第9讲行列式按一展开2范

第9(2)线性代数59主讲 Jan Jan第9(2)高等数学138讲（优酷网线性代数59讲（优酷网概高等数学138讲（优酷网线性代数59讲（优酷网考研题评讲 传课 : @ Jan我在课程高等数学138第我在课程高等数学138及线性代数59讲受 各地大学生的欢 件 课程的 希望此课件仅用于你的学习。请尊的著作权，切勿在网 课件。谢谢 (联(联大) Jan1.6行列式按行(列)展 行列第9(2)观+请在优酷网搜索我 + Jan第9(2)第8讲行列式按一行(列)展开讲了将行列式按一行(列)展开的方本节用这种方法来计算 行列 Jan第9(2) 行列 Jan1

第9(2) 1 1

n nVn

xjxn2

xn2

xn2

nij 行列

xxnVandermondewasaviolinistHebecameengagedwithmathematicsonlyaround1770.Alexandre-ThéophileAlexandre-ThéophileVandermonde(1735–1796)Frenchmusician,mathematicianandchemist第9(2)

Vn

xx xx用归纳

V2

xx大Vn1

nij

(xixj

Jan

第9(2)

从最后一行起Vn

次用下一行减去 n2

n2x3x

n2xnx

大

x2

x3

xn

x

x2x

xn2x

xn2x

xn2xa xn1xxn2 xna

xn1x

nx2x2x2x xn2 x3x2x n2 xnx2x xn2xx xn1xxn2

2)大x2x2x3xnx2x xn2xxn1xxn2x2x3xn2xxn1xxn2 x2x xn2x xn1xxn2 Janx2x1x2x

x3

第9(2)xnx2x Vn

大学 xn2xxn3 xn2xxn3xn1xxn2 x

xn2xxn3xn1xxn2(x2x1)(x3x1)(xn

x x n2

n2xJanx第9(2)Vn(x2x1)(x3x1)...(xnn3n321113xn22xn3xn22xn2(x2x1)(x3x1)...(xn

nn(xixj大 nijVn1nij(xixVn1nij(xixj nij

nij

(xixjJan 行列第9 行列 大 1 1

Vn

xjxn2x1

n2

n2xnx

nij ：一切

大之 Jan2计算行列 D

23

第9(2) 24(21)(31)(41)(32)(42)(4

Jan D

第9(2)Maple

Jan1111abcd1111abcdddD

第9(2)大 这个行列式貌似 行列但它不是 行列我们来构造一个 行列

JanD1

111111abcdddd D

第9(2) d d大

升阶法或加 D1按最后一列展开后，x3 式就是D由于x3的位置是(4,5)，所以D1中x3的系数 (1)45DD

JanD1

第9(2)1111abcddd1111abcdddd一切之一切之(ba)(ca)(da)(cb)(db)(d大(x b)(x大大[x4(abcd)x3(ba)(ca)(da)(cb)(db)(d

Jan11111

1111abc1111abcdddd

d a4 b4 c4 dx4abcd)x3 大(ba)(ca)(da)(cb)(db)(dD(ba)(ca)(da)(cb)(db)(d(abcd

Jan1111abcd1111abcdddD 大(ba)(ca)(da)(cb)(db)(d1111abcdd1111abcddd大 (abcd Jan作

计算n阶行列

第9(2) 《高等代数》101 《高等代数》101

大xn2 xn2

xn2 大 提示：利用升阶

答案n1ji

(xixj)kJan第9(2) 课程 传课件可在课 Jan第9(2)一个与代 式有关的重要公 Jan前面证明了以下定理

第9(2)定理（行列定理（行列式按一行（列）展开行列式等于它的任一行（列）的各元素与它 对应的代 式的乘积之和， 如果行列式某一行(列)的各元素与另一行(列对应元素的代 式相乘，其和又等于DDai1Ai1ai2Ai2...ainDa1j1ja2jA2j...anj按第i行展按第j列展

大Janai1Aj1ai1Aj1ai2Aj2...ain(ja1i1ja2iA2j...aniAnj0(j命行列式某一行(列)的各元素与另一行(列)对应 素的代 式的乘积之和等于零， Jan证（以四阶行列式为例加以证9讲行列式按一行(列)展开

假 D中第1D

的元素与第3行对应

素的代 式乘，再相加，

式Aij只与aij的位置(i,j)有D的第ij列的元素的值无关（A叫做(i,j)-代 大因此改变D的第i行和第j列的元素的值，不会 变代 式Aij 第9(2)22 34D 大347 7D的a22的代

D1

D1的b22的代 (1)22 注意：这 式与D的第2行 第2列的元素无关

大

Jana11A31a12A32a13A33a14恰好 大

第9(2)aaaDaaaDD

D1的第3行的代

与原行列式D的第3行的

式相同

按第3行展开的a11A31a12A32a13A33a14 大由于D1有两行相同，行列式等大 一般情形类似可

Janai1ai1Aj1ai2Aj2...ain(ja1i1ja2iA2j...aniAnj0(j定 Da1j1ja2jA2j...anjDDa1j1ja2jA2j...anj大命题行列式某一行(列)的各元素与另一行(列) Jan第9(2)我们把以上两个结论统一用以下公式表示D,当jai1Aj1ai2Aj2...

0当jD,ja1i1

aniAnj0j：大：乘以自己的代 式，加起来等于 乘以别人的代 式，加起来等于0 Jan例如D

56562

第9(2)00 0022

A四川大

3

3(1)(1)23 93627

Jan55D 660

第9(2)大a21A21a22A22a23A23