2020新课标高考数学二轮讲义：第一部分第2讲集合、不等式、常用逻辑用语

第2讲集合、不等式、常用逻辑用语集合［考法全练］(2019高考天津卷)设集合A={—1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={xCR|1Wx<3},则(AAC)UB=( )A.{2} B.{2,3}C.{-1,2,3} D.{1,2,3,4}解析：选D.因为AAC={—1,1,2,3,5}n{xCR|1Wx<3}={1,2},所以(AAC)UB={1,2}U{2,3,4}={1,2,3,4}.故选D.(2019郑州市第二次质量预测)已知全集U=R,A={x|y=ln(1—x2)},B={y|y=4x2},则AC(?uB)=( )B.［0,1)A.(-1,0)B.［0,1)c.(0,1) D.(-1,0]解析：选D.A={x|1—x2>0}=(—1,1),B={y|y>0},所以？uB={y|yW0},所以AA(?uB)=(-1,0],故选D.3.(多选)若集合A={x|x(x-2)<0},且AUB=A,则集合B可能是( )A.{-1} B.{0}C.{1} D.{2}解析：选BCD.因为A={x|x(x—2)W0},所以A=[0,2].因为AUB=A,所以B?A.由选项知有{0}?A,{1}?A,{2}?A.故选BCD.TOC\o"1-5"\h\z4.（一题多解）已知集合A={（x,y）|x2+y2<3,xCZ,yCZ},则A中元素的个数为（ ）A.9 B.8C.5 D.4解析：选A.法一：由x2+y2W3知，-V3<x<V3,-卒串,又xCZ,yCZ,所以xC{—1,0,1},y€{-1,0,1},所以A中元素的个数为C3c3=9,故选A.法二：根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形 ，如图，易知在圆x2+y2=3中有9个整点，即为集合A的元素个数，故选A.TOC\o"1-5"\h\z5.已知集合M={x|y=lg（2—x）},N={y|y=^/1^x+^/x^1},则（ ）A.M?N B.N?MC.M=N D.NCM解析：选B.因为集合M={x|y=lg(2-x)}=(-oo,2),N={y[y="=x+\/x二1}={0},所以N?M.故选B.6.(一题多解)(2019安徽省考试试题)已知集合A={x|x-a<0},B={1,2,3},若AABw?,则a的取值范围为( )A.(—8,1] B.[1,+8)C.(—8,3] D.[3,+8)解析：选B.法一：集合A={xXWa},集合B={1,2,3},若AABw?,则1,2,3这三个元素至少有一个在集合A中，若2或3在集合A中，则1一定在集合A中，因此只要保证1CA即可，所以a>1,故选B.法二：集合A={x|x<a},B={1,2,3},a的值大于3时，满足AABw?,因此排除A,C.当a=1时，满足AHBw?,排除D.故选B.集合问题的求解策略(1)连续数集借助数轴，不连续数集借助Venn图.(2)图形或图象问题用数形结合法.(3)新定义问题要紧扣定义进行逻辑推理或运算.[提醒]解决集合问题要注意以下几点.(1)集合元素的互异性.(2)不能忽略空集.(3)注意端点的取值，如题3中，AA(?uB)中含有元素0.(4)理解代表元素的意义，如题4为点集，其他各题均为数集.

