异步电机不对称运行时电容值的确定

异步电机不对称运行时电容值的确定1

引言

三相异步电机除能接三相对称交流电源对称运行外，还可在定子绕组边串、并联电容，由单相电源供电运行。在无三相交流电源而仅有单相电源时，可采用单相电源供电这一特殊运行方式，这样就扩大了电机的运行范围，提高了用电的灵活性。从运行方式看，三相异步电机对称运行时可取其中一相分析计算，比较简单；但在单相电源供电时，正常运行状态为不对称稳态运行，分析计算过程则要复杂得多。再从定子边结构看，一般单相异步电机定子边仅有主、副两相正交绕组，用正交磁场法或旋转磁场法分析即可；而三相异步电机定子边为三相非正交绕组，加之连接有电容，用上述两种方法分析相当麻烦，须找到新的分析方法。

本文采用适于处理定子绕组复杂连接的等效电流法[1]来分析计算三相异步电机单相电源供电时的稳态运行性能。有效使用新方法的重要措施是在分析过程中结合网络图论，从而推导出便于计算机分析计算的网络方程并求出相应的电流值。在已求得某一转差率对应等效正、逆序电流的基础上，选逆序电流有效值与正序电流有效值之比作为电机运行状态的判据[2-3]。若把运行状态的判据作为优化计算中的目标函数，目标函数值最小对应电机理想运行状况，再根据黄金分割法进行一维寻优，就可求出单一变量，即运行电容之数值。

2

等效正序逆序电流的计算

2.1

概述

异步电机不对称稳态运行时，气隙中的磁场为椭圆形旋转磁场，该磁场可以分解为幅值不等、转向相反、转速大小相同的两个圆形旋转磁场，分别称为正序与逆序旋转磁场。等效电流法的本质即为求取对应于正、逆序旋转磁场的等效正、逆序电流，在本文的分析过程中，等效正、逆序电流将起着承上启下的作用。

等效电流实际上由各支路绕组中的电流组合而成。在已知电路网络的阻抗矩阵的基础上，可用回路电流法列写网络方程来解出回路电流，再根据支路电流与回路电流的关系得到各条支路电流，最终求得等效正、逆序电流。

2.2

回路电流与支路电流的关系

图1为三角接法三相异步电机单相电源供电时的定子电路，图中有5条支路，支路电流分别为I1略图1中各支路中的元件，则成为具有拓扑性质的有向图，在该有向图中，选支路1、支路2与支路3为连支，支路4与支路5为树支，则支路{1，4，5}、{2，4}与{3，5}组成了3个回路，回路电流分向一致。因为选取回路时采用了规范化方法，3个回路电流实际上等于3个连支电流。

在按上述方法选定回路与支路的情况下，定子电路的回路矩阵为[4]

上面的回路矩阵可分为两块，前一块显然为单位矩阵。

支路电流与回路电流的关系为

2.3

等效电流与支路电流的关系

用等效电流法分析的前提是选一个基准绕组，选支路1中的绕组为基准绕组（图1）。在已选定基准绕组的情况下，认为等效正、逆序电流仅是流过基准绕组的电流，它们产生的磁场与各支路绕组中电流产生的合成磁场相同。假设磁路线性且只考虑磁势的基波，因为三相对称绕组中每相绕组的有效匝数相同，根据空间磁势合成法则，有

等效电流可以写成下列标准的矩阵形式

2.4

阻抗矩阵

本文用回路电流法列写网络方程时，把支路阻抗矩阵分成基本阻抗矩阵与附加阻抗矩阵。基本阻抗矩阵与各支路自身的参数有关，附加阻抗矩阵与支路绕组中的感应电势有关[5]。

在图1所示的定子电路网络中，基本阻抗矩阵Ze中对角线上的元素为各支路的阻抗，非对角线上的元素为0，即

式中

R1与X1为三相电机定子每相绕组的电阻与漏抗；XC为电容容抗。

用回路电流法列写电机网络方程的另一关键之处是将支路绕组中的感应电势当作标准支路中的流控电压源处理，附加阻抗矩阵中的元素实际上就是受控源的控制系数。欲求附加阻抗矩阵，须借助电机的等值电路，若把转子向定子边基准绕组折算，并设T型等值电路的正、逆序阻抗分别为Zf、Zb，则可写出转差率为S时，转子电阻、漏抗的折算值与Zf、Zb关系式，公式参见文献[5]。

以等值电路为基础并考虑到绕组间的相位关系，则支路绕组中的正、逆序感应电势分别为

若把式(7)与式(8)分别代入式(10)与式(11)，并把正、逆序感应电势相加得

式(12)的右边为阻抗矩阵与支路电流矩阵的乘积，该阻抗矩阵称为支路附加阻抗矩阵Za，显然，Za中的元素对应流控电压源中的控制系数。

支路阻抗矩阵Z为支路基本阻抗矩阵与支路附加阻抗矩阵之和，即

2.5

电流计算公式

对于没有独立电流源的电路网络，用回路法表示的网络方程为[6]

ZlIl=BUs

(15)式中

Us为独立电压源矩阵，它的元素就是各支路中的独立电压源。在图1所示的电路中，独立电压源实际上就是外加的交流电压，显然只有支路5中有独立电压源，则

Us

=[0000U]T

(16)

