2020年高考数学知识与能力测试2

2020年高考数学知识与能力测试题(二)（理科）、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.y｝泗x5yy｝泗x5y3的值为A.-1B.C.1D.-1或12.如果复数z(a23a2）i为纯虚数,那么实数a的值为3.4.A.-2在等差数列A.13中,B.C.2D.1或-23(a3 a5)B.262(a7 a10 a13)C.52编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为24,则此数列前13项的和D.561、2、3、4、5的五个座位,其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有10种20种C.30种5.若函数f(x)sin()(象如图所示,10种20种C.30种5.若函数f(x)sin()(象如图所示,则有A. 1B.0,1I6C.D..某工厂生产产品，用传送带将产品放入下一工序，质检人员每隔 t分钟在传进带上某一固定位置取一件检验，这种抽样方法是A.简单抽样 B.分层抽样 C.系统抽样 D.以上都不对.设有如下三个命题：甲：相交直线l、m都在平面内，并且都不在平面内；乙：直线1、m中至少有一条与平面 相交；内：平面与平面相交.当甲成立时，A.乙是丙的充分而不必要条件 B.乙是丙的必要而不充分条件C.乙是丙的充分且必要条件 D.乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件.现代社会对破译密码的难度要求越来越高。有一种密码把英文的明文（真实文）按字母分解，其中英文的a,b,c,,z的26个字母（不论大小写）依次又t应1,2,3,…，26这26个自然数（见下表）：abcdefghijklmnopqrstuvwxyz1234567891011121314151617181920212223242526二」（xN*,x26,x不能被2整除）现给出一个变换公式：x' 2 将明文转换成x—13（xN,x26,x能被2整除2、、 . 8 一、. 51一 餐'交，如8 —1317,即h变成q；5 ——3,即e变成c。按上述规定，2 2若将明文译成的密文是shxc,那么原来的明文是A.lhhoB.love C.ohhl D.eovl二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分..函数f（x）axloga（x1）在0,1上的最大值与最小值之和为 a,则a的值为。.编辑一个运算程序：1*1x,m*nk,m*（n1）k2,欲得到1*20052008的输出结果，WJx的值为。.过抛物线y216x的焦点的直线l交抛物线于A、B两点，则oA?OB的值

为。.若abc,nN*,且''上包成立，则n的最大值是abbcacxy1.设x,y满足条件y2x,则目标函数z6x3y的最大值为1

y2x14、▲选做题：在下面三道题中选做两题，三题都选的只计算前两题的得分(1)如图，圆O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P,E为圆。上一点，弧AE=MAC,DE交AB于点F,且AB=2BD4,则PF=(2)设双曲线xasec(为参数，a0,b0)的右焦点为F,右准线l与两ybtan条渐线交于P、Q两点，如果△PQF是直角三角形，则双曲线的离心率e(3)函数y5Jx1而2x的最大值是三、解答题：本大题6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤..(本小题满分13分)已知m(V3sinx,cosx),n(cosx,cosx), 0,记函数f(x)m?n,若函数f(x)的最小正周期为

⑴求；⑵当0x—时，试求f（x）的值域。3.（本小题满分13分）设飞机A有两个发动机，飞机B有四个发动机，如有半数或半数以上的发动机没有故障，飞机就能安全飞行。现设各发动机发生故障的概率 p是t的函数p1et,其中t为发动机启动后所经历的时间， 为正常数，试论证飞机A与飞机B哪一个安全（这里不考虑其他故障）。.（本小题满分14分）在棱长为a的正方体ABCDA'B'C'D'中，E、F分别是棱BC、CD上的点,且BFDE。(1)求证：BECF;(2)当三角形CEF的面积取得最大值时,求二面角C'EFC的余弦值。.(本小题满分14分)在xoy平面上有一系列的点P(Xi，yJP2(X2，y2)，,P(Xn，Yn)，，对于正整数n,点Pn位于函数yX2(X0)的图象上，以点Pn为圆心的。Pn与X轴都相切，且。Pn与。Pn1又彼此外切，若％ 1,且Xn1Xn。(1)求证：数列—是等差数列；Xn

⑵设。Pn⑵设。Pn的面积为&,Tn后“及4s4s，求证：Tn3、.(本小题满分12分)已知函数f(x)x3ax23x(1)若f(x)在x1,是增函数，求实数a的取值范围;⑵若x3是f(x)的极值点，求f(x)在1,a的最小值和最大值。.(本小题满分14分)2设椭圆方程为X2匕1,过点M(0,1)的直线l交椭圆于点A、B,。是坐标原4一一……— 1—— . 11点，点P潴足OP-(OAOB),点NC1，1)。当l绕点M旋转时，求：(1)动点P的轨迹方程；(2)|NP|的最大值和最小值。2020年高考数学知识与能力测试题参考答案（二）（理科）1-4,AABB,5-8,CDCBy0x提示：1.xy|x|即|x|12.a2a20a23a203.6a3.6a46a1024即a4a10 4,也就是a1 a〔3 4,S13■(a—晅132624,先确定是哪两个人的编号与座位号一致,有C210种情况，如编号为1的人坐1号座位，且编号为2的人坐2号座位有以下情形:人的编号1人的编号12345一座位号124153人的编号12345座位号125341所以，符合条件的共有10X2=20种。TOC\o"1-5"\h\z2 2 ， 15.T4［一（一）］4,又T一,所以一3 3 2又sin（— ）0,且||—所以一6 2 6.略.略.密文shxc中的s对应的数字为19,按照变换公式：^-^（xN*,x26,x不能被2整除）x' 2 ,原文对应的数字是12,对应的字母是x—13（xN,x26,x能被2整除2