不等式的性质及解法

［考法全练］（2019陕西华阴期末）若不等式x2+x+m2v0的解集不是空集，则实数m的取值范围为（A.——OOB.112，2为（A.——OOB.112，2C.12'1D, 2，+°°解析：选B.因为不等式x2+x+m2〈0的解集不是空集，所以A>0,即1—4m2>0,所C1 1—2Vm<2.故选B.(多选)若0<a<1,b>c>1,则(A.ba>1cB.czia〉c

b—abC.ca1<ba1D.logcavlogba解析：选AD.对于A,因为b>c>1,所以c>1.因为(多选)若0<a<1,b>c>1,则(A.ba>1cB.czia〉c

b—abC.ca1<ba1D.logcavlogba解析：选AD.对于A,因为b>c>1,所以c>1.因为0<a<1,则故正确.对于B,若c-a>贝Ubc—ab>bc—ac,即a(c—b)>0,这与0Va<1b-abb>c>1矛盾故错误.对于C,因为0vav1,所以a—1v0.因为b>c>1,所以ca1>ba1故错误.对于D,因为0va<1b>c>1,所以logcavlogba故正确.故选AD.（一题多解）（2019高考全国卷n）若a>b,则（ ）A.ln(a—b)>0B.3a<3bC.a3-b3>0D.|a|>|b|解析：选C.法一：不妨设a=-1b=-2,则a>b,可验证A,B,D错误只有C正确.法二：由a>b,得a—b>0,但a—b>1不一定成立，则ln（a—b）>0不一定成立，故A不一定成立.因为y=3x在R上是增函数，当a>b时，3a>3b,故B不成立.因为y=x3在R上是增函数，当a>b时，a3>b3,即a3—b3>0,故C成立.因为当a=3,b=—6时，a>b,但|a|v|b|,所以D不一定成立.故选C.4.设[x]表示不超过x的最大整数（例如：[5.5]=5,[—5.5]=—6）,则不等式[x]2—5[x]+6W0的解集为（ ）A.(2,3)C.[2,3]A.(2,3)C.[2,3]D.(2,3]解析：选B.不等式[x]2—5[x]+6W0可化为（[x]—2）（[x]—3户0,解得2W[x]<3,即不等式[x]2—5[x]+6w0的解集为2W[x]w3.根据[x]表示不超过x的最大整数，得不等式的解集为wx<4.故选B.5.已知实数b>a>0,m<0,5.已知实数b>a>0,m<0,则mbb—mma,'a—m-[（用〉，〈填空）.a解析：因为b>a>0,m<0,所以b—a>0,所以mb—ma=m(b—a)<0,所以mbvma.b—mba(b—m)—b(a—m) m(b—a)(a—m)a(a—m)b—mba(b—m)—b(a—m) m(b—a)(a—m)a(a—m)<0所以以m<ba—ma答案：vv6.已知函数f（x）=2x,x<1,若不等式6.已知函数f（x）=2x,x<1,若不等式ln(x—1),1<x<2,f（x）w5—mx恒成立，则实数m的取值范围是解析:作出函数f(x)的大致图象如图所示，令g(x)=5—mx,则g(x)恒过点(0,5),由f(x)Wg(x).5 1 5 .1 5恒成立，由数形结合得一2<-m<0,解得OWmW].5答案：0,5(1)一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2+bx+c>0(aw0),再求相应一元二次方程 ax2+bx+c=0(aw。)的根，最后根据相应二次函数图象与 x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集.(2)简单分式不等式的解法J(x)①^"^>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0).g(x)②f，xIA0(W0)?f(x)g(x)>0(W0)且g(x)W0.g(x)(3)不等式恒成立问题的解题方法①f(x)>a对一切xCI恒成立？f(x)min>a；f(x)va对一切xCI恒成立？f(x)max<a.②f(x)>g(x)对一切xCI恒成立？f(x)的图象在g(x)的图象的上方.③解决恒成立问题还可以利用分离参数法 ，一定要搞清谁是自变量，谁是参数.一般地知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数.