2020年全国初中数学联赛江西预赛试题及解答

角形；斜边长为J2的有角形；斜边长为J2的有6个，它们组成形；共H26对.23、设ab0,且函数f[(x)x2ax一…-•、 2 - -•、函数f3(x) x2bx4a与f4(x)A、必为正数； B、必为负数；答案：C.2 2 2解：f1(x)(xa)4ba4ba. 2 _ 2 _ 2由4b a u 2b 4a,得2b 3af3(x)(xb)24ab24ab2,由4a b2 v 2a 4b2,得2a 3b215对全等三角形；斜边长为2的有2个，它们组成或24b与fz(x)x4ax2b有相同的最小值u；2x4bx2a有相同的最大值v；那么uv的值().C、必为0；D、符号不能确定._ _ 2 _ 2 _ 2,f2(x)(x2a)2b4a2b4a,……①f4(x) (x2b)22a4b22a4b2；……②2020年全国初中数学联赛江西预赛试题及解答第一试一.选择题〔每题7分，共42分〕1、化简J3\/^T1^^8的结果是〔〕.6,2A、22；B、——; C、2;D、—.TOC\o"1-5"\h\z2 2答案：D解：13 488 (2石)2 14石(12a：, 5(1 273) 4 2M 电 1)2,_ 」- -j—2- -42.3(、,31)2 .6.2 13(V31)2V3—1一 2 2 ，因此原式-.2、ABC是一个等腰直角三角形，DEFG是其内接正方形，H是正方形的对角线交点；那么，由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为〔 〕. cA、12;B、13;C、26;D、30.答案：C.解：设AB3,图中所有三角形均为等腰直角三角形，其中，斜边长为A D E B1的有5个，它们组成10对全等三②-①得，2(ab)3(b2③，或ba—……d3假设ab0,那么2（uv)(6b5a2)(6a5b2)(ab)[65(ba)]0；4、假设关于x的方程2ax7a②-①得，2(ab)3(b2③，或ba—……d3假设ab0,那么2（uv)(6b5a2)(6a5b2)(ab)[65(ba)]0；4、假设关于x的方程2ax7a100没有实根，那么,必有实根的方程是〔A、x22ax3a0;B、x22ax5a0；C、x22ax10a210；D、x22ax2a 2 2o o假设ba—,据②④，2(b-)3b2,即(3b1)230,矛盾!3 3a4(a1)(a2),b4(a2)(a3),c4(a3)(a7),a4(a1)(a2),b4(a2)(a3),c4(a3)(a7),4(a1)(a3),明显，关于满足2a5的每个a值，能够确保 A0,但不能保证D非负，〔即使得方程B,C,D无实根的a的区间与区间（2,7）都有重叠部分,而使方程 A无实根的a的区间（1,2）与区间（2,7）答案：A.解：由方程x22ax7a100无实根，得其判不式A 0,因此2a5,方程A,B,C,D的判不式分不是5、正方形ABCD中,E,F分不是AB,BC上的点,DE交AC于M，AF交BD于N;假设AF平分BAC,DEAF、BE5、正方形ABCD中,E,F分不是AB,BC上的点,DE交AC于M，AF交BD于N;假设AF平分BAC,DEAF、BE记xOMBNONA,CF』一

z—,那么有〔A.. NmPz；答案：D解：由角平分线BNONAME为等腰三角形，OMPsAME,xABAOAMBEOMAE,

BEOPACCFABBFAME的角分线与高重合,那么作OP//AB,交OE于P,那么OP为DBE的中位线,2,因此xyz.无重叠部分〕，因此A必有实根，其余方程不一定有实根4种;8种;4种;8种;C12种、；D、16种.6、将1,2,3,4,5,6,7,8这八个数分不填写于一个圆周八等分点上， 使得圆周上任两个相邻位置的数之和为质数，假如圆周旋转后能重合的算作相同填法，那么不同的填法有〔答案：B解：相邻两数和为奇质数，那么圆周上的数奇偶相间，因此8的两侧为3,5,而7的两侧为4,6;剩下两数1,2必相邻，且1与4,6之一邻接；考虑三个模块[4,7,6],[5,8,3],[1,2]答案：B解：相邻两数和为奇质数，那么圆周上的数奇偶相间，因此8的两侧为3,5,而7的两侧为4,6;剩下两数1,2必相邻，且1与4,6之一邻接；考虑三个模块[4,7,6],[5,8,3],[1,2]的邻接情形，得到8种填法.二、填空题〔每题7分，共28分〕1、假设k个连续正整数之和为2010,那么k的最大值是.答案：60.解：设2010(n1)(n2)川(nk)knk(；1),那么k(2nk1)4020,注意k2nk1,而4020223567,为使k值最大，当把4020表成最接近的一对因数之积,为4020602、单位正三角形中，将其内切圆及三个角切圆〔与角两边及三角形内切圆都相切的圆〕的内部挖去，那角形剩下部分的面积B解：单位正三角形内切圆半径为r,其面积为s r26一,而。为其中心,12故ODOHAHr,因此,AEF与ABC的相似比为1:3,因此每个小圆面积等于。 O面积的1 ,-,故四个圆面积之和为9因此，所求三角形剩下部分的面积为93、圆内接四边形ABCD3、圆内接四边形ABCD的四条边长顺次为:AB2,BC7,CD6,DA9,那么四边形的面积为.答案：30.解:由于7262859222,即BC2CD2DA2AB2,因此解:由于7262859222,即BC2CD2DA2AB2,因此BCD与DAB差不多上直角三角形,因此，四边形面积SBCD SDAB(7692)30.4、答案:12324个.20中，适当选择+、-号，能够得到不同代数和的个数是解:1,2,3,5,20中,有奇数三个，故其代数和必为奇数；由1,2,3,5能够得到绝对值 11的所有奇数:这是由于1125,3 1235,51235,71235,9 1235,111235；以上各式通乘 1,可得1,3,5,7,9,11的表达式；而据题意，表达式中，1,2,3,5及20都必须参与，那么，能得到的整数应是 20加或减13,5,7,9,11,即得到十二个正奇数9,11,13，“131和十二个负奇数 9,11,|||,31;因此可表出的数共计24个.第二试、〔20分〕边长为整数的直角三角形，假设其两直角边长是方程x2（k2）x4k0的两根，求k的值并确定直角三角形三边之长.解：设直角边为a,b,〔ab〕那么a2,ab因方程的根为整数，故其判不式为平方数,设(k2)216k321648,k6n6n,n3232n323216或

2解得ki45…人一（不是整数，舍去）2k215,k312k215时,ab17,ab605,b12,c13k312时,ab14,ab486,b8,c10二、〔25分〕如图，自ABC内的任一点P,作三角形三条边的垂线:PDBC,PECA,PFAB，彳由设BDBF,CDCE;证明：AEAF.证：注意如下事实：假设四边形的两条对角线互相垂直，那么其两组对边的平方和相等.连PA,PB,PC,那么有PA2BF2PB2AF2；PB2CD2PC2BD2,PC2AE2PA2CE2；2 2 2 2 2 2二式相加得AECDBFAFCEBD,利用条件BDBF,CDCE，代入上式，得AEAF.三、〔25分〕a,b,c为正整数，且3a