42二元方差分析

4.2二元方差分析非重复试验的二元方差分析问题：已知有因子A,B影响试验指标，其水平分别取r,s种，在每一种水平组合AXB下只做了1次试验（非重复ij试验），结果数据（试验指标）记为X,••ij、因子B因子？\、BB…B、因子B因子？\、BB…B1 2 sA1A2•••ArX，X，…，X11 12 1sX，X，…，X21 22 2s• • • •• • • •• • • •X，X，…，Xr1 r2 rsi=1，2,…，r,j=1，2,…，s，如下表其中所有X相互独立，A且设X〜N（卩Q2）.考察因子指标的影响是否显著？B分别对试验注意：一元方差分析中X是因子a••ij取水平,时的第j次试验值；而这里X是••ij

因子A取水平，、因子B取水平j时的试验值，因此上表同一行的X并不具有相ij同分布.1)在母体上作假设①对。..的分解ij\因因子A子BB12…Bs叫•1s=-£sJ=1□・・ya.=P.一□i i・…，卩11121sA卩,卩,…，卩a121222s1・1A□a2••••••2・••2■••A••••••□arr卩,卩,…，卩r・r1 r2rs1卩・=-£比.卩,卩,…，卩□=丄££s□•jr7i•1・2•srsijKi=1i=1j=1卩.T.-卩卩,卩,…,卩J ・j12s上表中，卩二—M卩 总平均值；TOC\o"1-5"\h\zrs 对i=1j=1a=p—y 因子A取水平A时对•• ・iI• i试验指标的效应，表示水平A在母体平均数上引起的偏差；卩=y-y 因子b取水平B时对\o"CurrentDocument"i•j j试验指标的效应，表示水平B在母体平均数上引起的偏差。效应间有如下关系：丁a=0;p=0.iji=1 j=1(事实上，工a=IL(y—y)=Y[]工y]—ry=ry—ry=0i i• sji=1 i=1 i=1j=1类似可证is p=0.)jj=1y=y+(y—y)+(y—y)+(y—y—y+y)ij i• •j iji• •j记为y=y+a+p+yij ijij

(4.2.1)TOC\o"1-5"\h\z其中Y=(p—p)—a—P，表示水平组ij ij ij合AxB对试验指标的总效应(p-p)减去i j ij因子A的效应a,再减去因子B的效应i i jP的所得——A,B 对试验指标的交互效ji应；且（4.2.2）YY=工y=（4.2.2）TOC\o"1-5"\h\zij iji=1 j=1（事实上，工丫=S[（匹—卩）-a-P]=（工匹-rp）-0-rPijijijijji=1 i=1 i=1=（rp-rp）-rP=rP-rP=0•j jjj类似可证得=0.)ijj=1特别，如果在实际问题中已知不存在交互作用，或交互作用对试验指标的影响很小，则可以不考虑交互作用，即认为y=0・此时(4.2.1)式简化为ij

p=p+a+p=p+a+卩ijij2.3)②不考虑交互作用时的数学模型：X=p+a+卩+£,ijijij£〜N(Oq2)且相互独立ijP=0ijTOC\o"1-5"\h\zi=1 j=1(4.2.4)在上述母体上作假设H:a=a=・・・=a=0oH:至少有一个a主001 1 2 r 11 iH:卩=p=・・・=p=0oH:至少有一个卩丰002 1 2 s 12 j(4.2.5)由(4.2.3)式知，当h成立时，P..与01ij,无关，表明因子A的影响不显著；当H02成立时，P..与j无关，表明因子B的影i.响不显著.找检验统计量①平方和分解令：总离差平方和

rsQ二莎(X-X)2Tiji=1j=1则：则：QT=Y另[(Xi.-X)+(X・厂X)+(Xj-兀•-X.j+X)]2i=1jQT=i=1j=1•j+X)2-X)2+Y艺(X・j—X)i=1j=1•j+X)2i=1j=1 i=1j=1（可以证明三个交叉乘积项的和为零）记：Q=工工(X-X)2=正(X-X)2 因子TOC\o"1-5"\h\zA i. i.i=1j=1 i=1A引起的离差平方和；Q=工》(X-X)2=工(X-X)2因子B .j .ji=1j=1 j=1B引起的离差平方和;Qe="(X.-X..-X•j+X)2 —误差i=1j=1 平方和.于是有平方和分解Q=Q+Q+Q (4.2.TABE