利用分离参数法时 ，常用到函数单调性、基本不等式等.基本不等式及其应用［考法全练］1.(多选)下列不等式的证明过程错误的是 ( )A.若a,b€R,则2+?2叱=2B.若a<0,则a+a>-2\jaa=-4C.若a,bC(0,十°°),则iga+igb>2:lga•1gbD.若aCR,则2a+2an2M2a•2a=2解析：选ABC.由于a,b的符号不确定，故选项A错误；因为a<0,所以a+4=-a(―a)+—£W—2(-a) -£=-4,故B错误；由于1ga,1gb的符号不确定，故选项C错误；因为2a>0,2a>0,所以2a+2a。242a・2a=2,故选项D正确.故选ABC.TOC\o"1-5"\h\z2.(一题多解)(2019长沙卞II拟)若a>0,b>0,a+b=ab,则a+b的最小值为( )A.2 B.4C.6 D.8解析：选B.法一：由于a+b=abw"甘)一，因此a+b>4或a+bw0(舍去)，当且仅4

当a=b=2时取等号，故选B.法二：由题意，得1+1=1,所以a+b=(a+b)-+a+b+-8-^+a-b+-2-^a+b a—b=2+a+->2+2=4,当且仅当a

ab abbaa+b+-8-^+a-b+-2-^a+b a—b=b=2时取等号，故选B.b法二：由题思知a=b^1b法二：由题思知a=b^1（21），所以"b=—+b=2+b-1+—b-1b-1>2+2=4,当且仅当a=b=2时取等号，故选B.3.已知向量a=（x—1,3）,b=（1,y）,其中x,y都为正实数.若a±b,则」的最小x3y值为（ ）A.2C.4B.2取A.2C.4D.2m解析：选C.因为a^b,所以ab=x—1+3y=0,即x+3y=1解析：选C.因为a^b,所以ab=x—1+3y=0,即x+3y=1.又x,y为正实数所以打-=(x+3y)1+；=2+3y+》2+y x3yx3y2=43y，…， 1一..当且仅当x=3y=：时取等- 1所以x+可勺最小值为4.故选C.勺最小值为4.故选C.4.(2019高考天津卷)设x>0,y>0,x+2y=5(x+1)(2y+1-——~^y一)一的最小值为•,xy解析：因为x>0,y>0,所以4讨>0.因为x+2y=5,所以(x+1)(2y+1),xy2xy+x+2y+12xy+6=2®『2g=所以因为x+2y=5,所以(x+1)(2y+1),xy2xy+x+2y+12xy+6=2®『2g=所以毕口当且仅当24勺•(x+1)(2y+1)『xy的最小值为43.答案：435.（2019洛阳模拟）已知x>0,y>0,且x+y=1,则xy+x+y的最小值为解析：因为1+y=1,所以2x+y=xy,所以xy+x+y=3x+2y,因为3x+2y=(3x+2y)x+j=7+6x+2y,且x>0,y>0,所以3x+2y>7+4^J3,所以xy+x+y的最小值为7+4、/3.答案：7+45一4一解析：因为a>b>0,所以a+6已知a>b>0解析：因为a>b>0,所以a+立.利用不等式求最值的4个解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值.(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解百可利用基本不等式求最值.可以通过凑系数后得到和或积为定值(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用基本不等式求最值.即化为A立.利用不等式求最值的4个解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值.(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解百可利用基本不等式求最值.可以通过凑系数后得到和或积为定值(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用基本不等式求最值.即化为Ay=m+―Bg(x)(A>0,B>0),g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值.