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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如图,某几何体的三视图是由三个边长为2的正方形和其内部的一些虚线构成的,则该几何体的体积为()A. B. C.6 D.与点O的位置有关2.已知为虚数单位,复数,则其共轭复数()A. B. C. D.3.已知圆与抛物线的准线相切,则的值为()A.1 B.2 C. D.44.一个几何体的三视图及尺寸如下图所示,其中正视图是直角三角形,侧视图是半圆,俯视图是等腰三角形,该几何体的表面积是()A.B.C.D.5.函数f(x)=的图象大致为()A. B.C. D.6.椭圆是日常生活中常见的图形,在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水,将杯体倾斜一个角度,水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米,底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯,且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半(玻璃厚度忽略不计),在玻璃杯倾斜的过程中(杯中的水不能溢出),杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是()A. B. C. D.7.()A. B. C. D.8.如图是一个几何体的三视图,则这个几何体的体积为()A. B. C. D.9.已知向量,,则向量在向量上的投影是()A. B. C. D.10.在中,,则=()A. B.C. D.11.设是定义域为的偶函数,且在单调递增,,则()A. B.C. D.12.据国家统计局发布的数据,2019年11月全国CPI(居民消费价格指数),同比上涨4.5%,CPI上涨的主要因素是猪肉价格的上涨,猪肉加上其他畜肉影响CPI上涨3.27个百分点.下图是2019年11月CPI一篮子商品权重,根据该图,下列结论错误的是()A.CPI一篮子商品中所占权重最大的是居住B.CPI一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%C.猪肉在CPI一篮子商品中所占权重约为2.5%D.猪肉与其他畜肉在CPI一篮子商品中所占权重约为0.18%二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.定义在R上的函数满足:①对任意的,都有;②当时,,则函数的解析式可以是______________.14.古代“五行”学认为:“物质分金、木、土、水、火五种属性,金克木,木克土,土克水,水克火,火克金.”将五种不同属性的物质任意排成一列,但排列中属性相克的两种物质不相邻,则这样的排列方法有_________种.(用数字作答)15.已知,,,,则______.16.已知一组数据,1,0,,的方差为10,则________三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在直角坐标系中,点的坐标为,直线的参数方程为(为参数,为常数,且).以直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位,建立极坐标系,圆的极坐标方程为.设点在圆外.(1)求的取值范围.(2)设直线与圆相交于两点,若,求的值.18.(12分)武汉有“九省通衢”之称,也称为“江城”,是国家历史文化名城.其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖风景区等等.(1)为了解“五·一”劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况,从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1000人,制成了如图的频率分布直方图:现从年龄在内的游客中,采用分层抽样的方法抽取10人,再从抽取的10人中随机抽取4人,记4人中年龄在内的人数为,求;(2)为了给游客提供更舒适的旅游体验,该旅游景点游船中心计划在2020年劳动节当日投入至少1艘至多3艘型游船供游客乘坐观光.由2010到2019这10年间的数据资料显示每年劳动节当日客流量(单位:万人)都大于1.将每年劳动节当日客流量数据分成3个区间整理得表:劳动节当日客流量频数(年)244以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率,且每年劳动节当日客流量相互独立.该游船中心希望投入的型游船尽可能被充分利用,但每年劳动节当日型游船最多使用量(单位:艘)要受当日客流量(单位:万人)的影响,其关联关系如下表:劳动节当日客流量型游船最多使用量123若某艘型游船在劳动节当日被投入且被使用,则游船中心当日可获得利润3万元;若某艘型游船劳动节当日被投入却不被使用,则游船中心当日亏损0.5万元.记(单位:万元)表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润,的数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大,问该游船中心在2020年劳动节当日应投入多少艘型游船才能使其当日获得的总利润最大?19.(12分)如图,矩形和梯形所在的平面互相垂直,,,.(1)若为的中点,求证:平面;(2)若,求四棱锥的体积.20.(12分)已知函数的最小正周期是,且当时,取得最大值.(1)求的解析式;(2)作出在上的图象(要列表).21.(12分)在中,、、分别是角、、的对边,且.(1)求角的值;(2)若,且为锐角三角形,求的取值范围.22.(10分)已知椭圆的焦距为2,且过点.(1)求椭圆的方程;(2)设为的左焦点,点为直线上任意一点,过点作的垂线交于两点,(ⅰ)证明:平分线段(其中为坐标原点);(ⅱ)当取最小值时,求点的坐标.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】