即：总离差平方和可以分解为因子A引起的离差平方和、因子B引起的离差平方和、以及误差平方和之和。②检验统计量由分解定理可得，当H、H均成0102立时:Ba〜X2(r-1), Qb〜x2(s-1),Q2 Q2Qa/(r-1)、_Q2A-QQe/(rQa/(r-1)、_Q2A-QQe/(r-1)(s-1)Q2Qb/(s-1)r_Q2B_Q Qe/(r-1)(s-1)Q2Q/(r-1)AQ/(r-1)(s-1)EQ/(s-1) BQ/(r-1)(s-1)E=IHF(一1，(一1)(s-1))E二S2H~2F(s-1,(r-1)(s-1))E(4.2.7)以F为检验H时的检验统计量；以A01F为检验H时的检验统计量。其中：B02S2=Q/(r-1) 称为因子A引起的AASB=Qb/(s-1)称为因子B引起的均方离差;S二Qe/(一1)(s-1)

称为均方误差。写出拒绝域H01H01的拒绝域.1F>F(r—1,(r—1)(s—1))A aH的拒绝域W022F>F(s—1,(r—1)(s—1))Ba使用计算器进行二元方差分析的计算步骤由试验数据填写下表\因子B因A、、B1B2…BsX=1艺Xi・s jj=1X.—XfAX,X,…,XXX—X111121s1・1•AX,X,…，XrX—X2••21••22••2s••2・••2・•••A•X,•X,•…，X•X•X—Xrr1r2rsr•r•

1rX X・j r ©i=iX,X,…，X•1，・2， ，・sX=1工rs iji=1j=1=1N=1工Xr i・s ・ji=1 j=1rQ=sy(Xi•-X)2Ai=1X.-XX厂X,x-X「…,X-X・1 ・2 ・sQ=江(X.z.-X)2j=1Q=症s(X-X)2T iji=1j=1为求Q=zzs(X-X-X+X)2，可借助E ij 1・ ・j于以下辅助表1冃将上表红框中的数据求平方和即可可用计算器的统计功能完成）.列出方差分析表：来源平方和自由度均方离差F值临界值因子QAr-1s-1S2AS2BF=S2/S2A A EF(r-1,(r-1)(s-1))aF(s-1,(r-1)(s-1))a

例4.2.1（P170Ex8）在B,B,B,B四台不同的纺织机器中，采用木同的加4压水平A,A,A，在每种加压水平和每台机器中各1取2一个3试样测量，得到纱支强度如下表：

异是否显著(a=0.01)?解:试验指标一纱支强度；因子A

―加压水平，r=3；因子b—机器,s=4，由已知数据填写下表机器压XBiB2B3B4Xz・—xtXA115771692180016421677.7510・5A21535: 1640178316211644.7522・5A315921652181016631679.2512X・•J15681661.33J1797・6「，1642—X=1667.25Q=4氓XAi=1i・=3042二X99.25 5.92130.1225.24一 一5 Q=3Y (X•j-X)2Q=直4(X二T ij•jrj=1i=1j=1=82597.66=87078.25

X-X.-X.+Xij 1• •123411.520.178.1710.5210.51.177.831.531221.330.339于是Q二*4 )2=1437.9•E ij 1• •ji=1ji给定 f(2,6)=10.92F(3,6)=9.78，列方差分析表：a来平方和自由度均方离F值临显源差界著值性因3042r-1=215216.3510.9不子82597.6s-1=327532.5114.82显A6(r-1)(s-1)=(3589.78著1437.9239.65显因87078.2rs-1=11著子B5误结论：加压水平因素对纱支强度无显著影响；机器因素对纱支强度有显著影响。例4.2.2(P170Ex7)为了对非重复试验的二元方差分析作简化计算，做变换y=b(x-c)・这里b,c是常数，且b丰0.ijij试用y表示F与F的值。ijAB1解：由yj=b(xj-c)，得xj=byj+c，于是-1_1-1_x.=y+cx=y+cx=y+c2bi・，叮b， 万II总IIz£iiIIII总IIz£iiIIliIN卫—£iieIK+.fIX慝m>骥咪垛哑忘・匍匍勒撫喟密吐•UHCS/ZSHCS/CSHK)4pHV8v<工UZSVZSHZSWH工〜〜〜医工•he(I—S)(I—」)E(I—S)(I—」)

BnH0I0gIs"s“I—」£II」尽i丨卜PHP0-0用原数据的完全相同。在例4.2.1中，令y=x-1500,则已 jj知数据化为机器加压、、\、B1B2B3B4A177192300142A235140283121A392152310163利用上表中的数据进行计算将更简便。等重复试验的二元方差分析问题：已知有因子A,B，其水平分别取r，s种，在每一种组合A.xB下均做ij了c（＞1）次试验，试验结果服从正态分布且方差相同。问：①因子A,B分别对试验结果有无显著影响？因子间的组合对试验结果有无显著影响（即两因子间有无显著交互作用）？1）在母体上作假设

