专题12函数的单调性求值域

专题12函数的单调性（求值域）主要考查：利用函数的单调性求函数值域（或最值）一、单选题6TOC\o"1-5"\h\z1.函数y=在区间[3,4]上的值域为（ ）X-1A.[1,2] b.[3,4] c[2,3] D.[1,6]【解析】因为反比例函数y=6在（0,内）上单调递减，函数y=-6-的图像可由y=6的图像向右平移X X-1 X一个单位后得到，所以函数y=-6-在（1,+8）上单调递减，X一16 6 6因此y=在区间[3,4]上单调递减，所以 <y<--，即2<y<3.故选：C.x一1 4-1 3-12.设函数f（x）=x2-4x+1在区间限41上的值域为（ ）A.[-3,1] B.（-8,-3）d（1,+8） c,[-2,1] d.（-2,11【解析】f（X）=X2-4X+1=（X-2）2-3所以，函数f（X）在区间[1,2）上单调递减，在区间（2,4]上单调递增，则f（X）=f（2）=-3min・.・f1=-2,f（4）=1，：.f（x）=f（4）=1.max因此，函数f（x）=x2-4x+1在区间限4]上的值域为[-3,1].故选：a.3x+13x+1,x<1,3.函数y={ 的值域为(-logX,X>1,7A.(-8,0)d(0,9)B.[0,+8)C.(-8,9]D.(-8,9)【解析】因为y=3X+1在（-8,1）上递增，所以3x+【解析】因为y=3X+1在（-8,1）上递增，因为y=-log7x在[1,+8）上递减，所以y=-log7x<-log,1=0,所以函数的值域为（-8,9），故选：D4,函数y=x2+1,4,函数y=x2+1,x<-

X1-的值域是（A.( 71一8，-47——,+84[3亚\)[丁+8JD.(3夜-8fv【解析】由于(x)二x2、g(x)'在x"2上都单调递减,・•・y=x2+1,在x<-1上单调递减，x 2.，.当x=--.，.当x=--时，

2y有min(-J"74，所以值域为一：，+8.故选：B.4J…1一3TOC\o"1-5"\h\z.若函数f(x)=-x2-x+-的定义域和值域都是［1回，则b=( )A.1 B.3 C.-3 D.1或3【解析】因为函数f(x)=1x2-x+3=1(x-1)2+1在[1b]上为增函数，且定义域和值域都是[1b]所以f(x).=f(1)=1,f(x)=f(b)=b，b2-b+-|=b，解得b=3或b=1(舍)，min max 2 2故选：B.函数f(x)=<x-1+2x的值域为( )A.[-1,+8) B.[0,+8) c.[1,+s) D.[2,+8)【解析】令x-1>0，解得：x>1，即函数f(x)在n,+8)为增函数，所以f(x)e［2,+8),即函数f(x)的值域为［2,+8)，故选：d..已知f(x)=x2+3：+6(x>0)，则f(x)的最小值是( )x+1A.4 B.5 C.6 D.8【解析】令t=x+1,(x>0)，所以x=t-1,(t>1)；x2+3x+6 (t-1)2+3(t-1)+6/所以f(x)= (x>0)转化为y= (t>1)x十1 t即y=(t-1)2+3(t-1)+6=t+4+1,(t>1)tt又函数y在(1,2)上单调递减，在区间(2,+8)上单调递增，所以当t=2时，y取到最小值，最小值为5即当x=1时，f(x)取到最小值，最小值为5.故选：B.

8.已知函数仆)=2+log2Kl<x<4)，则函数y=[f(x)]2+fQ2)的最大值为(A.6 B.13 C.22 D.33【解析】f(x)=2+log2x，，y=[f(x)]2+f(x2)=(log2x)2+610g2x+6,・・・1<・・・1<x<4〃1<x<4<1<x2^4，y=[f(x)]2+f(x2)=(1og2x)2+61og2x+6，的定义域是｛xU<x<2).令10g2x=t，因为1<x<2，所以0<t<1，则上式变为y=12+6t+6,0<t<1,y=12+6t+6在hJ上是增函数，当t=1时，y取最大值13,故选：B二、多选题x+29.函数y=--（Xn）的定义域为［2,5）,下列说法正确的是（ ）x-1A.最小值为7 B.最大值为44C.无最大值 D.无最小值TOC\o"1-5"\h\zx+2. 3【解析】函数y=n=1+.在［2,5）上单调递减，即在X=2处取得最大值4,由于x=5取不到，则最小值取不到.故选：BD10.已知函数y=x2+x+1f1<x<2］则该函数（ ）x 13 ）7A.最小值为3 B.最大值为不C.没有最小值 D.在区间1,2上是增函数【解析】y=x2+x+1=1+x+1>1+2.:x-1=3当且仅当x=1是等号成立，x x x有f(?-f(x2)=(x1-x2)+一=("1-x2)(1-5),x1-x2<0

