多元函数的极值与最值

多元函数的极值与最值第一页，共二十七页，2022年，8月28日2º局部极值的计算首先研究极值点的特征,即研究必要条件设P0=(x0,y0)是z=f(x,y)的局部极小值点,

z=f(x,y)在P0

处可微对任意的PN(P0,δ)则根据定义,存在N(P0,δ),使若令则有第二页，共二十七页，2022年，8月28日x=x0

是h(x)的局部极小值点y=y0

是g(y)的局部极小值点由f(x,y)在P0

处可微h(x)在x=x0

处可导

g(y)在y=y0

处可导于是在P0

点处成立第三页，共二十七页，2022年，8月28日定理(可微函数极值点的必要条件)设z=f(x,y)在P0=(x0,y0)处可微,P0

是

f(x,y)的极值点,则有说明:(2)可微函数的极值点必为f(x,y)的稳定点稳定点(或驻点)(1)使的点称为f(x,y)的第四页，共二十七页，2022年，8月28日例讨论下列函数的极值(1)(2)(3)解(1)在R2上可微稳定点为(0,0)又(0,0)是f(x,y)的极小值点极小值:f(0,0)=1第五页，共二十七页，2022年，8月28日(2)在R2上可微稳定点为(0,0)又在点(a,0)处:在点(0,b)处:在(0,0)点的任意邻域内,都有大于f(0,0)=0及小于f(0,0)=0的点,所以(0,0)不是极值点第六页，共二十七页，2022年，8月28日(3)f(x,y)无稳定点又注意到(0,0)是f(x,y)的极小值点极小值f(0,0)=0第七页，共二十七页，2022年，8月28日说明:上例说明(2)偏导数不存在的点也可能为极值点定理

(极值点的必要条件)极值点必是函数的稳定点或者偏导数不存在的点说明:(1)临界点未必一定是极值点,仅是必要条件(2)不是极值点的临界点称为鞍点(1)稳定点未必一定是极值点稳定点或者偏导数不存在的点统称为临界点第八页，共二十七页，2022年，8月28日定理

(二阶充分条件)设z=f(x,y)在临界点P0=(x0,y0)的某邻域N(P0,δ)内具有二阶连续偏导数,则有(1)当时,P0

为f

的极小值点(2)当时,P0

为f

的极大值点(3)当H<0时,P0

为f

的鞍点(4)当H=0时,对P0

不能作出定性结论记第九页，共二十七页，2022年，8月28日解例讨论下列函数的极值(1)(2)(1)f是R2上的可微函数解得临界点P=(1,0)又第十页，共二十七页，2022年，8月28日由,知P=(1,0)是f

的极小值点极小值:(2)f是R2上的可微函数解得临界点:第十一页，共二十七页，2022年，8月28日在P1

处:P1=(0,0)是鞍点在P2

处:P2=(0,2)是鞍点在P3

处:P3=(2,0)是鞍点在P4

处:

f

在P4

处取得极大值:第十二页，共二十七页，2022年，8月28日3º最值问题条件极值最值问题设z=f(x,y)在有界闭区域D上连续,则f

在D上可取得最值(最小值及最大值)设PD

为f

的最值点(1)若P

在D

的内部,则P

为f的局部极值点,从而可用求局部极值的方法求得(2)若PD,若设D:(x,y)=0,则需解(1)第十三页，共二十七页，2022年，8月28日其中,f(x,y)称为目标函数;(x,y)=0称为约束条件;

问题(1)

称为f(x,y)的条件极值问题(或等式约束极值问题

)所以,求f在D

上的最值问题必须求解下面的两个问题:(1)求f在D

内部的局部极值点(2)求f在D

上的条件极值点第十四页，共二十七页，2022年，8月28日例求在直线x+y=6,x轴,y轴所界闭区域D

上的最大值和最小值解(2)再求f

在D

上的最值稳定点P1=(2,1)(1)先求f

在D

内部的极值点1)在x=0(0y6)上,f(0,y)=0第十五页，共二十七页，2022年，8月28日2)在y=0(0x6)上,f(x,0)=03)在x+y=6上,即y=6xx=0,x=4在x+y=6上可能的最值点为所以,f

在D上的最大值第十六页，共二十七页，2022年，8月28日说明:以上解条件极值问题的方法从(x,y)=0确定y=y(x),代入f,解一元问题即将二元条件极值问题通过消元化为一元函数的极值问题来解问题:从(x,y)=0解得y=y(x)是困难的拉格朗日提出了一种不解y=y(x)的方法第十七页，共二十七页，2022年，8月28日4º拉格朗日乘数法(乘子法)(x,y)=0及等值线f(x,y)=c如图所示(1)在f(x,y)=c与(x,y)=0的交点处(非切点)f(x,y)不能取得最优值(2)在f(x,y)=c与(x,y)=0的切点A,B

处f(x,y)取得最优值可以看到:考虑下面的条件极值问题(1)

第十八页，共二十七页，2022年，8月28日所以,在最优值点A,B

处:(x,y)=0与某等值线f(x,y)=c有公共的切线(x,y)=0与f(x,y)=c有公共的法线在最优值点A,B

处的法向在最优值点A,B

处的法向与在A,B

处共线第十九页，共二十七页，2022年，8月28日存在

λR,使

即在最优点(x0,y0)处应满足:存在

λ0

使(3)(2)

即第二十页，共二十七页，2022年，8月28日令L(x,y,λ)=f(x,y)+λ(x,y)(拉格朗日函数)则上式(3)

可等价地表示为(4)第二十一页，共二十七页，2022年，8月28日条件极值的必要条件:如果点(x0,y0)是问题(1)的最优点,则存在常数λ0R

使(4)第二十二页，共二十七页，2022年，8月28日对于一般的等式约束的极值问题(或规划问题)引入拉格朗日函数:其中(5)第二十三页，共二十七页，2022年，8月28日如果点是问题(5)

的解,则存在常数,使条件极值(5)

的必要条件:第二十四页，共二十七页，2022年，8月28日例求f(x,y,z)=x+y+z

在圆上的极值解构造拉格朗日函数z=1μ=1(6)(8)(7)(10)(9)y=x第二十五页，共二十七页，2022年，8月28日代入(9)

得所以,可能的极值点:注意到f

在圆上的最小值,最大值此时即为f

在圆上的极小值,极大值,所以极小值:极