①数学模型设水平组合4XB.下第k次试验的

ij指标值X〜N(pQ2),ijk iji=1,2,…，r;j=1,2,…，s;k=1,2,…，c)且所有X相互独立。记：ijk比•二P+S+卩・+丫・・，则有ij ijijX=^+a+卩+丫+£•■7 • • •• **1ijk i j ij ijk<£〜N(Oq2),且相互独立ijk卩=0,=0TOC\o"1-5"\h\zi j ij ijJi=1 j=1 i=1 j=1(4.2.8)H:a=a=…=a=0oH:至少有~一个a丰001 1 2 r 11 i<H:卩=卩=・・・=卩=0oH:至少有一个卩主002 1 2 s 12 jH:y=0,(i=1,2,…,r;j=1,2,…,s)oH:至少有一个y03ij 13 ij当H成立时，01(4.2.9)意味着因子A对试验指标无显著影响；当H成立时，意味着因子B对试验指标无显0著2影响；当H成立时，意味着因子A,B对试验指标0无3显著交互作用。3）找出检验统计量：①平方和分解由试验值构造下表因子BB1B29 9 9Bs— 1fX.=JX..sj=1A1X,X ，…,X111 112 11cx11.X,X，…,X121 122 12c■2Z42Z卜2Z42Z卜2Z42Z卜2Z42Z卜2ZX12••・X,X，…,X1s1 1s2 1scX1s.»—X1••A2X,X，…,X21121221X,X，…,Xc 221 222 22c・・X2S1‘X2s2" ，X2sc~X21.~X22.X2s.X2••••••••••••••••••••ArX,X，…,Xr11 r12 r1c~X7r1.X,X，…,X' r21 r22 r27£'22£'22£'22£'22£'22£'22£'22£'22£'22£、22£Xr2•c••X,X，…,Xrs1 rs2 rs(Xrs.cXr.•=1弋x“r乙iri=1—X7• ・1・•2.••»X.s.X= 工工工Xrsci=1j=1k=11TV 1 _s、=rYXg二sZXri=1 s j=1令：q=3〜(x-X)2T ijki=1 j=1k=1sc总离差平方和；Q=Y为K(X—X)2=scY(X—X)2A i" i"i=1j=1k=1 i=1因子i^^A引起的离差平方和;Q=Y另K(X…―X)2=rc工(X…―X)i=1j=1k=1 j=1因子B引起的离差平方和;1^1rsc交互作用误差平方和，rsc交互作用误差平方和，Q=KK匸 (X—X—X +X)2I j・ i・・ ・j・i=1j=1k=1的离差平方和；rscQ=kkk (X —X)2E ijk ij・i=1j=1k=1则有平方和分解Qt=Qa+Qb+Qi+Q(4.2.10)②检验统计量及其分布当H,H,H均成立时，由分解定010203TOC\o"1-5"\h\z理可证：QAH01X 1),O2 Q2Ql/~03X2((r—1)(s—1))，Qe〜X2(rs(c—1)),且相互独O2 O2立。于是BA/(r—1)OBA/(r—1)O2/(rs(c-10)O2监/(s-1)O2Q/(r—1)A Q/(rs(c—1))EJp1F(r-l'rs(c-1))EQb/(s一D%F(s-1,rs(c-1))Q/(rs(c—1)) Qe/(rs(c-1)) SEO2£/(r—1)(s—1)F=02 =Qi(厂—)('—1=JLH~3F((r—1)(s—1),rs(c—1))1P e/(rs(c—1))Qe/(rs(c-1)) SEO2因子A因子A引起的均方因子B引起的均方(4211)分别作为检验H,H,H时的检验统计010203量，其中：S2=Q/(r-1)A A离差；S2=Q/(s—1)B B离差；S2=Q/(r-1)(s-1)

交互作用的均方离差；S2S2=Q/(rs(c-1))EE均方误差。(4)给定a时的拒绝域:H的拒绝域W一1))01 AAaH的拒绝域W -1))02H03B B a的 拒 绝 域W:F>F((r-1)(s-1),rs(c-1))IIa方差分析表：来源平方和自由度均方离差F值临界值因子QAr-1S2AF=S2/S2A A EF(r一1,rs(c一1))aAQBs-1S2BF(s一1,rs(c一1))a因子QI(r-1)(sTF=S2/S2B B EF((r—1)(s—1),rs(c-1)aBQE)S2I交互rs(cT)F=S2/S2I I EAxBQTrscTS2E误差E总和T例4.2.2下表记录了三位操作工分

别在四台不同机器上各操作三天的日产量.机器\^甲(B)1乙(B)2丙(B)3151519191618171621A117 1715 151922A2171522A315 1718171818jA4161618182015161717221717试在显著水平.二0.05下检验工人之间、机器之间的差异以及交互作用的影响是否显著？解：r=4,s=3,c=3，由已知数据的下表Xij•BiB2B3X=1s3Xi•• 3 jj=1X—Xi”Ai15.671818.33170.42A217152117.670.35A3161718170.42A420161717.670.35X=1S4X•j• 4 ji=117.1716.518.58X=1£Xs ・j・j=1=17.42Q=sc兰(Xi••—X)2i=1=3.13X —X・卜0.250