多元函数微分学

多元函数微分学第一页，共七十页，2022年，8月28日本章重点为二元函数的概念、二元函数的极限与连续、偏导数的概念与计算，全微分的概念，多元复合函数的求导公式与计算，隐函数的求导公式，曲线的切线和法平面方程及曲面的切平面和法线方程，多元函数极值的必要条件和充分条件，条件极值的概念与拉格朗日乘数法。多元函数的微分法一个是难点，要求读者一定要分清自变量与中间变量，以及它们之间的关系.搞清楚函数的各变量间的复合关系，由于多元函数的复合关系可以说是无穷无尽的，不可能列出所有的公式.因此，要记住最基本的公式，这就是链式规则——通过一切有关的中间变量到自变量.自变量有几个，链式规则中就会含有几个公式；中间变量有几个，链式规则中的每个公式里就有几项。同时，读者还应做较多的练习，才能熟练、灵活地掌握链式规则，确保求导的正确性。求解最大、最小值问题是多元函数微分学的重要应用，求解这类问题的关键在于建立函数关系和约束条件，读者应通过一些习题锻炼自己建立函数关系的能力。学法指导：多元函数的微分学与一元函数的有关内容是相对应的.在学习这一章时，应与一元函数进行对比，弄清它们之间的区别与联系，对理解和掌握本章的相应内容是会有帮助的。为了学习方便，我们用MATLAB程序作出了一些二元函数的图形，帮助同学理解比较困难的问题如极限和连续的概念等。第二页，共七十页，2022年，8月28日第一节多元函数的概念多元函数的定义先看几个例子例题1直圆柱体的侧面积S和底面半径R和高H之间的依赖关系可用公式S=2πRH,｛(R，H)︱R＞0，H＞0｝表示。当（R，H）的值在一定范围内取定一对数值时，S的对应值就随之确定了。例题2气缸内理想气体的容积V与压强p，绝对温度T之间的关系为V=RT/p,其中R是常数，｛(T，p)︱T＞0，p＞0｝,V是随T、p变化而变化的。当（T，p）在一定范围内取定一对数值时，V的对应值就随之确定了。例题3一氧化氮的氧化过程为2NO+O2→2NO2，由实验可知，在此过程中，其氧化速度V与一氧化氮的克分子浓度x、氧气的克分子浓度y之间的关系为V=Kx2y,｛(x，y)︱0≤x≤1,0≤y≤1｝，其中K为反应速度常数。当(x,y)在一定范围内取定一对数值时，V的对应值就随之确定了。第三页，共七十页，2022年，8月28日定义1给定一个数对集合D和一个实数集合M,若按照某一确定的对应法则f，D内每一数对（x，y）有惟一的一个实数z∈M与之对应，则称f是定义在D上的二元函数，记作f：D→M，其中数对集合D称为函数f的定义域，D中任一点（x，y）根据对应法则f所对应的实数z，称为f在点（x，y）的函数值，记作z=f(x，y)。若把定义域中的点（x，y）的两个坐标x与y作为变量看待，则称这两个变量为函数f的自变量，z称为函数f的因变量。类似地，可以定义三元函数、四元函数，…，n元函数。多于一个自变量的函数统称为多元函数。第四页，共七十页，2022年，8月28日二元函数的定义域一般是平面上的一个区域，通常用D来表示。平面上的区域指的是由一条或几条曲线所围成的平面的一部分，围成区域的曲线称为该区域的边界。连同边界在内的区域称为闭区域，不包括边界在内的区域称为开区域。如果区域延伸到无限远处，称这个区域是无界的；否则就称区域是有界的。在例题1中，函数S=2πRH的定义域是｛(R,H)︱R＞0,H＞0｝；例题2的定义域是｛(T,p)︱T＞0,p＞0｝；例题3的定义域是｛(x，y)︱0≤x≤1,0≤y≤1｝。其中前两个区域是无界的，后一个是有界的，且是闭的。第五页，共七十页，2022年，8月28日RxHyxyxy32-3-2oooo图1图3图2图4例题4函数定义域是闭单位圆：｛(x，y)︱0≤x2+y2≤1｝例题5函数定义域是闭矩形：｛(x，y)︱-2≤x≤2,-3≤y≤3｝第六页，共七十页，2022年，8月28日所谓一点的邻域，是指以该点为中心的一个圆形开区域。例如，适合不等式的一切点（x，y）组成以P0（x0，y0）为圆心，δ为半径的邻域，简称为点P0的δ邻域，记为∪（P0，δ）或∪（P0）。区域D内部的点简称为内点，区域D的边界上的点称为边界点。内点与边界点的区别如下：若点P为内点，则必存在点P的一个邻域完全包含在D内，若点P为边界点，则不论点P的邻域多么小，必定同时含有D内的点和D外的点。第七页，共七十页，2022年，8月28日二元函数的几何表示设二元函数z=f(x，y)的定义域为D，对于D内任意一点P（x，y）,我们把x，y以及和它们对应的值z=f(x，y)三者看成空间直角坐标系中点的坐标。这样对于D中的任意一点P（x，y），按照对应法则z=f(x，y)，就有空间中的一点M（x，y，z）与之对应，当点P在D内变动时，点M就在空间变动，点M的轨迹就是函数z=f(x，y)的图形。一般说来，它是一个曲面，二元函数z=f(x，y)定义域D就是此曲面在xoy坐标面上的投影区域，这就是二元函数的几何表示。第八页，共七十页，2022年，8月28日例如z=x2+y2,其定义域D是全平面，由空间解析几何知道，函数的图形是位于xoy平面上方的旋转抛物面。ezsurf('x^2+y^2','circ');shadingflat;view([-18,28])第九页，共七十页，2022年，8月28日又如函数而函数它们的定义域为｛(x，y)︱x2+y2≤a2｝。的图形是以坐标原点为球心，a为半径的上半球面，的图形则是同一个球的下半球面，当自变量的个数多于两个时，函数就不可以用几何图形直观地表示出来。第十页，共七十页，2022年，8月28日x='cos(s)*cos(t)';y='cos(s)*sin(t)';z='sin(s)';subplot(1,2,2)ezsurf(x,y,z,[0,pi/2,0,2*pi])%view(45,45);shadinginterp;colormap(spring)x='cos(s)*cos(t)';y='cos(s)*sin(t)';z='-sin(s)';subplot(1,2,3)ezsurf(x,y,z,[0,pi/2,0,2*pi])%view(45,45);shadinginterp;colormap(spring)画函数的图形