(4)1”的代换：先把已知条件中的等式变形为 1”的表达式，再把1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积，通过变形构造和或积为定值的代数式求其最值.［提醒］(1)基本不等式a+b>2jab成立的条件是a>0,b>0,而不等式a2+b2>2ab对任意实数a,b都成立，因此在使用时要注意其前提条件.(2)对多次使用基本不等式时，需考虑等号是不是能同时成立.(3)对于含有x+；(a>0)的不等式，不能简单地利用x+：R2/a,而是要根据x的取值范围判断能否取到最小值2班，若不能，需要利用函数的单调性求其最小值.(a+b) ^-8--Fa+b(一)1=2代卷=W2，当且仅当a=乎,b=¥(a+b) ^-8--Fa+b常用逻辑用语［考法全练］（2019沈阳市质量监测（一））设命题p：?xCRx2—x+1>0,则税p为（ ）A.常用逻辑用语［考法全练］（2019沈阳市质量监测（一））设命题p：?xCRx2—x+1>0,则税p为（ ）A.C.?x€R,x2-x+1>0?xCR,x2—x+1<0B.?xCRD.?xCR解析：选C.已知原命题p：?xCR,x2-x+1>0量词，并否定命题的结论,故原命题的否定税p为？2.（2019广州市调研测试x2—x+1<0x2-x+1<0全称命题的否定是将全称量词改为存在x€R,x2—x+1W0.）下列命题中，为真命题的是（）?xoCR,ex0<0?xCR,2x>x2C.a+b=0的充要条件是C.a+b=0的充要条件是a=-1D.若x,yCR,D.若x,yCR,且x+y>2,解析：选D.因为ex>0恒成立则x,y中至少有一个大于1所以选项A错误.取x=2,则2、=x2,所以选项B错误.当a+b=0时，若b=0,则a=0,此时a无意义，所以也不可能推出a=—1；当a+b=0时，若b=0,则a=0,形得a=—b,所以a+b=0,故a+b=0的充分不必要条件是b=—1,故选项C错误.假设xw1且yW1,则x+y<2,这显然与已知x+y>2矛盾，所以假设错误，所以x,y中至少有一个大于1,故选项D正确.综上，选D.（2019高考浙江卷）若a>0,b>0,贝U"a+bW4”是“abW4”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：选A.因为a>0,b>0,若a+bw4,所以2j0bw2+bw4.所以ab<4,此时充分性成立.当a>0,b>0,abW4时，令a=4,b=1,则a+b=5>4.这与a+bW4矛盾，因此必要性不成立.综上所述，当a>0,b>0时，"a+bW4"是"abW4”的充分不必要条件.故选A.(2019高考天津卷)设乂6R,则“x2—5x<0”是“|x—1|<1"的( )A,充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选B.由“x2—5x<0"可得0<x<5"；由“|x—1|<1"可得0<x<2”.由0<x<5"不能推出0<x<2"，但由0<x<2”可以推出0<x<5"，所以“x2—5x<0”是“|x—1|<1"的必要不充分条件.故选B.(多选)满足函数f(x)=ln(mx+3)在(―°°,1］上单调递减的一个充分不必要条件是 ( )A.-3<m<-2 B.-3<m<0C.一4Vm<0 D.一3Vmv—1解析：选AD.结合复合函数的单调性，可知函数f(x)=ln(mx+3)在(―00,1］上单调递减的mv0,充要条件是 解得—3vmv0.所以“―3vmv—2"是"函数f(x)在(―°0,1］上单调m+3>0,递减”的充分不必要条件，故A正确；"—3vm<0"是“函数f(x)在(―00,1］上单调递减”的充要条件，故B不正确；"―4vmv0”是“函数f(x)在(—8,1］上单调递减”的必要不充分条件，故C不正确；"―3vmv—1”是“函数f(x)在(―8,1］上单调递减”的充分不必要条件，故AD正确.6.设条件p：|x|wm(m>0),q：—1WxW4,若p是q的充分条件，则m的最大值为,若p是q的必要条件，则m的最小值为.解析：由冈wm(m>0)得：一mWxWm,由p是q的充分条件？—m>—1?0vmw1,m<4所以m的最大值为1,由p是q的必要条件？ ？m>4,m>4所以m的最小值为4.