根据三视图还原直观图如下图所示,几何体的体积为正方体的体积减去四棱锥的体积,即可求出结论.【详解】如下图是还原后的几何体,是由棱长为2的正方体挖去一个四棱锥构成的,正方体的体积为8,四棱锥的底面是边长为2的正方形,顶点O在平面上,高为2,所以四棱锥的体积为,所以该几何体的体积为.故选:B.【点睛】本题考查三视图求几何体的体积,还原几何体的直观图是解题的关键,属于基础题.2.B【解析】
先根据复数的乘法计算出,然后再根据共轭复数的概念直接写出即可.【详解】由,所以其共轭复数.故选:B.【点睛】本题考查复数的乘法运算以及共轭复数的概念,难度较易.3.B【解析】
因为圆与抛物线的准线相切,则圆心为(3,0),半径为4,根据相切可知,圆心到直线的距离等于半径,可知的值为2,选B.【详解】请在此输入详解!4.D【解析】
由三视图可知该几何体的直观图是轴截面在水平面上的半个圆锥,表面积为,故选D.5.D【解析】
根据函数为非偶函数可排除两个选项,再根据特殊值可区分剩余两个选项.【详解】因为f(-x)=≠f(x)知f(x)的图象不关于y轴对称,排除选项B,C.又f(2)==-<0.排除A,故选D.【点睛】本题主要考查了函数图象的对称性及特值法区分函数图象,属于中档题.6.C【解析】
根据题意可知当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时,水面边界所形成椭圆的离心率最大,由椭圆的几何性质即可确定此时椭圆的离心率,进而确定离心率的取值范围.【详解】当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时,水面边界所形成椭圆的离心率最大.此时椭圆长轴长为,短轴长为6,所以椭圆离心率,所以.故选:C【点睛】本题考查了橢圆的定义及其性质的简单应用,属于基础题.7.D【解析】
利用,根据诱导公式进行化简,可得,然后利用两角差的正弦定理,可得结果.【详解】由所以,所以原式所以原式故故选:D【点睛】本题考查诱导公式以及两角差的正弦公式,关键在于掌握公式,属基础题.8.A【解析】
由三视图还原原几何体如图,该几何体为组合体,上半部分为半球,下半部分为圆柱,半球的半径为1,圆柱的底面半径为1,高为1.再由球与圆柱体积公式求解.【详解】由三视图还原原几何体如图,该几何体为组合体,上半部分为半球,下半部分为圆柱,半球的半径为1,圆柱的底面半径为1,高为1.则几何体的体积为.故选:.【点睛】本题主要考查由三视图求面积、体积,关键是由三视图还原原几何体,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9.A【解析】
先利用向量坐标运算求解,再利用向量在向量上的投影公式即得解【详解】由于向量,故向量在向量上的投影是.故选:A【点睛】本题考查了向量加法、减法的坐标运算和向量投影的概念,考查了学生概念理解,数学运算的能力,属于中档题.10.B【解析】
在上分别取点,使得,可知为平行四边形,从而可得到,即可得到答案.【详解】如下图,,在上分别取点,使得,则为平行四边形,故,故答案为B.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算,考查了学生逻辑推理能力,属于基础题.11.C【解析】
根据偶函数的性质,比较即可.【详解】解:显然,所以是定义域为的偶函数,且在单调递增,所以故选:C【点睛】本题考查对数的运算及偶函数的性质,是基础题.12.D【解析】
A.从第一个图观察居住占23%,与其他比较即可.B.CPI一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%,再判断.C.食品占19.9%,再看第二个图,分清2.5%是在CPI一篮子商品中,还是在食品中即可.D.易知猪肉与其他畜肉在CPI一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%.【详解】A.CPI一篮子商品中居住占23%,所占权重最大的,故正确.B.CPI一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%,权重超过50%,故正确.C.食品占中19.9%,分解后后可知猪肉是占在CPI一篮子商品中所占权重约为2.5%,故正确.D.猪肉与其他畜肉在CPI一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%,故错误.故选:D【点睛】本题主要考查统计图的识别与应用,还考查了理解辨析的能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.(或,答案不唯一)【解析】