12 1211、当一<x<x<3 1 21时，有1—,<0，故f(x)>f(x11、当一<x<x<3 1 212, 1 7、2、当1<x<x<2时，有1———>0，故f(x)<f(x)，即y在(1,2)上递增且值域为(3,-).1 2 xx 1 2 212

・••最大值为-.故选：AD11.定义新运算㊉，当a>b时，a㊉b=a；当a<b时，a㊉b=b2,则函数fG)=(1㊉x)x-(2㊉x),xe[-2,2]的值可以等于().A.-6 B.1 C.6 D.-4【解析】由题意知f(x)=(1㊉x)x-(2㊉x)=\X212~Xj1,[x3-2,1<x<2易知函数f(x)在xe[-2,2]上单调递增，所以f(x)e[-4,6]所以函数f(x)=(1㊉x)x-(2㊉x),xe[-2,2]的值可以等于为-4,1,6.故选：BCD.x4+2x2+a12.已知函数f(x)= (xeR)的值域为［m,+s),则实数a与实数m的取值可能为( )x2+1A.a=0,m=0 B.a-1,m=1 C.a=3,m—3 D.a=22,m=72【解析】f(x)-x4+2x2+a-Q+)+a-1-x2+1+O±x2+1 x2+1 x2+1r r a—1设x2+1-1,t>1,贝Uy-1+ t当a-0时，y-1-1在Ix+s)上单调递增，t-1时，y-0,故ye［o,+^),a正确;t当a-1时，y-t在L,+s)上单调递增，t-1时，y-1，故ye［1,+s),b正确；上单调递减，在［上单调递减，在［VX+s)上单调递增，故y皿吊=2点,C错误;当a-v12时，当a-v12时，y-t+Y2Y在［1,+s)上单调递增，t-1时，y-五，故ye［J2,+s),D正确.故选：ABD.三、填空题13.函数f(x)-x+4,xe；,4的值域为【解析】由对勾函数的单调性可知：f【解析】由对勾函数的单调性可知：f(x)―x+—在-,2上单调递减2在(2,4］上单调递减，所以f(x) =f(2)=4min又f(x)=max[f[1],f(4)]，且f[1]=1+8=17,f(4)=4+1=5，所以f(x)=17,maxI12J J k2J2 2 max2所以f所以f(x)417的值域为4，—.函数y=Jx+1-4的的最大值为［x+1>0【解析】由k>0可得x>0，y=%'y=%'x+1一1vx+1+vx因为y=<T+T+A在［0,+s)单调递增，所以y=^=1一方在［0,+s)单调递减，xx+1+\:x1 ,—— —所以x二0时y二1K最大为1，故函数yix+1一门的最大值为1.已知函数f(x)=x2-2ax+1在【0,2］上的最小值为g(〃)，则g(〃)的最大值为【解析】函数f(x)=x2-2ax+1的对称轴为x=a，开口向上，当a<0时，函数f(x)=x2-2ax+1在【0,2]上单调递增，所以g(a)=f(0)=1当0<a<2时，g(a)=f(a)=1-a2当a>2时，函数f(x)=x2-2ax+1在【0,2]上单调递减，所以g(a)=f(2)=5-4a[a<0所以g(a)=<1-a2,0<a<2，所以gmax(a)=1.5-4a,a>2 max16.设M(x,y)是直线x+y=3上的动点，若1<x<2,则卜+y-卜+x的最大值为=x=x+y+1+1-2xy【解析】xx+y=x+y+ xy-2:xy+—+2=3+—TOC\o"1-5"\h\zXxy xy2 3 .— 2-3+———2vxy一—xy xxy令t-xxy-<x(3-x)-3329设f(t)g(t)=t+1t，其中。'2<t<3任取t1、t2E所以，g(t)-g(t)r1所以，g(t)-g(t)r1)t1+7Vj1+—