答案：14(1)充分条件与必要条件的三种判定方法正、反方向推理~,若p?q,则p是q的充分条件(或q是p的必要条件);若p定义法?q,且q?/p,则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)利用集合间的包含关系,例如p：A,q：B,若A?B,则p是q的充分条件(q集合法是p的必要条件)；若A=B,则p是q的充要条件等价法 将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题(2)全称命题与特称命题真假的判定方法①全称命题：要判定一个全称命题是真命题 ，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立，要判定其为假命题，只需举出一个反例即可.②特称命题：要判定一个特称命题为真命题 ，只要在限定集合M中至少能找到一个元素xo,使得p(xo)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题.［提醒］求解简易逻辑问题有以下几个易失分点：“A是B的充分条件”与“A的充分条件是B”是不同的概念.(2)命题的否定与否命题是有区别的 ，“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论.(3)全称或特称命题的否定，要否定结论并改变量词.一、选择题（2019高考全国卷n）设集合A={x|x2—5x+6>0},B={x|x—1<0},则AAB=（ ）A.（―巴1） B.（—2,1）C.（—3,—1） D.（3,i）解析：选A.AAB={x|x2-5x+6>0}A{x|x-1<0}={x|x<2或x>3}n{x|x<1}={x|x<1}.故选A.（2020山东高考模拟）设命题p：所有正方形都是平行四边形.则税p为（ ）A.所有正方形都不是平行四边形B.有的平行四边形不是正方形C.有的正方形不是平行四边形D.不是正方形的四边形不是平行四边形解析：选C.根据全称命题和特称命题的关系，全称命题的否定是特称命题，故选C.（2019沈阳市质量监测（一））已知全集U={1,3,5,7},集合A={1,3},B={3,5},则如图所示阴影区域表示的集合为 （ ）{3}{7}{3,7}{1,3,5}解析：选B.由图可知，阴影区域为？u（AUB）,由并集的概念知，AUB={1,5},又={1,3,5,7},于是？u(AUB)={7},故选B..（2019广西钦州期末）已知a,bCR,a2{3}{7}{3,7}{1,3,5}解析：选B.由图可知，阴影区域为？u（AUB）,由并集的概念知，AUB={1,5},又={1,3,5,7},于是？u(AUB)={7},故选B..（2019广西钦州期末）已知a,bCR,a2+b2=15-ab,则ab的最大值是A.15B.12C.5D.解析：选C.因为a2+b2=15—ab>2ab,所以3ab<15,即ab<5,当且仅当等号成立.所以ab的最大值为5.故选C..已知a>0>b,则下列不等式一定成立的是A.a2<—abB.|a|v|b|1a1bD.2>2解析:选C.通解：当a=1,b=—1时，满足a>0>b,此时a2=—ab,|a|=|b|b,D不一定成立.因为a〉02所以b-a<0,ab”所以a-b=嚎>0，所以a>b所以a>b定成立，故选C.优解：因为a〉0*所以a>0>b,所以»定成立，故选C.6.下列命题错误的是（ ）“ 1 ,,1 、一，A.“a>1”是“£<1”的充分不必要条件B.命题“？xoC(0,+8),lnX0=X0—1”的否定是“？xC(0,+8),lnx^x—1C,设x,yCR,则“x>2且y>2”是“X2+y2>4”的必要不充分条件D.设a,bCR,则"aw0"是"abw0"的必要不充分条件解析：选C.若1<1,则a>l或a<0,则看>1”是“,<1”的充分不必要条件，故A正确；根a a据特称命题的否定为全称命题， 得“？XoC(0,+oo),lnxo=xo—1”的否定是“？xC(0,+00),lnxwx—1"，故B正确；当x>2且y>2时，x2+y2>4,当x2+y2>4时却不一定有x>2且y>2,如x=5,y=0,因此"x>2且y>2”是“x2+y2>4”的充分不必要条件，故C错误；因为“ab=0”是“a=0”的必要不充分条件，所以“aw0”是“abw0”的必要不充分条件，故D正确.7.