高三数学第一轮总复习-9.9-棱柱课件

第九章直线、平面、简单几何体19.9棱

柱考点搜索●棱柱及其底面、侧面、侧棱、高等概念，斜棱柱、直棱柱、正棱柱的概念●棱柱的基本性质，平行六面体的有关概念和性质高2高考猜想1.以小题形式考查棱柱的有关概念和性质.2.有关棱柱的棱长、高、面积等几何量的计算.3.以棱柱为背景的线面位置关系、角和距离的分析与求解.31.如果一个多面体有①________互相平行,而其余每相邻两个面的②______互相平行,这样的多面体叫做棱柱,两个互相平行的面叫做棱柱的③______，其余各面叫做棱柱的④______,两侧面的公共边叫做棱柱的⑤______,两个底面所在平面的⑥__________叫做棱柱的高.2.侧棱⑦__________底面的棱柱叫做斜棱柱，侧棱⑧________底面的棱柱叫做直棱柱，底面是⑨__________的直棱柱叫做正棱柱.两个面交线底面侧面侧棱公垂线段不垂直于垂直于正多边形4

3.

棱柱的各个侧面都是⑩____________；所有的侧棱都

______;直棱柱的各个侧面都

______;正棱柱的各个侧面都是

___________.

4.棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的

______________.

5.过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是

____________.

6.底面是

___________的四棱柱叫做平行六面体,_________________的平行六面体叫做直平行六面体,底面是______的直平行六面体叫做长方体.___________的长方体叫做正方体.111213141516171819平行四边形相等矩形全等的矩形全等的多边形平行四边形平行四边形侧棱垂直于底面矩形棱长都相等5

7.平行六面体的对角线___________,并且在_____处互相平分.

8.长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的_______.

9.设直棱柱的底面周长为c，侧棱长为l则其侧面积S侧=____.

10.设棱柱的底面积为S，高为h，则其体积V=_____.2021222324交于一点交点平方和clSh6

盘点指南：①两个面；②交线；③底面；④侧面；⑤侧棱；⑥公垂线段；⑦不垂直于；⑧垂直于；⑨正多边形；⑩平行四边形；相等；矩形；全等的矩形；全等多边形；平行四边形；平行四边形；侧棱垂直于底面；矩形；棱长都相等；交于一点；交点；平方和；cl;Sh11121314151617181920212223247

1.如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.△ABC内部

解：由AC⊥AB，AC⊥BC1，知AC⊥平面ABC1，从而平面ABC1⊥平面ABC，因此，C1在底面ABC上的射影H必在两面的交线AB上.A8如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为

，侧棱长为4，E、F分别为棱AB、BC的中点，EF∩BD=G.则点D1到平面B1EF的距离为()A.B.C.D.

解：在对角面BDD1B1中，作D1H⊥B1G，垂足为H.9

因为平面B1EF⊥平面BDD1B1，且平面B1EF∩平面BDD1B1=B1G，所以D1H⊥平面B1EF.所以点D1到平面B1EF的距离d=D1H.

方法1：在Rt△D1HB1中，D1H=D1B1·sin∠D1B1H.因为D1B1=A1B1==4，sin∠D1B1H=sin∠B1GB==，所以d=D1H=.10

方法2：因为△D1HB1∽△B1BG，所以D1HB1B=D1B1B1G.所以d=D1H=方法3：连结D1G，则△D1GB1的面积等于正方形DBB1D1面积的一半，即

所以

11在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH的边及其内部运动，则M只需满足条件_________

时，就有MN⊥AC.

解：本题答案不唯一，当点M在线段FH上时均有MN⊥AC.

121.在直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，已知△BDC1和△ACD1都是正三角形.求证：这个直平行六面体是正方体.