第十一页，共七十页，2022年，8月28日二元函数的极限与连续性多元函数的极限及连续性

要求：1、理解掌握二元函数极限的定义，掌握二元函数连续的概念2、会求简单的二元函数的极限，能判断比较简单的二元函数的连续性3、掌握连续函数的两个基本性质——最值定理，介值定理重点：二元函数极限和连续的定义难点：判断二元函数是否存在极限第十二页，共七十页，2022年，8月28日1.二元函数的极限

第十三页，共七十页，2022年，8月28日注意：点趋向于点的方式是任意的。如果点P只是沿着某一特殊途径趋向于点P0，即使这时函数趋向于某一确定值，也不能断定函数的极限存在。第十四页，共七十页，2022年，8月28日例题1考察函数在点（0，0）的极限。（MATLAB图形命令ezsurf(‘x*y/(x^2+y^2)’,‘circ’)；view([1,1,1]);shadingflat）图形如右）第十五页，共七十页，2022年，8月28日解：因为在x轴上，故当点P（x，y）沿x轴趋向于（0，0）时同样,在y轴上，故当点P（x，y）沿x轴趋向于（0，0）时虽然沿上面两条特殊路径函数都趋向于0，是不存在的。

但第十六页，共七十页，2022年，8月28日因为当点P沿着路径趋向于点（0，0）时，有它的值随着k的变化而变化，故极限不存在。第十七页，共七十页，2022年，8月28日例题2设函数证明