(一题多解)若关于x的不等式x2+2ax+1>0在[0,+8)上恒成立，则实数a的取值范围为( )A.(0,+8) B.[-1,+OO)C.[-1,1] D,[0,i)解析：选B.法一：当x=0时，不等式1>0恒成立，当x>0时，x2+2ax+1>0?2ax>-(x2+1)?2a>—x+1,又一x+1<-2,当且仅当x xx=1时，取等号，所以2a2?a>—1,所以实数a的取值范围为[―1,十°°).法二：设f(x)=x2+2ax+1,函数图象的对称轴为直线x=—a,当一aw。，即a>0时，f(0)=1>0,所以当xC[0,+00)时，f(x)>0恒成立；当一a>0,即a<0时，要使f(x)>0在[0,+8)上恒成立，需f(-a)=a2-2a2+1=-a--1^0,得一1Wa<0.综上，实数a的取值范围为[—1,+8),故选B.0,x<0,8.(一题多解)设函数f(x)=2X2xx>0则满足不等式f(x2—2)>f(x)的x的取值范围是()A.(―巴—1)U(2,+8)(—8,—的U(业+8)(-8,—啦)U(2,+00)(—8,—1)U(@ )解析：选C.法一：因为当x>0时，函数f(x)单调递增；当x<0时，f(x)=0,故由f(x2-x>0, x<0, 厂 ,,2)>f(x)得， 或 解得x>2或xv—陋，所以x的取值范围是(―00,—x2-2>x x2-2>0,V2)U(2,+8),故选c.法二：取x=2,则f(22-2)=f(2),所以x=2不满足题意，排除B,D;取x=—1.1,则f((—1.1)2—2)=f(—0.79)=0,f(-1.1)=0,所以x=-1.1不满足题意，排除A,故选C.9.(多选)已知全集U=R,函数y=ln(1—x)的定义域为M,集合N={x|x2—xv0},则下列结论正确的是( )A.MnN=NB.MA(?uN)w?C.MUN=UA.MnN=NB.MA(?uN)w?C.MUN=UD.解析：选AB.由题意知M={x|xv1},N={x|0<x<1},M?(?uN)所以MAN=N.又？uN={xKW0或x>1},所以Mn(?uN)={x|xW0}w?,MUN={x|x<1}=M,M(?uN),故选AB.10.(多选)已知a,b,c是实数，下列结论正确的是( )10.A.“a解析：选ABC.因为\=旻在(0,+00)A.解析：选ABC.因为\=旻在(0,+00)上是增函数，所以B.“a2>b2”B.“a2>b2”是a>b”的必要条件C.“ac2>bc2”是a>b”的充分条件D.“同>|b|”是a>b”的既不充分也不必要条件解析：选CD.对于A,当a=—5,b=1时，满足a2>b2,但是a<b,所以充分性不成立;r2c对于B,当a=1,b=—2时，满足a>b,但是a2<b2,所以必要性不成立；对于C,由acr2c得cw。，则有a>b成立，即充分性成立，故正确；对于D,当a=—5,b=1时，|a|>|b成立但是回<|b|,所以必要性也不但是a<b,所以充分性不成立，当a=1,b=—2但是回<|b|,所以必要性也不成立.故间>|b|"是a>b”的既不充分也不必要条件.故选CD..(多选)设b>a>0,cCR,则下列不等式正确的是 (1 1A.a2<b2a+2aK>bD.ac2<bc2■11 1a2vb2因为y=--c在(0,十

xoo),-,~ 1 1一，上是减函数，所以厂。>b-c.因为a+2a2(b—a)(b+2)b>。，所以言力当。=。时，a，=bc2,所以D不成立.故选ABC..(多选)下列命题正确的是A.已知A.已知a,b都是正数，且a<bf(x)>0,则f(1)vf(2)一定成立已知f'(x)f(x)>0,则f(1)vf(2)一定成立C.命题“？xCR,使得x2-2x+K0”的否定是真命题D.“xw1且yw1”是“x+yW2”的充要条件解析：选AC.A.已知a,b都是正数，由a^>a,得ab+b>ab+a,则avb,正确；B.b+1b若f(x)是常数函数，则f(1)vf(2)不成立；C.命题“？xCR,使得x2—2x+1<0”是假命题，则它的否定是真命题； D. “xW1且y