由可得是奇函数,再由时,可得到满足条件的奇函数非常多,属于开放性试题.【详解】在中,令,得;令,则,故是奇函数,由时,,知或等,答案不唯一.故答案为:(或,答案不唯一).【点睛】本题考查抽象函数的性质,涉及到由表达式确定函数奇偶性,是一道开放性的题,难度不大.14.1.【解析】试题分析:由题意,可看作五个位置排列五种事物,第一位置有五种排列方法,不妨假设排上的是金,则第二步只能从土与水两者中选一种排放,故有两种选择不妨假设排上的是水,第三步只能排上木,第四步只能排上火,第五步只能排上土,故总的排列方法种数有5×2×1×1×1=1.考点:排列、组合及简单计数问题.点评:本题考查排列排列组合及简单计数问题,解答本题关键是理解题设中的限制条件及“五行”学说的背景,利用分步原理正确计数,本题较抽象,计数时要考虑周详.15.【解析】
由已知利用同角三角函数的基本关系式可求得,的值,由两角差的正弦公式即可计算得的值.【详解】,,,,,,,,.故答案为:【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式,需熟记公式,属于基础题.16.7或【解析】
依据方差公式列出方程,解出即可.【详解】,1,0,,的平均数为,所以解得或.【点睛】本题主要考查方差公式的应用.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)(2)【解析】
(1)首先将曲线化为直角坐标方程,由点在圆外,则解得即可;(2)将直线的参数方程代入圆的普通方程,设、对应的参数分别为,列出韦达定理,由及在圆的上方,得,即即可解得;【详解】解:(1)曲线的直角坐标方程为.由点在圆外,得点的坐标为,结合,解得.故的取值范围是.(2)由直线的参数方程,得直线过点,倾斜角为,将直线的参数方程代入,并整理得,其中.设、对应的参数分别为,则,.由及在圆的上方,得,即,代入①,得,,消去,得,结合,解得.故的值是.【点睛】本题考查极坐标方程化为直角坐标方程,直线的参数方程的几何意义的应用,属于中档题.18.(1);(2)投入3艘型游船使其当日获得的总利润最大【解析】
(1)首先计算出在,内抽取的人数,然后利用超几何分布概率计算公式,计算出.(2)分别计算出投入艘游艇时,总利润的期望值,由此确定当日游艇投放量.【详解】(1)年龄在内的游客人数为150,年龄在内的游客人数为100;若采用分层抽样的方法抽取10人,则年龄在内的人数为6人,年龄在内的人数为4人.可得.(2)①当投入1艘型游船时,因客流量总大于1,则(万元).②当投入2艘型游船时,若,则,此时;若,则,此时;此时的分布列如下表:2.56此时(万元).③当投入3艘型游船时,若,则,此时;若,则,此时;若,则,此时;此时的分布列如下表:25.59此时(万元).由于,则该游船中心在2020年劳动节当日应投入3艘型游船使其当日获得的总利润最大.【点睛】本小题主要考查分层抽样,考查超几何分布概率计算公式,考查随机变量分布列和期望的求法,考查分析与思考问题的能力,考查分类讨论的数学思想方法,属于中档题.19.(1)见解析(2)【解析】
(1)设EC与DF交于点N,连结MN,由中位线定理可得MN∥AC,故AC∥平面MDF;(2)取CD中点为G,连结BG,EG,则可证四边形ABGD是矩形,由面面垂直的性质得出BG⊥平面CDEF,故BG⊥DF,又DF⊥BE得出DF⊥平面BEG,从而得出DF⊥EG,得出Rt△DEG~Rt△EFD,列出比例式求出DE,代入体积公式即可计算出体积.【详解】(1)证明:设与交于点,连接,在矩形中,点为中点,∵为的中点,∴,又∵平面,平面,∴平面.(2)取中点为,连接,,平面平面,平面平面,平面,,∴平面,同理平面,∴的长即为四棱锥的高,在梯形中,,∴四边形是平行四边形,,∴平面,又∵平面,∴,又,,∴平面,.注意到,∴,,∴.【点睛】求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面,将空间问题转化为平面问题求解,注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法.①割补法:求一些不规则几何体的体积时,常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.②等积法:等积法包括等面积法和等体积法.等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到,利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高,特别是在求三角形的高和三棱锥的高时,这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高,而通过直接计算得到高的数值.20.(1);(2)见解析.【解析】
(1)根据函数的最小正周期可求出的值,由该函数的最大值可得出的值,再由,结合的取值范围可求得的值,由此可得出函数的解析式;(2)由计算出的取值范围,据此列表、描点、连线可得出函数在区间上的图象.【详解】(1)因为函数的最小正周期是,所以.又因为当时,函数取得最大值,所以,同时,得,因为,所以,所以;(2)因为,所以,列表如下:描点、连线得图象:【点睛】本题考查正弦函数解析式的求解,同时也考查了利用五点作图法作图,考查分析问题与解决问题的能力,属于中等题.21.(1).(2).【解析】
(1)根据题意,由余弦定理求得,即可求解C角的值;(2)由正弦定理和三角恒等变
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