（MATLAB作图命令，从不同方向观察图形）ezsurf('x*y/sqrt(x^2+y^2)','circ');view([1,1,1]);shadingflatezsurf('x*y/sqrt(x^2+y^2)','circ');view([0,1,0]);shadingflat第十八页，共七十页，2022年，8月28日证明：设其中于是任给正数取则当时，有所以第十九页，共七十页，2022年，8月28日下列说法正确吗?当动点沿着任意一条直线(k为任意常数)趋向于点（0,0）时,有答：不能.等于A,则存在.当动点（x,y）沿着任意一条直线趋向于点(0，0)时,函数的极限存在且例如第二十页，共七十页，2022年，8月28日但当沿抛物线趋向于（0,0）时，有故不存在。第二十一页，共七十页，2022年，8月28日注:根据二重极限的定义,在点的邻域内,动点趋向于的方式是任意的.于是常常用动点取不同的的方法来判定函数极限不存在.路径趋向于使其有不同极限第二十二页，共七十页，2022年，8月28日第二十三页，共七十页，2022年，8月28日第二十四页，共七十页，2022年，8月28日例题3设试证明在原点处连续。即可取当证明：给定任意小正数第二十五页，共七十页，2022年，8月28日时就有（MATLAB作图命令)ezsurf('x*y*(x^2-y^2)/(x^2+y^2)','circ');view([1,1,1]);shadingflat），所以在原点连续。第二十六页，共七十页，2022年，8月28日函数的不连续点称为间断点。如函数在点（0，0）的极限不存在，所以该点是函数的一个间断点。二元函数的间断点有可能还可以形成一条或几条曲线。第二十七页，共七十页，2022年，8月28日若函数在区域D的每一点都连续，则称函数一个无孔隙、无裂缝的曲面。在区域D上连续。二元连续函数的图形是的图形是球心在原点、半径等于1的上半球面。例如连续函数第二十八页，共七十页，2022年，8月28日与闭区间上的一元连续函数的性质类似，在有界闭区域上多元连续函数也有如下性质：为最大值，为最小值。（点P在D上）性质1（最值定理）在有界闭区域D上的多元函数，在该区域上有界，且取得最大至于最小值。就是说，在D上至少存在一点P1及P2，使得第二十九页，共七十页，2022年，8月28日性质2（介值定理）在有界闭区域D上的多元函数，若取得两个不同的函数值，则它在该区域上取得介于这两个值之间的任何值。特殊地，若a是函数介于最小值m与最大值M之间的一个数，则在D上至少存在一点Q，使得第三十页，共七十页，2022年，8月28日注意：根据极限运算法则，可以证明多元连续函数的和差积均为连续函数；在分母不为零处，连续函数的商也是连续函数；多元连续函数的复合函数也是连续函数。有了二元连续函数的运算法则和复合函数的连续性定理以及已知的一元函数的连续性，就能判断许多常见的二元函数的连续性，并且注意把看作是二元连续函数的特殊情况。第三十一页，共七十页，2022年，8月28日例题4函数都是x，y的连续函数，从而是x，y的连续函数。x=-1:0.1:1;y=x';[X,Y]=meshgrid(x,y);z=exp(X+Y)*sqrt((X.^2+Y.^2))+cos(X+Y);surf(X,Y,z)）（MATLAB作图命令：在整个xoy平面上是连续的。因为x和y是x，y的连续函数，所以x2和y2，也是x，y的连续函数，于是x+y，x2+y2，第三十二页，共七十页，2022年，8月28日同样可以判断函数当（即）时连续（MATLAB作图命令：ezsurf('x+y^2*sin(x)/sin(x^2+y^2)','circ');shadingflat）第三十三页，共七十页，2022年，8月28日根据多元函数的连续性，若点P0在此函数的定义域内，则函数在点P0的极限值就是函数在该点的函数值，即例如第三十四页，共七十页，2022年，8月28日下列问题是否正确？答：不正确.因为二元函数的连续性定义是建立在二重极限的基础之上的,因此,当一个变量固定时，二元函数对另一个变量连续相当于一种特定方式（即点(x,y)沿平行于坐标轴的方式趋于点时）的极限存在,并不能保证以任何方式趋向于的极限存在且等于就是说不能保证的连续性.