求解方程式(15)得回路电流，结果回代至式(2)求出各支路电流，再把支路电流分别代到式(7)与式(8)就能得到等效正、逆序电流。

在文献[7]中，曾对与上述相同连接方式的电机进行过分析计算，并给出了较为一致的理论计算值和实测值，由此说明了分析方法的准确性。本文分析方法与文献[7]中的分析方法基本相同，仅在某些处理上进一步完善，因此，参考文献[7]中的对理论分析的实验验证结果同样适用于本文。

3

运行电容值确定方法

3.1

运行状态的判据

电机运行状态的好坏应由电机运行性能指标、尤其是效率、功率因数与过载能力三个主要的性能指标的优劣来反映，所以运行状态的判据应能综合反映各项性能指标。由于电机运行时涉及多项性能指标，若选某一项性能指标作为运行状态判据，如选电机的效率，则在效率最高时，功率因数与过载能力等指标未必较好，这表明选择单一性能指标作为运行状态判据的理论依据不足。本文则选择电机运行时等效逆序电流的有效值与等效正序电流的有效值之比作为电机运行状态的判据。若假设电机等效电路中的参数为常数，从前面的分析过程可知，对应一个确定的转差率，正、逆序电流大小只与运行电容值有关，即运行状态的判据为单一变量运行电容值的一维函数，其表达式为

f(C)=Ib/If

(17)

选择逆序电流的有效值与正序电流的有效值之比f(C)作为电机运行状态判据的理由如下：①电机对称运行时的各项性能指标要优于电机不对称运行时的各项性能指标，f(C)的值越小表示电机越接近对称运行状态，也就是运行性能越接近于最优，这可作为该判据的理论根据；②文献[3]通过对具有正交绕组电容运转式单相电机的计算表明，以求f(C)最小值作为目标函数，优化得出的电容值所对应的效率与最大效率相当接近，这从效率这一最主要的性能指标看出所选判据的合理性；③从前面的分析可知，用新的等效电流法分析电机运行性能时，可以比较方便地计算出等效正、逆序电流的有效值，该判据与本文采用的分析方法结合使用，正是本文的特色所在，也是本文比文献[2-3]更有新意的地方。

3.2

一维寻优的黄金分割法

从优化的角度考虑，运行状态的判据实际上就是优化时的目标函数，电容值是优化中的一维变量，优化的结果要使目标函数值为最小。由于目标函数无法用变量的显式表示，优化方法只能用直接法而不能用间接法。在一维寻优的直接法中，黄金分割法[8]是有效且用得较多的一种方法。黄金分割法在寻优过程中通过比较函数值来确定取舍区间，以达到不断缩短搜索区间的目的，当搜索区间小于给定值时，优化结束。

在使用黄金分割法之前，首先要确定最初的搜索区间，即确定变量的上限与下限。文中的一维变量为运行电容值，下限电容值取零，上限电容值可根据电机等效电路的参数通过经验确定。若寻优结束后的电容值等于上限电容值，则要改变最初搜索区间的上限电容值。

在用黄金分割法优化的过程中，已知搜索区间为[Ca,Cb]，设C1=Cb-0.618(Cb-Ca)，C2=Ca+0.618(Cb-Ca)，分别计算f(C1)与f(C2)，比较f(C1)与f(C2)的数值大小，不断缩短搜索区间，最终可得目标函数最小时所对应的电容值Cm。

4

实例计算结果

本文的算例中所用的电机在三相对称运行时，额定功率750W，定子边D接，额定电压220V，额定电流3.5A。通过电机空载试验和堵转试验测得的参数为：R1=8.1W，X1=15.3W，XM=59.3W，上面各参数中，激磁电抗XM为不饱和值；是折算到基准绕组的值，它们与三相异步电机对称运行时T型等值电路中的不同，前者之值为后者之值的1/3。

不对称运行时外加电压仍为220V。

本文在计算时使用MATLAB语言编程。

从表1可以看出，在给定转差率等于0.04的情况下，通过黄金分割法一维寻优，当电容值为34.7mF时能使目标函数达到最小值0.0712，则称

表2给出了对应不同转差率时的理想电容值或最优值。若设电机正常运行时转差率在0.03~0.08间变化，从表2可以看出：①理想电容值随转差率的增加而增加，转差率每增加0.01，电容增加2.7mF左右，近似成等差数列；②理想电容值在电机正常运行范围内变化不大，这为选择一个合适的固定运行电容值提供了理论根据。针对本文的算例，可以选择固定运行电容值38mF。5

结语

异步电机不对称稳态运行的传统分析方法为正交磁场法与旋转磁场法，与此不同，本文采用的等效电流法便于分析定子边复杂连接异步电机的不对称稳态运行，三相异步电机外加单相电源的运行即属于这种情况。从分析过程可以看出，等效电流法使用时须结合网络图论，并列写出矩阵形式表示的网络方程，然后用适合于矩阵运算的MATLAB语言编程，这样就充分发挥了各自的优越性。在使用回路电流法列写网络方程时，把绕组中的感应电势当成流控电压源处理，在表达等效电流关系时选定基准绕组等处理方法，都是本文的独特之处。

文中选择等效逆序电流有效值与等效正序电流有效值之比作为运行状况的判据，不仅有判据表达形式简单、理论依据相对充足的特点，而且还使得等效正、逆序电流在整个分析过程中起到了承上启下的关键作用。以等效逆序电流有效值与等效正序电流有效值之比最小为目标函数、运