证明：由已知BC1=DC1，∠BCC1=∠DCC1=90°，CC1=CC1，所以△BCC1≌△DCC1，所以BC=DC，从而底面ABCD为菱形.题型1

判断或证明棱柱的类型13因为△ACD1为正三角形，所以AC=AD1.又BC1=AD1，所以AC=BC1.因为BD=BC1，所以AC=BD，从而底面ABCD为正方形，所以直平行六面体ABCD-A1B1C1D1为正四棱柱.因为AC=BC1，BC=BC，∠ABC=∠C1CB=90°，所以△ABC≌△C1CB，所以AB=CC1.故该直平行六面体为正方体.14

点评：棱柱、直棱柱、正棱柱等之间具有一定的包含关系，而正方体又是特殊的正四棱柱，判断或证明一个棱柱为特殊的棱柱，找齐定义中的条件即可.15已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，面对角线A1B与平面A1B1CD所成的角为30°.求证：此四棱柱为正方体.

证明：设AB=a，B1B=b，过点B作BO⊥B1C于O，连结A1O.由A1B1⊥平面BCC1B1，得BO⊥A1B1，所以BO⊥平面A1B1CD.所以∠BA1O=30°.16所以又因为BB1·BC=BO·B1C，所以

，所以即(a-b)2=0，则a=b，即AB=BB1.所以此四棱柱为正方体.17

2.如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠A1AC=∠ACB=，∠AA1C=，侧棱BB1与底面所成的角为

，AA1=，BC=4.求斜三棱柱的底面积和高.

解:在Rt△AA1C中，AC=AA1·tan∠AA1C==4.所以S△ABC=×4×4=8.题型2棱柱中的有关计算18作B1H⊥平面ABC，垂足为H，则∠B1BH=.在Rt△B1BH中，B1H=BB1·sin∠B1BH=AA1·sin==6.

点评：棱柱的性质是解决棱柱有关计算的基础，而合理地将条件及所求转化到某些三角形中则是关键.空间中的计算问题大多是转化到一些三角形中，运用边角关系去解.19正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为

，高为2.过点B作平行于棱AC的截面，使截面与底面成60°的二面角，求这个截面的面积.

解：连结A1B、C1B，取A1C1的中点D，连结BD、B1D，则BD⊥A1C1，B1D⊥A1C1.20由已知，B1D=sin60°=3，BB1=2，所以在Rt△BB1D中，tan∠BDB1=

所以∠BDB1＜60°，从而截面与上底面A1B1C1相交，设分别与A1B1、C1B1相交于E、F，交B1D于M，连结BM.因为A1C1∥平面BEF，所以A1C1∥EF，所以B1M⊥EF，BM⊥EF，所以∠BMB1为截面与底面所成的角.21由已知∠BMB1=60°.在Rt△BB1M中，

在Rt△B1ME中，EM=B1Mtan30°=，所以EF=，所以S截=EF·BM=.22

3.如图，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，两个侧面AC1和AB1的面积之比为5∶8，它们所成的二面角为60°.棱柱的侧面积为60cm2，体积为

cm3，求棱柱的侧棱长.

解：考虑斜三棱柱的一个直截面DEF.如图.因为DF⊥AA1，DE⊥AA1，所以∠EDF为题中所述的二面角的平面角，即∠EDF=60°，题型3有关棱柱侧面积和体积的分析与计算23且

=DF∶DE=5∶8.设DE=8x，DF=5x，则在△EDF中，由余弦定理得EF=7x.再设侧棱长为l，则有方程组解得l=6.即棱柱的侧棱长为6cm.24

点评：棱柱的侧面积、底面积及体积的计算是立体几何中常见的计算题，对一些常见结论须熟悉.如棱柱的体积等于底面积乘以高，也可是直截面(即垂直侧棱的截面)乘以侧棱长；三棱柱三个侧面面积满足余弦定理等.25

平行六面体相交于一个顶点的三条棱的长分别是a、b、c，三条棱中每两条的夹角都是60°，求它的体积.

解：如图，取AA1=c，AB=a，AD=b.因为∠A1AD=∠A1AB，所以A1