密文shxc中的h对应的数字为8,按照变换公式:士」（xN*,x26,x不能被2整除）x' 2 ,原文对应的数字是15,对应的字母是x13（xN*,x26,x能被2整除2、9.10.2;、9.10.2;11.-48；12.4;13、5;14、9. f(0) f(1)0,1aloga2a,loga2 110.数列1n是首相为x,公差为2的等差数列，于是1*2005 1(20051)x4008又1*20052008,所以x200011.特殊值法。1*2005 1(20051)x4008又1*20052008,所以x200011.特殊值法。取通径，则A(4,8)、B(4,8),uuuOA(4,8)uuu

OB(4,8)uuruuuOA?OB1664 48。12.因a12.因ac,同解于—ac

又a—c—ac

又a—cab所以nabbab4。13.略14、(1)如图：:13.略14、(1)如图：:AEAC，/1=/2=/3=/P+/PFD=ZFEB/EFO・./FEQ=/P,可证^OES△DPF即有OFEF,又根据相交弦定理DF-EF=BF-AFDFPF可推出BFQBPFPF=3AP可推出BFQBPFPF=3APPFabab(2) •••PFQF,⑶略三、15.解：(1)依题知，得f(x)m?n三、15.解：(1)依题知，得f(x)m?n,.3sinxcosxcos2丑sin2

2x1cos22sin(2x所以(2)由(1)得f(x)sin(2x—2x—(2)由(1)得f(x)sin(2x—2x—6 6sin(2x6)13f(x)2… 3故f(x)的值域为[1,—]216.解：设飞机A16.解：设飞机A能安全飞行的概率为Pi,飞机B能安全飞行的概率为P2,则_1 _2 2 2C2P(1p)C2(1 p)1pP21C：p3(1p)C4p4314p(1P)4 3 4p14p3pP2P1 3p4 4P3 p22 3P21C：p3(1p)C4p4314p(1P)4 3 4p14p3pP2P1 3p4 4P3 p22 3p(3p4P1)2 2 1p2(3p1)(p1)3p2(p^)(p1)3所以P23(1)2tzt2e(e-)31 31ln3时,21 3,一In—时,

21 3,—In—时,

2P2P10,2323P2P2P1P1故当t故当t11n3时，飞机A安全；当t21 3 t—In—时，飞机B安全。21 3,—In-时，飞机A与飞机B一样安全；当2zz17.(1)zz17.(1)证明：以D为坐标原点，DA所在的直线x轴，建立空间直角坐标系如图设|AB|a,|BE|x,|DF|y,则E(ax,a,0),F(0,y,0),B(a,a,a),D(0,0,a)BF(a,ya,a),DE(ax,a,a)又B'FD'E,所以b'f?d'e0即a(ax)a(ya)a2 0,也就是xay又|CF|ay,所以|BE||CF|,即BECF⑵解：方法1、找出二面角，再计算方法2、由⑴得：SCEF-BECF-(ax)x9(当且仅当x2 2 8即E、F分别为BC、CD的中点，于是E(|,a,0),F(0,a,0)(0，2，a)__•m?EC(0，2，a)__•m?EC又C(0,a,a),所以EC(-,0,a),FC设m(%,丫1,4)是平面C'EF的一个法向量,m?FCax1 az1 ax1 az1 0即2a一yi azi 02也就是x12z1y12乙取m(2,2,1)易知CC'(0,0,a)是平面CEF的一个法向量,cosCC,mCC?m|CC||m|3a318.(1)证明：依题知得:■.(xcosCC,mCC?m|CC||m|3a318.(1)证明：依题知得:■.(xn1xn)2(x21x2)2x22xn1/ \2 2整理得(xnxn1) (2xnxn1)xn1xn又0 xn1 xn所以Xnxn1 2xnxn1xn故数列｛1｝是等差数列xn(2)由(1)得1 1 (2)由(1)得——2(k1)2k1即xk (k1,2,,n.)xk x1 2k1又Sk又Skx4所以向1-Z 2(2k1)...Sn132_ 2(2k1))、(13)132_ 2(2k1))、(13)(35)(/12k3)]}22(2k3)19.解：(1)依题知得f'(x)3x 一 1即 一 1即3 1或 31 ,3欲使函数f(x)在x1,是增函数，仅须 欲使函数f(x)在x1, a 0 9 a2 0, ',a._解之得a3f(1)0解之得a3故若f(x)在x1,是增函数，实数a的取值范围为,3。⑵由(1)得f'(x)3x22ax3,且x3是f(x)的极值点，所以f'(3)0,即306a0,也就是a5。

2 1.于是f(x)3x210x33(x3)(x-)3在区间1,3上f'(x)0,f(x)是减函数；在区间3,5上f'(x)0,f(x)是增函数。又f(1) 1,f(3) 9,f(5)15,所以f(x)在1,5的最小值是-9,最大值是15。20.解：⑴当直线20.解：⑴当直线l的斜率不存在时,A、B的中点为O,P点的坐标为（0,0）。当直线l当直线l的斜率存在时，设其斜率为k,则直线l的方程为ykx1ykx1联立方程组 ，ykx1联立方程组 ，v2x2y-14消y得：（4k2)x22kx30设AGry