t2((-t2)二(t-t)-tt21 2tt12(t-1)(tt-1)tt

12■— 3・.・<2<t<t<—,则t-1<01 22 12tt12Jg(t)<g(t)所以，函数g(t)=t+1在区间।"|।上单调递增，TOC\o"1-5"\h\z二」3J11 「k31所以，函数f(t)=3+不-2Vt+-J在区间[J2]]上单调递减，...f(t) -f5)=3+1-2r近+岑J-9-|^2--—，max 2V27 2 2所以，Jx+4-\；y+-的最大值为“6二3二%：3一手.\y\x <2 2四、解答题217.已知函数f(x)-1-门(1)证明：函数f(x)是(一%+⑹上的增函数;(2)xe[-1,2]时，求函数f(x)的值域.2 2 2(5x-5%)【解析】⑴令x1<x2，则f(x1)-f(x2)=1-口-(1-门户(5x2+1)(5x12+1)由(5x2+1)(5x1+1)>0,5x1-5x2<0，即f(x1)-f(x2)<0，有f(x1)<f(x2).・•・函数f(x)是(—b,+s)上的增函数;

(2)由(1)知：％e［-1,2］上有f(-1)<f(x)<f⑵，,f(x)的值域为［—|，H］.18.已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,f(0)=L(1)求f(x)的解析式.(2)求f(x)在［-1,1］上的最大值.【解析】(1)设f(x)=ax2+bx+c，(a丰0)，则f(x+1)-f(x)=a(x+1»+b(x+1)+c-(ax2+bx+c)=2ax+a+b，由题c=1,2ax+a+b=2x恒成立・•・2a=2a+b=0,c=1得a=1,b=-1,c=1,.，.f(x)=x2-・•・2a=2」、 (1123(2)由(1)可得f(x)=x2-x+1=x-一+-I2)4所以f(x)在-1，|单调递减，在［2，”单调递增，且f(-1)=3,f。)=1・・・f(x)=f(-1)=3.max19.已知函数f(x)=1x2+二，求函数f(x)在区间1-3,-1］上的最值.2x-1［-3,-1］且-3<x<x<-1f(x)-f(x)=1-x2+211=(x-x)2(x1+x2)-12(x-1)(x-1)又由-3<x<x<-1，得x-x<0,-6<x+x<-2,4<(x-1)(x-1)<16,1 2则有2(x1+x2)-(x-1)(x-1)<0，则有f(x1)-f(x2)>01 2故函数f(x)在区间1-3,-1］上单调递减，故f(x)=f(-3)=4,f(x)min=f(-1)=-2.20.已知函数f(x)=-4x2+4ax-4a-a2，求f(x)在区间［0,1］上的最值.【解析】二次函数/(x)=—4x2+4ax—4a-。2=-4x-——4a,开口向下，对称轴为％=不.TOC\o"1-5"\h\zI2J 2(1)当;＞1,即。＞2时，函数/(%)在区间上单调递增，即当x=。时，/(X)取最小值/(0)=-。2-4。；当X=1时，/(X)取最大值/(1)=一。2-4.〃 CL(2)当0V万VI,即0«“V2时，对称轴与x轴交点的横坐标在区间。1］上，故当工=5时，"%)取最乙 乙(a\大值/-二-4a.k27①若即OWaVl,根据对称性知当％=1时，/(%)取最小值7(1)=—。2—4；乙A②若;＜gvl,即1＜〃V2,根据对称性知当X=。时，/(%)取最小值/(0)=—。2—4a.d(3)当万＜。，即。＜0时，函数/(%)在区间［。，1］上单调递减，即当x=。时，/(%)取最大值/(0)=-。2-4。；当％=1时,/(%)取最小值/(1)=一。2-4.综上可得：当。＞2时，函数最大值为-〃2一4,最小值为-。2一4”；当。V。VI时，函数最大值为—4”，最小值为一“2—4；当1＜〃V2时，函数最大值为-4”，最小值为-〃2-4〃；当。＜0时，函数最大值为-。2-4〃，最小值为-。2-4.21.定义在(0,”)上的函数/G)对于任意的X,yeR*,总有/G)+/(y)=/Gy),且当X＞1时，/(%)＜。且/(0)=-1.(1)求/(D的值；(2)判断函数在(0,长)上的单调性，并证明；(3)求函数/(X)在Le2上的最大值与最小值.e【解析】(1)令％=y=1f(D+f(1)=f(1)nf(1)=0(2)f(x)在(0