在处连续,在处连续,那末,二元函数在点如果一元函数处是连续的.第三十五页，共七十页，2022年，8月28日例如函数一元函数在y=0连续,在x=0连续,它的值随着k的变化而变化，所以极限不存在,从而不连续.趋向于点(0,0)时,有事实上,当动点(x,y)沿着任意一条直线在(0,0)处不连续.但第三十六页，共七十页，2022年，8月28日第三十七页，共七十页，2022年，8月28日习题1、求时函数的值。，试求2、已知函数3、试证明满足如下关系式：第三十八页，共七十页，2022年，8月28日4、求下列函数的定义域：（1）（2）（3）（4）第三十九页，共七十页，2022年，8月28日5、求下列各极限：（1）（作图命令ezsurf('x*y/(sqrt(x*y+1)-1)','circ');shadingflat）第四十页，共七十页，2022年，8月28日（2）（3）（4）第四十一页，共七十页，2022年，8月28日一、多元函数的极值二、条件极值、拉格朗日乘数法多元函数的极值与最值要求：1、了解多元函数极值和最值概念，掌握二元函数取得极值的充分条件和必要条件，掌握求函数极值的一般步骤2、理解掌握求条件极值的方法—拉格朗日乘数法及其解题步骤3、能解简单的条件极值应用题重点：1、二元函数取得极值的条件，判断二元函数极值的方法2、拉格朗日乘数法第四十二页，共七十页，2022年，8月28日

一、多元函数的极值极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.1二元函数极值的定义

设函数在点的某邻域内有定义，对于该邻域内异于的点若满足不等式，则称函数在有极大值；若满足不等式，则称函数在有极小值；第四十三页，共七十页，2022年，8月28日(1)(2)(3)例1函数处有极小值．在例２函数处有极大值．在处有极大值．在例３处无极值．在函数如图1如图2如图3第四十四页，共七十页，2022年，8月28日2多元函数取得极值的条件定理1（二元函数取得极值的必要条件）设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：，.证不妨设在点处有极大值,则对于的某邻域内任意都有,第四十五页，共七十页，2022年，8月28日故当时，有说明一元函数在处有极大值，必有;类似地可证.推广

如果三元函数在点具有偏导数，则它在有极值的必要条件为

，.;第四十六页，共七十页，2022年，8月28日

仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.问题：如何判定一个驻点是否为极值点？

驻点极值点注意：定理2（二元函数取得极值的充分条件）

设函数在点的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，

.例如点是函数的驻点，但不是极值点第四十七页，共七十页，2022年，8月28日又

，

令，，，则在点处是否取得极值的条件如下：（1）时具有极值，当时有极大值，

当时有极小值；（3）时可能有极值,也可能没有极值，还需另作讨论．（2）时没有极值；第四十八页，共七十页，2022年，8月28日求函数),(yxfz=极值的一般步骤：第一步

解方程组

求出实数解，得驻点.第二步

对于每一个驻点),(00yx，求出二阶偏导数的值A、B、C.第三步

定出2BAC-的符号，再判定是否是极值.第四十九页，共七十页，2022年，8月28日例4求函数的极值．解求得驻点，在点处第五十页，共七十页，2022年，8月28日所以，在处函数没有极值．在点处又所以，在处函数有极大值．且第五十一页，共七十页，2022年，8月28日求最值的一般方法：

1）将函数在D内的所有驻点处的函数值2）求D的边界上的最大值和最小值3）相互比较函数值的大小，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.

与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.3多元函数的最值第五十二页，共七十页，2022年，8月28日解先求函数在D内的驻点，如图,例5

求二元函数

在直线，轴和轴所围成的闭区域上的最大值与最小值.第五十三页，共七十页，2022年，8月28日解方程组再求在边界上的最值，得区域内唯一驻点,且

在边界和上,第五十四页，共七十页，2022年，8月28日在边界上，即于是,由

得

比较后可知为最大值,为最小值.第五十五页，共七十页，2022年，8月28日解由例6

求的最大值和最小值.得驻点和,第五十六页，共七十页，2022年，8月28日即边界上的值为零.无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.因为所以最大值为，最小值为第五十七页，共七十页，2022年，8月28日例7

某厂要用铁板做成一个体积为2的有盖长方体水箱，问长宽高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？此水箱的用料面积解：设水箱的长为x,宽为y,则其高为第五十八页，共七十页，2022年，8月28日时，A取得最小值，根据题意可知，水箱所用材料的面积的最小值一定存在，并在开区域D(x>0,y>0)内取得。又函数在D内只有唯一的驻点，因此可断定当就是说，当水箱的长、宽、高均为时，水箱所用的材料最省。第五十九页，共七十页，2022年，8月28日实例：小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买张磁盘，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果．问题的实质：求