2020高考数学热点与数列有关的概率统计压轴大题

数列与离散型随机变量相结合问题典例1【2019年全国卷口】为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为a和6，一轮试验中甲药的得分记为X(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i=0,1,L,8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则P0=0,P8=1,p=ap1+bp+cp1d=1,2,L,7)，其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c二P(X=1).假设a=0.5,B=0.8.⑴证明：{pi+1-pi}(i=0,1,2,L,7)为等比数列；(ii)求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.解：(1)由题意可知X所有可能的取值为：-1,0,1.•.p(X=-1)=(1-a)B；P(X=0)=aB+(1-a)(1-B)；P(X=1)=a(1-B)则X的分布列如下：X-101P(1-a)BaP+(1-a)(1-P)a(1-B)(2)Qa=0.5,B=0.8「.a=0.5x0.8=0.4,b=0.5x0.8+0.5x0.2=0.5,c=0.5x0.2=0.1

(i)Qp=ap1+bpj+(i)Qp=ap1即p=0.4p+0.5p+0.1pG=1,2,…，)1 i i+1整理可得：5p=4p.1+p.1(i=1,2，…,7)「.p1pp=4(ppp.)(i=1,2，…,7)二.{匕1Ppi}(i=0,1,2,…,7)是以p1Pp0为首项，4为公比的等比数列(ii)由⑴知：p,+1p耳=(〃1Pp0)4j=p1-4j/.ppp=p-47,ppp=p-46,TOC\o"1-5"\h\z(, ,)1p48 48—1 .作和可得：p_p=p-M-0+41+—+47)= p p=18「0' 1p41 313p- 1 48p11257(,,,)1p44 44p1 3 11257p=p一p=p-M-0+41+42+437- p= x = 4卜4%J 1p41 3 48p144+1p4表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5,乙药1治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4=苫氏0.0039，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理.例2某游戏棋盘上标有第0、1、2、L、100站，棋子开始位于第0站，选手抛掷均匀硬币进行游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束.设游戏过程中棋子出现在第n站的概率为Pn.（1）当游戏开始时，若抛掷均匀硬币3次后，求棋子所走站数之和X的分布列与数学期望；（2）证明：P-P=p1（P-P）（1<n<98）；n+1n2nn-\（3）若最终棋子落在第99站，则记选手落败，若最终棋子落在第100站，则记选手获胜.请分析这个游戏是否公平.解：（1）由题意可知，随机变量X的可能取值有3、4、5、6，P(X=3)=_3=一,8所以，随机变量X的分布列如下表所示:X34561331P8888所以，E(X)=3义-+4义-+5义-+6*-=—；8 8 8 82(2)依题意，当1<n<—8时，棋子要到第(n+1)站，有两种情况:1由第n站跳1站得到，其概率为-P；2n可以由第(n-1)站跳2站得到，其概率为-P2n-111所以，P=-P+-P.n+1 2n2n-111 1同时减去P得P-P=--P+-P=--(P-P)(1<n<—8)；n n+1n2n2n-1 2nn-111(3)依照(2)的分析，棋子落到第——站的概率为P=-P+-P，—— 2—8 2—71由于若跳到第99站时，自动停止游戏，故有P=-P.100 2—8所以P100<P—9，即最终棋子落在第99站的概率大于落在第100站的概率，游戏不公平.例3、11月，2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地-安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛(每人各投一次为一轮)，在相同的条件下，每轮甲乙两人在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，1 2设甲每次投球命中的概率为2，乙每次投球命中的概率为3，且各次投球互不影响.(1)经过1轮投球，记甲的得分为X，求X的分布列;(2)若经过〃轮投球，用j表示经过第i轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率.①求P,P2,P3；②规定P°=0，经过计算机计算可估计得p=api+1+bp+cp/b丰1)，请根据①中p，p2,p3的值分别写出a，c关于b的表达式，并由此求出数列｛pJ的通项公式.解：(1)记一轮投球，甲命中为事件A，乙命中为事件B，A,B相互独立，由- 1 2 ，一八，题意P(A)=-，P(B)=-，甲的得分X的取值为-1,0,1，1、21P(X=-1)=P(AB)=P(A)P(B)=(1--)x-=-，乙JJ二1x-+(1-1)x(1-2)」

23 2 3 2P(X=0)=P(AB)+P(AB)=P(A)P二1x-+(1-1)x(1-2)」

23 2 3 2TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1 2 1P(X=1)=P(AB)=P(A)P(B)=-x(1--)=_，2 3 6・•・X的分布列为:X一101P-1-1(2)由(1)p=,16TOC\o"1-5"\h\z11111 7p=P(X=0)-P(X=1)+P(X=1)(P(X=0)+P(X=1))=-x+-x(-+：)=,2 26626 36同理，经过2轮投球，甲的得分r取值-2,-1,0,1,2：i己P(X=-1)=x,P(X=0)=y,P(X=1)=z，则P(r二一2)=x2,P(r=一1)二盯+yx,P(r=0)=xz+zx+y2,P(r=1)=yz+zy,P(Y=2)=z2

