二次函数与一元二次方程和一元二次不等式

1.知识系统二次函数是主体，一元二次方程和一元二次不等式分别为二次函数函数值为零（零点）和不为零的两种情况，一般讨论二次函数主要是将其通过一元二次方程和一元二次不等式来讨论，而讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联，通过二次函数图象揭示解（集）的几何特征.即零〃I二校函数影论数零〃I二校函数影论数V讨V 根的讨论、v一元二次方程 一元二淡不等式'求解集1.1二次函数的几何特征:设二次函数¥=短口+版+1==自6+5）口+”萨，Q卢0）△=b2—4ac,则（1）二次函数的图象.⑵抛物线张口方向与极值.况>。=张口向上，有最小值；y=一晶一;况<0一张口向下，有最大值:¥二"萨.(3)对称轴：区二对称轴在原点左侧oa、b同号；对称轴在原点右侧oa、b异号;对称轴与y轴重合ob=0.4ac-b4aM在x轴上方oa、△异号；M在x轴下方oa、△同号；M在x轴上<=>△=。，M在直线y=ks+t_tmkb4ac-/---+£=.(5)图象过点(m,n)图象过点(m,n)am2+bm+c=n.特别地：m=0oc=n(c为截距)；m=n=0oc=0；m=±1,n=0oa±b+c=0.1.2二次函数与一元二次方程:

函数y=ax2+bx+c(aW0),当y=0时，即为一元二次方程ax2+bx+c=0,故，一元二次方程的解又叫二次函数的零点，令方程‘y=0"，根为外x2,则有：二次函数的零点o抛物线与x轴的交点o方程y=0的根.⑴交点个数:有两个交点（x1，0）、（x2,0）o方程y=0有不等实根oA>0；有一个交点（x1,0）0方程y=0,有等实根oA=0；无交点o方程y=0,无实根o△V0；⑵交点位置:两交点在原点两侧一方程y方程y=0有异号根=A>o,0；两交点在原点同恻U=方程y方程y=。有同号根<=>A>0,两交点在原点右侧0fA>0,方程y=0有两正根=Jac>0,ab05两交点在原点左侧=>fA>07方程y=0有两负根=卜〉0,让70；两交点在两数a、p之间或之外两交点一个在两数a、p之间=d+c）（aP2+bP+c）<0方程y=。满足*—口）（町—口）（q,马—P）（盯—8）两交点在数口的两侧C=>a（ad2-FbCl+（?）<^0==>方程y=0满足*/ 1/厂、两交点在数口的同恻C=>a（ad2H-bCl+（?）卜方程y=0满足M'a）a3〉c|（3）两交点间距离二氏-%产彳，（A>0）1.3二次函数与一元二次不等式：二次函数y=ax2+bx+c（aW0）,当讨论函数值y〉0或y<0的自变量x的取值范围时，即为解不等式ax2+bx+c〉0或ax2+bx+c<0（aW0）,即：二次函数y〉0或y<0的自变量取值范围 抛物线上在x轴上方

或下方的点对应的横坐标o不等式ax2+bx+c〉0或ax2+bx+c<0(aW0)的解集.故设a〉0(a<0时可仿此讨论)，方程ax2+bx+c=0两根为x1、x2且x1<x2于是：(1)抛物线上在x轴上方的点的横坐标oax2+bx+c〉0的或笈>％ ,解集切展1=叼的一切实数，(△=0),解集因为一切实数；(2)抛物线上在x轴下方的点的横坐标oax2+bx+c<0的六1<区<叼CA>0)，解窄集(A<0)..举例：例1已知二次函数y=ax2+bx+c(aW0)的图象如图所示:(1)试判断a、b、c及b2-4ac的符号;(2)若IOAI=IOBI,试证明ac+b+1=0.

分析：解本题，主要是应用抛物线的几何特征（张口方向，对称轴，截距，与x轴交点个数）及函数零点（方程）的有关知识，即⑴由抛物线张口方向、对称轴位置、截距及与x轴交点个数，立即可得:a〉°,b<0,c<0,b2-4ac>0.（2）由方程ax2+bx+c=0==[0闺=区/]一结论.|OB|=-C）|OA|=|OB| J例2已知二次函数y=4x2+4x+m的图象与x轴两交点和对称轴的交点构成一个正三角形的三个顶点，求函数解析式.分析：求解析式，即求m,主要是应用抛物线的顶点、对称轴与x轴的交点（即解方程）和三角形的有关知识，即:由方程4/+ 由方程4/+ m=Q=>沟，口-l+TTm =悝1-叼|二Jl-m,由抛物线顶点C（ m-1）,由两点间距离公式求出m由两点间距离公式求出m-l）和AL1一环2,口）的距离;隰C|二|4-町户m=],（tn=l舍去）例3m为何值时，关于x的方程8x2-（m-1）x+（m-7）=0的两根：⑴为正数根，（2）为异号根且负根绝对值大于正根，（3）都大于1,（4）一根大于2,一根小于2,（5）两根在0，2之间.分析：关于方程根的讨论，结合二次函数图象与x轴的交点位置的充要条件即可求：即设方程两根为x『x2,则fA>oQ）卜l+句>0=> 9嬴卜「叼>口rA>o（2）wg]+芯0=■笈]*町亡0rA>o（3）《宜=■m以2多（4）4 =^-tn>27；（笈]-2）（叼-2）0（区1-2）（町-2）〉。7<m<9或25<m<27.

例4证明关于x的不等式(3k-2)x2+2kx+k-1V0与(ka+ 1>0,当k为任意实数时，至少有一个恒成立.分析：证明不等式恒成立，实质证明对应抛物线恒在轴的上方或下方的问题，故只要求抛物线恒在x轴上方或下方的充要条件即可.即由(业-2)1+2kn+k-l<0恒成立un对应抛物线恒在蚌由 |3k-2<0(弘-2)0一1)<0由(ka-/十lez+1〉口恒成立<=>对应抛物线恒在塔由上方-4Ck2-^)<0 5弓因此，当k为任意实数时，上述两充要条件至少有一个成立，命题得证.例5已知关于x的方程x2-2mx+4m2-6=0两根为a、0，试求：(a-1)2+(0-1)2的极值.分析：求(a-1)2+(p-1)2的极值，即应用方程根与系数的关系和判别式，求二次函数的条件极值