工程数学(本)期末复习教学提纲

工程数学（本）期末复习提要中央电大师范部数学教研室开放教育土木工程本科专业与水利水电工程本科专业的“工程数学（本）”课程的内容包括《大学数学——线性代数》和《大学数学——概率论与数理统计》（李林曙主编，中央电大出版社出版）两本教材的全部内容。在这里介绍一下教学要求，供同学们复习时参考。第1章：阶行列式⒈理解阶行列式的递归定义。⒉掌握利用性质计算行列式的方法。性质1性质2性质3性质4性质5性质6性质7⒊知道克莱姆法则。第2章：矩阵⒈了解矩阵的概念，熟练掌握矩阵的运算。矩阵的运算满足以下性质⒉掌握方阵乘积行列式定理。是同阶方阵，则有：若是阶行列式，为常数，则有：⒊了解零矩阵，单位矩阵，数量矩阵，对角矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，初等矩阵的定义及性质。⒋理解可逆矩阵和逆矩阵的概念及性质，掌握矩阵可逆的充分必要条件。若为阶方阵，则下列结论等价可逆满秩存在阶方阵使得⒌熟练掌握求逆矩阵的初等行变换法，会用伴随矩阵法求逆矩阵，会解简单的矩阵方程。用初等行变换法求逆矩阵：用伴随矩阵法求逆矩阵：可逆矩阵具有以下性质：（其中是的伴随矩阵）⒍了解矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。将矩阵用初等行变换化为阶梯形后，所含有的非零行的个数称为矩阵的秩。第3章：线性方程组⒈了解向量的概念及线性运算，了解向量组线性相关与线性无关的概念，会判断向量组的线性相关性。对于向量组，若存在一组不全为零的常数，使得则称向量组线性相关，否则称线性无关。⒉了解极大线性无关组和向量组秩的概念，掌握其求法。向量组的一个部分组如满足⑴线性无关；⑵向量组中的任一向量都可由其线性表出。则称这个部分组为该向量组的一个极大线性无关组。⒊理解线性方程组的相容性定理及齐次线性方程组有非零解的充分必要条件，掌握齐次与非齐次线性方程组解的情况的判别方法。线性方程组有解的充分必要条件是：。元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是：。⒋熟练掌握齐次线性方程组基础解系和通解的求法。⒌了解非齐次线性方程组解的结构，熟练掌握求非齐次线性方程组通解的方法。第4章：矩阵的特征值及二次型⒈理解矩阵的特征值、特征多项式及特征向量的定义，掌握特征值与特征向量的求法。设为阶方阵，若存在数和非零维向量，使得则称数为的特征值，称为相应于特征值的特征向量。称为的特征多项式，的特征值就是特征方程的根。⒉了解矩阵相似的定义，了解相似矩阵的性质。设都是阶方阵，若存在可逆方阵，使得则称是的相似矩阵，或称与相似，记为。相似矩阵有相同的特征多项式，因而有相同的特征值。⒊了解正交矩阵的定义和性质，掌握实对称矩阵对角化的方法。若阶方阵满足则称是正交矩阵。⒋理解二次型定义、二次型的矩阵表示、二次型的标准形的矩阵描述，掌握用配方法化二次型为标准形的方法。⒌了解正定矩阵的概念，掌握正定矩阵的判定。第1章：随机事件与概率⒈了解随机事件的概念。学习随机事件的概念时，要注意它的两个特点：⑴在一次试验中可能发生，也可能不发生；即随机事件的发生具有偶然性。⑵在大量重复试验中，随机事件的发生具有统计规律性。⒉掌握随机事件的关系和运算，掌握概率的基本性质。要了解必然事件、不可能事件的概念，事件间的关系是指事件之间的包含、相等、和、积、互斥（互不相容）、对立、差等关系和运算。在事件的运算中，要特别注意下述性质：概率的主要性质是指①对任一事件，有②③对于任意有限个或可数个事件，若它们两两互不相容，则⒊了解古典概型的条件，会求解简单的古典概型问题。在古典概型中，任一事件的概率为其中是所包含的基本事件个数，是基本事件的总数。⒋熟练掌握概率的加法公式和乘法公式，理解条件概率，掌握全概公式。⑴加法公式：对于任意事件，有特别地，当时有⑵条件概率：对于任意事件，若，有称为发生的条件下发生条件概率。⑶乘法公式：对于任意事件，有（此时）或（此时）⑷全概公式：事件两两互不相容，且，则⒌理解事件独立性概念，会进行有关计算。若事件满足（当时）或（当时）则称事件与相互独立。与相互独立的充分必要条件是第2章：随机变量极其数字特征⒈理解随机变量的概率分布、概率密度的概念，了解分布函数的概念，掌握有关随机变量的概率计算。常见的随机变量有离散型和连续型两种类型。离散型随机变量用概率分布来刻画，满足：①②连续型随机变量用概率密度函数来刻画，满足：①②随机变量的分布函数对于离散型随机变量有定义为对于