—0,得x—，当0x—时，g(x)0,当x m m1 , ，、八x—时，g(x)0。m,、 “1、 ,1 、 ，、故函数g(x)的单调增区间为(0,一),单调减区间为(一，)，此时函数g(x)在m m1 1 1 1x一处取得极大值，极大值为 g(—) m—ln—m m mm1Inm,无极小值.综上，当m0时，函数g(x)的单调增区间为0,,无单调减区间，不存在极，、 c1值.当m0时，函数g(x)的单调增区间为0,一m1,单调减区间为一， ，极大值m为1lnm,无极小值(2)当m0时，假设存在x1,x2 1,2,使得f(xjgX)成立，则对x1,2,(x1)(1lnx),一、满足f(x)maxg(x)min,由f(x) 3m(x1,2)可得,1(1lnx1)x(x1)(1lnx)f(x) x^ xxlnx.2

x令h(x)xlnx(x1,2),则h(x)11—0,所以h(x)在1,2上单调递增,x所以h(x)h(1)1,所以f(x)0,所以f(x)在1,2上单调递增，所以f(x)maxf(2)(21)(1ln2)3m3(1ln2)

23m。由(1)可知，①当C 1 ，，r0 — 1时，即mm1时，函数g(x)在1,2上单调递减，所以g(x)的最小值是g(2)2mln2.1 ，、「 ，、m一时，函数g(x)在1,2上单调递增，所以g(x)的最小值是2g(1)m.1 1 ，、,1 1-②当1一 2时，即一 m1时，函数g(x)在1,一 上单调递增，在 一，2上单m 2 m m调递减.1又g(2)g(1)ln22mmIn2m,所以当一mln2时，g(x)在1,2上的2最小值是g(1)m；当ln2m1时，g(x)在1,2上的最小值是g(2)ln22m3(1In2)所以当0mln2时，g(x)在1,2上的最小值是g(1)m,—( )3mm,23(1In2)解得一( )m,所以ln2m0.4当ln2m时，函数g(x)在1,2上的最小值是g(2)ln22m,故31n2231n22- 3mln22m,解得 m,所以ln2m2 2_3ln2故实数m的取值范围是 0, 2注f(x),g(x)是闭区间D上的连续函数，“ ？x1,x26D,使得f(x1)>g(x2)”与“？x1，x2CD,使得f(x1)>g(x2)”的辨析(1)f(x),g(x)是在闭区间D上的连续函数且？x1，x2€D,使得f(x1)>g(x2),等价于

f(x)min>g(x)max.其等价转化的目标是函数 y=f(x)的任意一个函数值均大于函数 y=g(x)的任意一个函数值.如图⑤.国电) 图⑪国电) 图⑪(2)存在x1,x2€D,使得f(x1)>g(x2),等价于f(x)max>g(x)min.其等价转化的目标是函数y=f仅)的某一个函数值大于函数 y=g(x)的某些函数值.如图⑥.

例6设函数f(x)aln(x1),g(x)ex1,其中R,e2.718…为自然对数的底数.(1)当x0时，f(x)g(x)恒成立，求a的取值范围；“、十、工109510厂2000/矣型新焯 ।一CCCL、(2)求证： ee (参考数据：ln1.10.095)。1000 1791思路点拨第(1)题先构造函数Hxgxfxxe1alnx1x0,再对其求导得到Hxx第(2)题借助(1)的结论，当a1时，e1lnx1对x0导得到Hxx第(2)题借助(1)的结论，当a1时，e1lnx1对x0恒成立,再令1 J 1095x一,得至ije101ln1.11,095 即Je10 100010951000又由(I)知，当1时,则Hx在0,小递减，在xO,递增，则H%H0 0,即ex0 1alnx01 0,又Hx0xc a 11-0，即e0—令a11e101,即

x01 101 1x0 Q则e10E行2000.109510- 2000 ,故有 ve 1791 1000 1791解（1）令Hxgxfxex1alnx1x0,则,, a x..①若a1,则——1 ex,Hxx10,