由此得甲的得分y的分布列为:Y-2一1012P111336143216，11I/43216，■•p=-X +-X(-+ )+-X(—+—+ )33362636636636•/p-ap+bp+cp(b丰1),.Jp=.Jp=ap+bp一p=ap+bp+cp22 3 2 17 1「1—a+—b 36 6 643 7 1_7 a+—b+—c 〔216 36 6 366(1—b)a= 71-bc= 7代入 丝+1+bpt+cp-1(b01)代入 丝+1+bpt+cp-1(b01)得:p=—p+—p7i+1 7i-1..・p,+1-6(pJ11，数列｛PJpn/是等比数列，公比为q二^，首项为p0二石"Pn-1•二p二(p-p)+(p-p)+L+(p-p)=nn n-1 n-1 n-21 1T11 1(6)n+(6)n-1+L+6=5(6)*典例4某产品自生产并投入市场以来，生产企业为确保产品质量，决定邀请第三方检测机构对产品进行质量检测，并依据质量指标z来衡量产品的质量.当Z>8时，产品为优等品；当6&z<8时，产品为一等品；当2<z<6时，产品为二等品.第三方检测机构在该产品中随机抽取500件，绘制了这500件产品的质量指标Z的条形图.用随机抽取的500件产品作为样本，估计该企业生产该产品的质量情况，并用频率估计概率.4020OC80的颔4020OC80的颔（1）从该企业生产的所有产品中随机抽取1件，求该产品为优等品的概率；（2）现某人决定购买80件该产品.已知每件成本1000元，购买前，邀请第三方检测机构对要购买的80件产品进行抽样检测.买家、企业及第三方检测机构就检测方案达成以下协议：从80件产品中随机抽出4件产品进行检测，若检测出3件或4件为优等品，则按每件1600元购买，否则按每件1500元购买，每件产品的检测费用250元由企业承担.记企业的收益为X元，求X的分布列与数学期望;（3）商场为推广此款产品，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动.客户可根据抛硬币的结果，操控机器人在方格上行进，已知硬币出现正、反面的概率都方格图上标有第0格、第1格、第2格、……、第50格.机器人开始在第0格，客户每掷一次硬币，机器人向前移动一次，若掷出正面，机器人向前移动一格（从k到k+1），若掷出反面，机器人向前移动两格（从k到k+2），直到机器人移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束，若机器人停在“胜利大本营”，则可获得优惠券.设机器人移到第〃格的概率为PG<n<50,neN*），试证明｛P—P｝（1<n<49,neN*）是等比数列，并解释此n nn-1方案能否吸引顾客购买该款产品.121上87上42 1解：（1）根据条形图可知，优等品的频率为;87十=1，用频率估计概率，1则任取一件产品为优等品的概率为P=-.1（2）由（1）任取一件产品为优等品的概率为万，

由题意X=(1600-1000)x80-250x4=47000，或X=(1500-1000)x80-250x4=39000P(X=47000)P(X=47000)=C4416P(X=39000)=C04(1)4+C2—412J1116故X的分布列为:X4700039000PA1116TOC\o"1-5"\h\z5 11所以数学期望EX=47000x—+39000x =41500.16 16(3)机器人在第0格为必然事件，P=1，第一次掷硬币出现正面，机器人移到0第1格，其概率P=1.机器人移到第n(2<n<49)格的情况只有两种：\o"CurrentDocument"1 21①先到第n-2格,又出现反面,其概率乂-2，1②先到第n-1格，又出现正面，其概率2Pn-1.所以P=1P+1P，故P-P=-1(P-P)n2n-1 2n-2 n n-1 2 n-1 n-2所以1<n<49时，数列｛P~々J为首项P1-P01公比为-1的等比数列.1所以P-p。=1所以P-p。=-5，P-P=—n n-1l2J(1\n-5l2J一(1\n-5l2J以上各式累加，得P-1=-—+-—+-+nl2Jl2J(n=0,1,-,49)2所以获胜概率P49二31-(1A501-(n=0,1,-,49)2所以获胜概率P49二31-(1A501-(1A5011失败概率勺二-*二§（1、5049501-(1A49491+(1A491-48所以获胜概率更大一 (1A1(1A2所以P=1+--2)故此方案能吸引顾客购买该款产品.例5例5抚州不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化更有着许多旅游景点.每年来抚州参观旅游的人数不胜数.其中，名人园与梦岛被称为